2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第18题）-几何证明

2026长春中考复习专题（第18题）-几何证明 类型一、平行四边形的判定 1．（2025年吉林省长春市第一〇八学校九年级6月中考模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点，是对角线上两点，且．求证：四边形是平行四边形． 2．（2025年吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校中考二模）如图，点O为平行四边形的对角线的中点，直线经过点O，分别交的延长线于点E、F，分别连结点B、F和点D、E．求证：四边形是平行四边形． 类型二、矩形的判定 3．（2025年吉林省长春市四十五中学模拟）如图，在中，，是中线，点是的中点，连结并延长至点，使，连结、． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，则与四边形的周长比为_______． 4．（2025年吉林省长春市净月区九年级中考一模数学）如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，四边形的面积为24，则________． 5．（2025年吉林省长春市双阳区九年级中考模拟测试数学）如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，与交于点，若的面积为，，则的值为________． 6．（吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年九年级下学期6月中考模拟考试）如图，在四边形中，，和互相平分并交于点，，求证：四边形是矩形. 类型三、菱形的判定 7．（2025年吉林省长春市长春汽车经济技术开发区中考一模数学）如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形． 8．（吉林省长春市东北师范大学附属中学经开校区2024-2025学年中考一模数学）在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：作平行四边形对角线的垂直平分线，分别交于点M，O，N．求证：四边形为菱形． 9．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考一模数学）如图，在中，，平分交于点，过点分别作交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则长为___________． 10．（吉林省长春市吉大尚德学校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟数学）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则________． 11．（2025年吉林省长春市朝阳区二模数学）如图①，小颖为新房买了一盏简单而精致的吊灯．其正面的平面图如图②所示，四边形是一个菱形的内部框架，对角线相交于点，四边形是其外部框架，且点在上，． (1)求证：四边形外部框架为菱形． (2)若外部框架的周长为，，，则内部框架的边长为_____cm． 12．（吉林省长春市朝阳区博硕学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟考试）已知：如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，且． 求证：四边形是菱形． 类型四、尺规作图与几何证明（新题型） 13．（吉林省长春外国语学校2024-2025学年九年级下学期6月中考模拟）如图，在平行四边形中，平分，平分，分别交于点，连结． (1)请利用无刻度的直尺和圆规按照题意找到点和点； (2)求证：四边形是菱形． 14．（2025年吉林省长春市宽城区中考二模数学）如图，在中，，是边的中线． (1)用圆规和无刻度的直尺作，使、两点在的两侧，在射线上截取，连结；（保留作图痕迹） (2)求证：四边形是菱形． 15．（2025年吉林省长春七十二中中考数学二模）如图，在中，，射线． (1)请利用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点D，过点D作交于E； (2)连接，求证：四边形是矩形． 16．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考四模数学）如图，四边形内接于，是的直径，直线与相切于点，，连结． (1)求证：． (2)用圆规和无刻度的直尺，过点作的切线．（保留作图痕迹，不写作法） 类型五、切线的性质与判定 17．（吉林省长春市绿园区2024-2025学年九年级下学期大练习）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．    18．（吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期5月阶段质量检测数学）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．求证：CD是⊙O的切线． 学科网（北京）股份有限公司 $2026长春中考复习专题（第18题)-几何证明 类型一、平行四边形的判定 1.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：四边 形BFDE是平行四边形， 【详解】证：：□ABCD中，AB=CD,AB‖CD, ·∠BAE=∠DCF, :在△ABE和△CDF中， AB=CD ∠BAE=∠DCF AE=CF ·△ABE≌△CDF(SAS), ·BE=DF,∠AEB=∠CFD, :∠AEB+∠BEF=∠CFD+∠DFE=180°， ·∠BEF=∠DFE, BEI‖DF, :四边形BFDE是平行四边形 2.如图，点0为平行四边形ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O,分别交 BA,DC的延长线于点E、F,分别连结点B、F和点D、E,求证：四边形BFDE是平行四边 形 【详解】证明：，点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点， ∴.B0=DO,ABI‖CD, 试卷第6页，共15页 ∴∠BE0=∠DFO, ∠BOE=∠D0F, ·△BOE≌△DOF(AAS), ·BE=DF, AB‖CD,即BEIDF, ∴四边形BFDE是平行四边形. 类型二、矩形的判定 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是中线，点E是AC的中点，连结DE并延长至点F ,使EF=DE,连结AF、CF D (1)求证：四边形ADCF为矩形， (2)若cos∠B=号，则△AEF与四边形ABDE的周长比为 【详解】(1)证明：：点E是AC的中点， :AE=CE, EF=DE, :四边形ADCF是平行四边形， "AB=AC,AD是中线， ÷AD⊥BC ÷∠ADC=90°， ·四边形ADCF是矩形； (2)解：由(1)知四边形ADCF是矩形， ·AC=DF,AF=CD, :BD=CD, :AF=BD, :AB=AC, ·AB=AC=DF 试卷第6页，共15页 .AE=CE,EF=DF, ·AB=DE=EF=AB, :AD⊥BC, “c0sB=器=号， ·BD=AF=号AB, :△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AB+号AB=号AB, 四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+AE=AB+号AB+号AB+克AB=号AB, ·△AEF与四边形，ABDE的周长比为号AB:号AB=5:8: 故答案为：5：8 4.如图，点A、B、C、D在一条直线上，AB=BC=CD,BE=DE,四边形ABEF是平行 四边形。 B (1)求证：四边形BCEF是矩形； (2)若AD=12,四边形ADEF的面积为24，则cOsA= 【详解】(1)证明：：四边形ABEF是平行四边形， :AB=EF,AB EF, 又：AB=BC, ·EF=BC,且EFI‖BC, :四边形BCEF是平行四边形 BE=DE,BC=CD, ·CE⊥BD,即∠BCE=90 :四边形BCEF是矩形， (2)解：'AB=BC=CD,AD=12, ·AB=BC=CD=4, 由(1)知四边形BCEF是矩形， 试卷第6页，共15页 AB=EF=4,BF=CF 设BF=CF=h :四边形ADEF的面积为24， S得边形DEr=学×h=24:解得h=3, ∴BF=3, 在Rt△ABF中，AF=NAB2+BP=V42+32=5 cosA=0=青 故答案为：青 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作 AE∥BD,DEI‖BA,AE与DE交于点E,连接BE. C B D (1)求证：四边形ACBE是矩形 (2)连接CB,AB与CE交于点0，若△B0E的面积为6，BC=4,则tanD的值为 【答案】(1)证明见解析； 2 【详解】(1)证明：：AE∥BD,DE‖BA, .四边形ABDE是平行四边形， ·AE=BD, .BD=CB, ∴·AE=CB, ∴.四边形ACBE是平行四边形， ∠C=90°， ·.四边形ACBE是矩形； (2)解：如图，连接CE,AB与CE交于点O, 试卷第6页，共15页 A E 0 ☑ C B D ,四边形ACBE是矩形， ∴.0E=0C,∠CBE=90°， SAB0E=S△B0C=6, SAc8E=12=BC×BE, BC=4, 3×4×BE=12: ∴…BE=6, .BD=BC=4, tanD=骺==， 故答案为：昌： 6.如图，在四边形ABCD中，BE=DF,AC和EF互相平分并交于点O,∠B=90°， 求证：四边形ABCD是矩形. D B 【详解】证明：如图，连接AF、CE, B :AC和EF互相平分， ∴.四边形AECF是平行四边形， ∴·AE=CF,AE‖CF, 试卷第6页，共15页 .BE=DF, ∴·BE+AE=DF+CF, 即AB=CD, .AE CF, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ∠B=90°， .平行四边形ABCD是矩形. 类型三、菱形的判定 7.如图，四边形ABCD中，ADII BO,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接 DE,求证：四边形ABED是菱形. D 【详解】证明：：ADBC, ∴·∠DAE=∠AEB, :AE平分∠BAD, ·∠DAE=∠BAE, ·∠AEB=∠BAE, ·AB=BE, .AB=AD, ..BE=AD, :BE‖AD, ∴.四边形ABED是平行四边形， .AB=AD, .四边形ABED是菱形， 8.在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：作平行四边形ABCD对角线 AC的垂直平分线，分别交AD,AC,BC于点M,O,N.求证：四边形ANCM为菱形. 试卷第6页，共15页 M B 【详解】证明：MN垂直平分AC, ∴.OA=OC,AM=CM, ,四边形ABCD是平行四边形， ·AD‖BC, ∴·∠AMO=∠CNO,∠MA0=∠NCO, ∴.△AM0≌△CNO(AAS), ·AM=CN, .ADI BC, .四边形ANCM为平行四边形， .'AM=CM, .四边形ANCM为菱形. 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点D分别作 DE‖BC交AB于点E,DF‖AB交BC于点F, (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若tan∠ABC=,BF=5,则BD长为 【详解】(1)证明：DE‖BC,DF‖AB, ∴.四边形BEDF是平行四边形，LEDB=LFBD, .BD平分∠ABC, ∴·∠ABD=∠FBD=∠EDB, ·BE=ED, ∴四边形BEDF是菱形； 试卷第6页，共15页 (2)解：由(1)可知：四边形BEDF是菱形， ∴·BF=BE=DE=5, .DE BC, ∴·∠AED=∠ABC, 'tanABC=寻， 'tanAED=是=， 设AD=3k,AE=4k,由勾股定理得：AD2+AB2=DE2, 即9k2+16k2=25, …k=1(负根舍去)， .AD=3,AE=4, ∴·AB=BE十AE=9, BD=AD2+AB2=310 10.如图，在四边形ABCD中，AB‖DC,AB=DC,对角线ACBD交于点0，AC平 分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连结0E, D B (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=5,BD=2N5,则0E= 【详解】(1)证明：：AB‖DC, ÷∠ACD=∠BAC, :AC平分∠BAD, ·∠BAC=∠DAC, :∠DAC=∠ACD, AD CD, AB=AD, :AB=CD, 试卷第6页，共15页 .ABI DC, :四边形ABCD是平行四边形， AB=AD, :平行四边形ABCD是菱形； (2)解：：四边形ABCD是菱形， AC L BD,OB=BD=5,OA=OC, ÷0A=AB2-B02-52.(V5)=2V5, AC=20A=4V5, :CE⊥AE,A0=C0, 0E=AC=2W5: 11,如图①，小颖为新房买了一盏简单而精致的吊灯.其正面的平面图如图②所示，四边形 ABCD是-一个菱形的内部框架，对角线AC、BD相交于点O,四边形AECF是其外部框架， 且点E、F在BD上，BE=DF· B ○ 图① 图② (1)求证：四边形外部框架AECF为菱形. (2)若外部框架AECF的周长为160cm,EF=64cm,BE=14cm,则内部框架ABCD的 边长为 cm. 【详解】(1)：四边形ABCD是菱形， ÷0B=0D,0A=0C BE=DF, 0E=0F. :四边形AECF是平行四边形 :四边形ABCD是菱形， AC⊥BD :平行四边形AECF是菱形 试卷第6页，共15页 (2)如图，AC交EF于点0， B .四边形外部框架AECF为菱形，周长为160cm,EF=64cm, ∴.AE=40cm,0E=0F=32cm,AC⊥EF, ∴.0B=0E-BE-32-14=18cm,∠A0B=90°， 0A=VAE2.0E=V402-322=24cm' AB=V0A2+0B2=V242+182=30cm 故答案为：30： 12.已知：如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且BE=DE 求证：四边形ABCD是菱形， 【详解】证明：连接BD交AC于O, :四边形ABCD是平行四边形， B BO=OD, 在△BOE与△D0E中， (0B=OD 0E=0E BE=DE ÷△BOE兰△DOE(SSS), 试卷第6页，共15页