精品解析： 浙江省金华市南苑中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

2025学年第一学期九年级数学期中检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示，正三棱柱的左视图( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图，可得答案． 【详解】主视图是一个矩形，俯视图是两个矩形，左视图是三角形， 故选A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 2. 下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象，对于二次函数，图象的形状只与的大小有关，据此即可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象的形状只与的大小有关， ∴与抛物线的形状形同． 故选：A． 3. 如图，把放大后得到，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，根据题意把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解题的关键． 【详解】解：∵放大后得到， ∴与位似， ∴与的相似比为， 故选：C． 4. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 5. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：． 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C. 射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D. 小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【答案】D 【解析】 【分析】根据各个选项的说法可以判断是否正确，进而可以解答． 【详解】A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A选项不正确，不符合题意； B.某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B选项不正确，不符合题意； C.射击运动员射击一次中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C选项不正确，不符合题意； D.抛硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件，再抛一次正面朝上的概率是二分之一，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的意义，属于基础题，解决本题的关键是掌握概率的意义． 7. 如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为（ ） A. 6米 B. 米 C. 12米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则BC=x，由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可． 【详解】解：∵商用手扶梯AB的坡比1：， 设AC=x米，则BC=x米， ∴， 解得：x=6， ∴AC=6米， 故选：A． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理．理解坡度的定义是解此题的关键． 8. 如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题的关键，连接、、，由于图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，所以点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点，再根据，，，可得，，即可得到． 【详解】解：连接、、，如下图所示： ∵图1的图形绕点A旋转8次后刚好回到原位，且点B，点C，点D都是对应点， ∴点B，点C，点D都是以A为中心的正八边形的顶点， 作该正八边形的外接圆，则点B，点C，点D都在上， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 10. 如图，四边形中，，在边上确定一点使得则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作DG⊥AB于点G，在AG上取一点F，使得AF=AE，证明得出△为等边三角形，进一步证明∠，∠从而可证列出比例式，把相关数据代入得方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，在AG上取一点F，使得AF=AE， 在Rt△ADG中，∠ ∴ ∴ ∴ ∵∠ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∵ ∴△为等边三角形， ∴∠ ∴∠ 又∵∠ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∵∠ ∴∠ 又∵ 设，则， 代入①得 整理得， 解得， 当时，不合理， ∴，即 故选：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，作辅助线构造相似三角形是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，过轴于点，交于点，由两端的坐标分别为，，所以轴，，则有，，然后证明，则有，再代入求值即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，交于点， ∵两端的坐标分别为，， ∴轴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，切于A、B两点，，切于点E，交于点C、D，则的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线的性质． 根据切线长定理可得，，，据此即可作答． 【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：． 13. 若对任意实数，抛物线在直线的上方，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和不等式恒成立问题．根据题意，抛物线始终在直线上方，即二次函数值大于零，由判别式小于零求解即可． 【详解】解：由题意，对于任意实数，有， 即， ， 由于二次项系数为正，抛物线开口向上， 若恒成立，则其判别式小于零： ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是________米．（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金比的应用与一元二次方程求解，涉及知识点：黄金比（）、矩形边长与边衬宽度的关系．解题方法是设边衬宽度为未知数，根据装裱后宽与长的黄金比列方程求解；解题关键是正确表示装裱后长和宽的表达式，易错点是混淆 “宽与长的比” 的顺序或解方程后取舍不合理的根．解题思路：设边衬宽度为，表示出装裱后长和宽，根据黄金比列方程，求解后取符合实际的正根． 【详解】设边衬的宽度为米，则装裱后整幅图画的长为米，宽为米． 由黄金比的定义（宽与长的比为），列方程： 交叉相乘化简得： 展开并整理： 移项合并同类项： 即 解得： 故边衬的宽度为米． 故答案为． 15. 如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质．在图中标注C，D，设，先证，得出，再根据，列式计算出x的值，最后根据正切的定义求解． 【详解】解：如图，在图中标注C，D， 设， ， ， 又， ， ，即， ， 的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都是1， ， ， ， ， 解得，（舍）， ， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，，则的最大面积是______，若的中点是，那么中线的最大值是______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】作的外接圆，分别连接，，，过作，交所在直线于点，所以，当最大时，有最大，根据圆的性质可得当三点共线时，最大，然后证明是等边三角形，则有，由勾股定理可得，从而求出的最大值；取中点，连接，，，，又的中点是，所以是中位线，则有，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动，当点三点共线时，有最大值，然后同上理即可求解，根据题意、正确构造辅助圆是解题的关键． 【详解】解：作的外接圆，分别连接，，，过作，交所在直线于点，如图， ∴， ∴当最大时，有最大值， 根据圆的性质可得当三点共线时，最大，如图， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 如图，取中点，连接，，，， ∵的中点是， ∴是中位线， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， 当点三点共线时，有最大值，如图， 同上理：， ∴中线的最大值是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，分式的性质，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）利用分式的性质化简，求出值即可． 【详解】解：（1） （2）在两边同乘， ， 即， ， ， 故的值为． 18. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得，即，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可证明是的切线； （2）过C作于E，可得，，可得，最后根据圆中阴影部分的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过C作于E， ，， ，， 于E， ， ， ，， 圆中阴影部分的面积． 19. 如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米， （1）求电线杆上部分的长； （2）求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）． 【答案】（1）电杆上部分的长为米 （2）拉线的长为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题时通过转化思想构造矩形与直角三角形，利用三角函数定义求解，关键是将已知条件转化到直角三角形中，易错点是忽略测角仪高度或混淆三角函数对应边； （1）过点作，垂足为构造矩形，用仰角的正切求 与测角仪高度的差得 ； （2）在 中用 的正弦求． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为 由题意可知四边形为矩形，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在，，， ∴米， 所以拉线的长约米． 20. 某校支部每月开展党员主题教育，并组织老师进行了主题教育征文活动，评选出一、二、三等奖若干名，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）． 请根据上述信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“一等奖”所对应的扇形的圆心角度数； （3）学校计划从甲、乙、丙三位一等奖获得者中随机抽取2人参加主题教育宣传活动，请用列表法或画树状图法求恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1） 补全条形图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了统计图的运用及概率的求解，画条形统计图，扇形与条形统计图的综合，求圆心角，解题的关键是根据题意列出树状图，再利用概率公式求解． （1）由二等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、二等奖人数求出三等奖人数，即可补全图形； （2）用乘以一等奖人数所占百分比可得答案； （3）画出树状图，由概率公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：本次获奖的总人数为（人）， 三等奖人数为（人） 【小问2详解】 解：扇形统计图中“一等奖”所对应的扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：树状图如图所示， ∵从三人中随机抽取两人有6种等可能的结果，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是 21. 如图，在浙一场篮球比赛中，金华队队员在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式； （2）非常可惜，该球未命中篮筐．若该球员将球出手的角度和力度都不变，请求出该队员应该向前走或向后退大约多少米才能命中篮筐中心．（，保留一位小数） 【答案】（1）； （2）向前大约走米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式，解一元二次方程，求出二次函数的解析式是解题的关键． （）由题意得，抛物线顶点坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （）当时，，解得，（舍去），从而求解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入解析式得，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，（舍去）， ∴该队员应该向前走（米）， ∴该队员应该向前大约走米． 22. 小明在学习了《弧长与扇形的面积计算》这一节后，对于求相关图形的面积进行了探究．如下图，左边的基本图形四边形是矩形，，． （1）如图（一），将线段绕点顺时针旋转，使点落在边上的处，那么扇形的面积是__________； （2）如图（二），将线段绕点顺时针旋转，使点落在边上的处，由四边形的不稳定性可知，矩形变形成平行四边形，求线段所扫过的面积； （3）如图（三），连结矩形对角线，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的处，求线段所扫过的面积． 【答案】（1）； （2）线段所扫过的面积为； （3）线段所扫过的面积为． 【解析】 【分析】（）由四边形是矩形，则有，，，故有，由旋转性质可知，通过，求得，然后通过扇形面积公式即可求解； （）由四边形是矩形，则，，，，由旋转性质可知，，由（）得，，所以，得，然后证明四边形是平行四边形，从而可得线段所扫过的面积为平行四边形的面积； （）由旋转性质可得，，，则，线段所扫过的面积为，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转性质可知，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 由旋转性质可知，， 由（）得，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴线段所扫过的面积为平行四边形为； 【小问3详解】 解：如图，由上得，， 由旋转性质可得，，， ∴， ∴线段所扫过的面积为 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质，求扇形面积，平行四边形的判定与性质知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线，且． （1）当抛物线经过，两点时， ①求b的值； ②点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有．求的取值范围； （2）若=1，，是抛物线上的两点．当，时，总有，求b的取值范围． 【答案】（1）①b=-1；②且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． （1）①代入/得，再求解即可；②可得对于时，要求，即：，即再分类讨论求解即可； （2）在上：对称轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，最小值为：在上：对称轴在区间内部，函数开口向上，最大值在离对称轴较远的端点处取得．右端点离对称轴的距离为2，左端点距离为1，故最大值无限接近再由求解即可． 【小问1详解】 解：①代入得 已知， 故； ②时，抛物线为： 由题意抛物线经过，两点时，点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有， 可得对于时，要求，即： ，即 当时成立； 当时，需，即对恒成立． 函数在上y随x的增大而增大，最大值为， 故． 因此，的取值范围为且； 【小问2详解】 解：抛物线为： 对称轴为，且． 由，时抛物线上的两点．当，时，总有， 即在上：对称轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，最小值为： 在上：对称轴在区间内部，函数开口向上，最大值在离对称轴较远的端点处取得．右端点离对称轴的距离为2，左端点距离为1，故最大值无限接近 由条件总有得： ， 由知， 故， 即． 因此，的取值范围为． 24. 如图，点、是正方形边、上的两个动点，，，交于点，交于点．连接，过点作，垂足为，连接． （1）若， ______， ______； （2）若，求的长； （3）请用尺规作图，画出的外接圆； （4）求的面积最小值． 【答案】（1）； （2） （3） 解：如图，即为所求作的圆． （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，， ，，根据勾股定理得出，证明，得出，求出；证明为等腰直角三角形，求出； （2）证明，得出，，证明，根据勾股定理得出，根据等积法求出，即可得出答案； （3）分别作和的垂直平分线、，则和交于点Q，以点Q为圆心，为半径作即可； （4）连接，交于点M，根据正方形性质得出，，设，则，根据相似三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据，设，根据，得出，即，，根据完全平方公式，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：连接，交于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， 根据解析（1）可知，， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， 设， ∵， ∴，即，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了尺规作外接圆，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，二次根式混合运算，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学期中检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图所示，正三棱柱的左视图( ) A. B. C. D. 2. 下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把放大后得到，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 5. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B. 某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C. 射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D. 小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 7. 如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为（ ） A. 6米 B. 米 C. 12米 D. 米 8. 如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，四边形中，，在边上确定一点使得则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______． 12. 如图，切于A、B两点，，切于点E，交于点C、D，则的周长是_______． 13. 若对任意实数，抛物线在直线的上方，则实数的取值范围是________． 14. 如图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是黄金比，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应该是________米．（保留根号） 15. 如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为3，则的值为________． 16. 如图，中，，，则的最大面积是______，若的中点是，那么中线的最大值是______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）已知，求的值． 18. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 19. 如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆6米的处安置测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为，已知测角仪高为米， （1）求电线杆上部分的长； （2）求拉线的长（结果精确到米，参考数据：，）． 20. 某校支部每月开展党员主题教育，并组织老师进行了主题教育征文活动，评选出一、二、三等奖若干名，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整）． 请根据上述信息解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“一等奖”所对应的扇形的圆心角度数； （3）学校计划从甲、乙、丙三位一等奖获得者中随机抽取2人参加主题教育宣传活动，请用列表法或画树状图法求恰好抽到甲和乙的概率． 21. 如图，在浙一场篮球比赛中，金华队队员在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式； （2）非常可惜，该球未命中篮筐．若该球员将球出手的角度和力度都不变，请求出该队员应该向前走或向后退大约多少米才能命中篮筐中心．（，保留一位小数） 22. 小明在学习了《弧长与扇形的面积计算》这一节后，对于求相关图形的面积进行了探究．如下图，左边的基本图形四边形是矩形，，． （1）如图（一），将线段绕点顺时针旋转，使点落在边上的处，那么扇形的面积是__________； （2）如图（二），将线段绕点顺时针旋转，使点落在边上的处，由四边形的不稳定性可知，矩形变形成平行四边形，求线段所扫过的面积； （3）如图（三），连结矩形对角线，将绕点顺时针旋转，使点落在边上的处，求线段所扫过的面积． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线，且． （1）当抛物线经过，两点时， ①求b的值； ②点为抛物线在、之间的部分图象上的任意一点（包含、两点），都有．求的取值范围； （2）若=1，，是抛物线上的两点．当，时，总有，求b的取值范围． 24. 如图，点、是正方形边、上的两个动点，，，交于点，交于点．连接，过点作，垂足为，连接． （1）若， ______， ______； （2）若，求的长； （3）请用尺规作图，画出的外接圆； （4）求的面积最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $