1.2 提公因式法 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

第1章 因式分解 1.2 提公因式法 导入新课 家里来了客人，丹丹、玲玲、颖颖三人分别拿出水果来招待客人，她们拿出的水果有相同的吗？相同的是什么水果？类似地，对于多项式中相同的因式，怎样定义？ 有相同的水果，相同的水果是苹果. 2 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式. 高效课堂 任务一：探究提公因式法的概念 问题1：分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy中，次数大于0的因式有x，y；3xz中，次数大于0的因式有x，z；xy与3xz有相同的因式x. 根据以上探究，类比两个数的公因数，给出公因式的概念. 3 高效课堂 练一练：指出下列多项式中各项的公因式：(以抢答的形式) (1)a； (2)5x2y； (3)3ab； (4)mn. 如何正确地寻找多项式中各项的公因式呢？ 确定公因式的方法： (1)公因式的系数应取各项系数的最大公因数(当系数是整数时)； (2)字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂. 4 高效课堂 问题2：如何把多项式xy＋3xz因式分解？ 根据上节课的知识，因为x(y＋3z)＝xy＋3xz，所以xy＋3xz＝x(y＋3z)是多项式xy＋3xz的因式分解. 把乘法对加法的分配律从右到左地使用，得xy＋3xz＝x(y＋3z). 从上面的解题过程中，请总结因式分解的一种方法. 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 5 多项式由4x2和－6x3这两项组成，它们的系数分别为4，－6，若不考虑其符号，则4和6的最大公因数是2；这两项都含有字母x，且x的最低次数为2.因此可提出公因式2x2. 高效课堂 例1 把多项式4x2－6x3因式分解. 任务二：例题讲解 提公因式的方法：一是找出多项式中各项的公因式；二是借助乘法对加法的分配律进行提取. 6 湘教版八年级数学上册 高效课堂 (1)因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式； (2)因式分解要分解到不能再分解为止，确保每个因式在有理数范围内不能再分解. 8 多项式由5x2，－3xy和x这三项组成，它们的系数分别为5，－3，1，若不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是1；这三项都含有字母x，且x的最低次数为1.因此可提出公因式x. 高效课堂 例3 把多项式5x2－3xy＋x因式分解. 5x2－3xy＋x＝x(5x－3y＋1). 9 第一项的系数是负数. 高效课堂 例4 把多项式－3x2＋6xy－3xz因式分解. 应先把它转化成前面例题的情形，便可以因式分解了，所以应先将负号提取出来，然后再提公因式. 那么如何转化为正数呢？ 多项式－3x2＋6xy－3xz的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解. －3x2＋6xy－3xz＝－(3x2－6xy＋3xz) ＝－3(x2－2xy＋xz). 10 高效课堂 如果多项式的第一项的系数是负数，一般要提出负号，使括号内的第一项的系数变为正数，在提出负号后，多项式的各项都要变号. 11 做一做：把下列多项式因式分解： (1)x(x－2)－y(x－2)； (2)x(x－2)－y(2－x). 高效课堂 对于(1)，可以直接提取公因式x－2；对于(2)，可将2－x变形为－(x－2)，再提取公因式x－2. 它们是否有公因式，有的话分别是什么？没有的话能否通过等式的性质变形得到？ (1)x(x－2)－y(x－2)＝(x－2)(x－y). (2)x(x－2)－y(2－x)＝x(x－2)－y[－(x－2)]＝x(x－2)＋y(x－2)＝(x－2)(x＋y). 12 例5 把多项式12xy2(x－y)2－18x2y(y－x)2 因式分解. 高效课堂 13 1．把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( ) A．a(a－4)　 B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) 　 D．(a－2)2－4 2．已知a＋b＝3，ab＝2，计算a2b＋ab2等于( ) A．5 　 B．6 C．9　 D．1 B A 课堂评价 3．分解因式： 2a(b＋c)－3(b＋c)＝　 　．  4．分解因式：x3－2x2y＝　 　．  5．填空： (1)多项式ma＋mb的公因式是　 　；  (2)多项式3ma2－6mab的公因式是　 　；  (3)2a(y－z)和－3b(y－z)的公因式是　 　；  (4)多项式3a3b2－3a2b2－9a3b各项的公因式是　 　．  　3a2b　 　y－z　 　3ma 　 　m　 　x2(x－2y)　 　(b＋c)(2a－3) 　 6．分解因式： (1)3x－12＝　 　；  (2)ax＋ay＝　 　；  (3)3a2－6a＝　 　．  　3a(a－2)　 　a(x＋y)　 　3(x－4) 　 7．分解因式： (1)3x2－6xy＋x； (2)3a(x－y)－5b(y－x)； (3)x3y3－x2y4． (3)x2y3(x－y) (2)(x－y)(3a＋5b) (1)x(3x－6y＋1) 8．分解因式： (1)x(x－y)－y(y－x)； (2)a2x2y－axy2； (3)－4m3＋16m2－28m． 9．已知x＋y＝6，xy＝7，求x3y＋xy3的值． 解：∵x＋y＝6，xy＝7， ∴x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy［(x＋y)2－2xy］ ＝7×(62－2×7)＝154． (3)－4m(m2－4m＋7) (1)(x＋y)(x－y) (2)axy(ax－y) 10． 已知a＋b＝1，ab＝－3． (1)a2＋b2＝　 　；  (2)求2a3b＋2ab3的值． 解：(2)原式＝2ab(a2＋b2)＝2×(－3)×7＝－42． 　7 　 0.50 课堂总结 通过本课你学到了什么？ 有哪些收获？ 20 作业设计 基础性作业：教材例4后面的练习第1~3题，习题1.2前面的练习. 提高性作业：教材习题1.2第1~4题. 拓展性作业：请归纳、总结提公因式法应注意哪些问题，并与同学交流. 21 感 谢 观 看 $