1.2.1 提单项式公因式 课件-2025-2026学年湘教版数学八年级上册

1.2 提公因式法 提单项式公因式 湘教版·八年级数学上册 第1章 因式分解 1 新课导入 分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy 3xz x y x z 由此看出，xy，3xz有相同的因式x. 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 如何把多项式xy+3xz因式分解？ xy+3xz 提取公因式x 乘法分配率 =x·y+x·3z =x(y+3z) 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法． 探索新知 例1 把多项式 4x2－6x3 因式分解． 分析： 1. 定系数：多项式由 4x² 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2； 2. 定字母：这两项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为 2. 因此，可提出公因式 2x². 解：4x2－6x3 = 2x²(2－3x). 例2 把多项式 8x²y4－12xy²z 因式分解． 解： 8x²y4－12xy²z＝ 4xy² · 2xy²－4xy² · 3z ＝4xy²(2xy²－3z). 三名同学对多项式 2x²＋4x 进行因式分解，结果如下： (1) 2x² + 4x = 2(x² + 2x)； (2) 2x² + 4x = x(2x + 4)； (3) 2x² + 4x = 2x(x + 2). 上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？ 注意：公因式要提尽. (1) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x. (2) 错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2. (3) 正确. 注意：提公因式后，第三项还剩下数字 1. 例3 把多项式 5x²－3xy＋x 因式分解. 分析： 1. 定系数：多项式由 5x²，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1； 2. 定字母：这三项都含有字母 x， 3. 定指数： x 的最低次数为1. 因此，可提出公因式x. 解：5x²－3xy＋x＝x(5x－3y＋1). 例4 把多项式 －3x²＋6xy－3xz 因式分解. 分析：多项式 －3x²＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解. 解：－3x²＋6xy－3xz = －(3x²－6xy＋3xz) =－3x(x－2y＋z). 注意：首项有负常提负. 1. 因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a²－9ab； (3) －5a² + 25a. 解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3). (2) 3a²－9ab = 3a(а－3b). (3) －5a² + 25a = －5a(a－5). 针对训练 2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 1.说出下列多项式中各项的公因式： (1) 5x＋2xy； (2) πx3+πx2； (3) －12x2y＋18xy－15y. 3y πx2 巩固练习 【选自教材P6 练习第1题】 x 11 2.在下列括号内填写适当的多项式： （1）3x4－2x3+x=x( ); （2）－30x3y2＋48x2yz=－6x2y( ). 3x3－2x2+1 5xy－8z 【选自教材P6 练习第2题】 3.把下列多项式因式分解： （1）3xy－15y2＋9y； （2）7x3y－4x2y3＋18xy2； （3）12x4y2z3＋4x3yz2－8x2yz4； 原式=3y·x－3y·5y＋3y·3=3y(x－5y+3) 原式=xy(7x2－4xy2＋18y) 原式=4x2yz2(3x2yz＋x－2z2) 【选自教材P6 练习第3题】 （4）－6x3y2－4x2y3＋10x2y2. 原式=－2x2y2(3x+2y－5) 课堂小结 2. 确定公因式的方法： 一看系数，二看字母，三看指数. 1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式. 3. 用提公因式法分解因式应注意的问题： (1) 公因式要提尽； (2) 小心漏项； (3) 多项式的首项取正号. 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 课后作业 $$