2.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的定义与标准方程，通过平面截圆锥演示及建筑物、行星轨迹等实例导入，承接直线与圆的知识，类比圆的研究路径搭建学习支架，引导学生从直观到抽象构建新知。 特色在于动手操作（用纸板、绳子作图探究定义）与方程推导的探究式教学，渗透数形结合、类比思想，培养数学眼光（直观想象）、数学思维（运算推理），小组合作化简方程提升探究能力，结构清晰重点突出，助力教师高效教学，提升学生数学核心素养。

椭圆及其标准方程 一．教材分析： 本节课选自普通高中课程标准实验教科书北师大版选择性必修第一册第二章第一节第一课时，《椭圆及其标准方程》。本章引言部分介绍了什么是圆锥曲线，为什么研究圆锥曲线以及如何研究圆锥曲线，为学生梳理了本章的研究内容及方法。椭圆作为圆锥曲线之一，它是重要的数学模型，他和人们生活自然科学都有密切联系应用广泛。椭圆也作为其他圆锥曲线学习与研究的范式，为我们后续学习积累了有益的教学活动经验。 本节承接了前一章“直线与圆”继续用数形结合的思想研究，在学生已有的知识经验基础上，类比圆的研究路径来研究椭圆。从本章的教材编排上来看，本节课的学习起到了承前启后，铺路架桥的作用，具有重要地位。 二．学情分析： “直线与圆”一章，学生有了用动点轨迹定义曲线的经验，也已经初步经历和体验研究平面几何的坐标法，掌握了数形结合的思想，具备了一定的动手操作能力以及用代数方法研究平面几何的意识。但学生的理解，动手能力及计算能力较薄弱，缺乏知识的灵活变通，在接受知识方面依赖于感性事物，靠直觉认识。在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。 三．设计理念： 在教学设计过程中充分利用学生已有的知识经验，引导学生通过类比的方法掌握新知识，获得能力的提升。注重对数形结合，分类讨论，类比，转化的数学思想的渗透，同时提升学生的数学运算，直观想象等核心素养。 四．教学目标： 1.了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义，；学会推导椭圆的标准方程，能够根据条件确定椭圆的标准方程。 2.通过椭圆的定义及标准方程的推导进一步掌握求曲线标准方程的方法，提高学生的运算，解决几何问题的能力。 3.在动手实验、合作学习的过程中感受探究合作的乐趣，培养合作学习，应用意识，创新意识；体会数学的严谨性、对称美、简洁美。 五．教学重点难点： 重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。 难点：椭圆的标准方程的推导过程中坐标系的选择、含根式的代数式的化简 六．教学过程： 1.了解背景，把握整体 教师操作演示用平面截圆锥，学生观看演示过程，感受不同的截线情况，了解圆锥曲线的由来。教师指出本章将对椭圆，抛物线，双曲线这三类圆锥曲线进行系统的学习。 2.联系实际 感知形状 展示建筑物外形和行星在太阳系中的运动轨迹，由此看出一个共同的数学图形“椭圆”。使教学内容更接近生活，激发学生的学习兴趣，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望。 3.动手操作 定义探究 问题1：尝试利用手中的工具（纸板，绳子，图钉）作图，将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点，用笔尖拉紧绳子移动， 观察笔尖所形成的轨迹是什么图形？ 问题2：把笔尖看做一个动点，通过画椭圆的过程，思考动点在运动中满足什么样的几何特征？由此能否类比圆的定义总结出椭圆的定义？ 【设计意图】: （1）在“做”中学数学，学生通过动手实验的过程去体会椭圆的形成过程，从而对椭圆的定义形成一个直观的认识，为进一步概括椭圆定义做准备。 （2）使学生初步认识为定值时，对椭圆的扁的长度的影响，为椭圆的性质的学习埋下伏笔。 师生活动：学生总结，教师补充并板书 定义：平面内，到两定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合（或轨迹） 叫做椭圆，F1,F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距。 追问：有了常数2a的引入,你能用符号语言表示出椭圆上点的几何特征吗？ |PF1| + |PF2| = 2a (2a>|F1F2|) 思考交流： 定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”，其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？ ①若2a=2c，则轨迹为线段； 　　 ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 4.椭圆的标准方程 1、求一求（推导椭圆的标准方程） 提出问题：如何求椭圆的方程？教师引导类比圆的方程的建立，得出以下步骤。 ①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）椭圆具有一定的对称美，故所求的式子最好简洁工整） 　　以直线F1F2为x轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系、 ②设点：设|F1F2|=2c，则设P为椭圆上任意一点，P点与点F1、F2的距离之和为2a。 　③列式：动点满足的几何约束条件: 　　根据两点间距离公式得到方程： ④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号 让学生自己动手来化简上述方程，请两位同学到黑板上化简。 问题：化简过程中想一想，怎么样更简单的去根号呢？ 学情预设：学生化简时，有的可能直接平方，有的先移项再平方。 直接平方： （左右平方比较复杂） 移项后再平方： ， ， ， 引导学生观察等式两边的特点，发现都有， ， ， 都是定值，为了简化式子，令，则， 则，两边同除以，则 这是焦点在轴上时椭圆的标准方程。 【设计意图】：让学生以小组为单位合作探究多种化简方法，通过展示比较各组推导椭圆标准方程的过程，肯定学生的不同正确方法，增强学生学习数学的信心，从而提高学生分析、思考、归纳、整理的能力。 2、问一问 问题：焦点在y轴上的椭圆的标准方程是什么？ 焦点在y轴上时， 椭圆标准方程的特征： （1） 几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上； （2）代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值. 通过焦点在x轴上和y轴的图像类比，约束条件类比，得到焦点在y轴上的椭圆方程。从而体会数学的对称，简洁。让学生归纳两类方程的不同点和相同点。椭圆的标准方程有两个，并且椭圆的标准方程是一个专有名词，只有这两个形式的方程可以称为椭圆的标准方程。 七．应用举例： 教材第49页：例1，例2 八．课堂检测： 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（　　） （2）平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆.（　　） （3）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆.（　　） （4）设F1（－4，0），F2（4，0）为定点，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝8，则动点M的轨迹是椭圆.（　　） 2.下列哪些方程表示的是椭圆？如果是椭圆，请写出它的焦点坐标。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 3.　若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0），B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为　　　　　　. 九．课堂小结 问题1：这节课，我们学习了哪些内容？ 问题2：这些内容中要注意什么？ 问题3：学习过程中运用到了哪些数学思想方法？ 数形结合、类比、化归、分类讨论 师：提出问题，抽取学生回答，对学生的回答予以总结。 生：回想所学内容，积极思考，自己试着归纳总结所学内容。 师与生：结合本节课板书内容，做好整体的归纳总结。 十．作业布置 教材第52页：练习第1，2，4题 十一．板书设计 椭圆定义及标准方程 (一)、椭圆的定义：　　 　　 注明：①若2a=2c，则轨迹为线段； 　　 ②若2a<2c，则点的轨迹不存在 (二)、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时， 焦点在y轴上时， (三)、 求椭圆方程的方法 1、定义法 2、待定系数法 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $