江西高二数学上学期课时作业（北师大版选择性必修第一册2.1.1椭圆及其标准方程）

北师大版高中数学·选择性必修第一册 参考答案及解析 2.1.1 椭圆及其标准方程 1．D 【解析】由可知椭圆的焦点在轴上，且，，则， 故椭圆焦点的坐标为，． 故选：D 2．D 【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.解得. 故选： 3．C 【解析】由题知，所以点到另一个焦点的距离为. 故选：C. 4．A 【解析】解法1：设的中点为， 则，又点在椭圆上， 所以，化简得， 即的中点的轨迹是椭圆． 解法2：如图，取的中点，连接，则为的中位线． 因为，所以点的轨迹是椭圆． 故选：A． 5．A 【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 6．D 【解析】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 7．AD 【解析】若椭圆的焦点在轴， 则，，， 由，得； 若椭圆的焦点在轴，则，，，由，得， 故选：AD 8．BCD 【解析】 由，得，，则，，，因为P是椭圆上一点，所以，因为，所以，，故A错误； 的周长为，故B正确； 因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确； 因为为直角三角形， 所以， 故点P在圆上，故D正确. 故选：BCD. 9．24 【解析】如图所示：      根据椭圆方程可知， 因为点A，B在椭圆上，所以的周长为 . 故答案为：24. 10． 【解析】设椭圆上一点， 所以，点到直线的距离为 ， 当时，取最小值，即； 当时，取最大值，即. 故答案为：；. 11．【解析】（1）由，，动点满足， 可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，， 所以，，， 所以轨迹的标准方程为； （2）当动点满足时， 可得在以为直径的圆上， 设，可得， 又，解得，， 则的纵坐标为. 12．【解析】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去），所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为. 2 / 3 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业大赛设计说明 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 【2.1.1 椭圆及其标准方程（课时同步练习）】 学段学科 【高中】【数学】 适用年级 【高二年级】 教材版本 【北师大版选择性必修第一册】 对应内容 【2.1.1 椭圆及其标准方程】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长40分钟 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：依据普通高中数学课程标准要求，学生需要通过具体情境感受椭圆的几何特征，抽象概括出椭圆的定义；能推导并掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的几何意义与参数含义；能够利用定义和标准方程解决简单的求轨迹、求方程问题。通过本节课学习，提升学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。 · 教材地位：本节课选自北师大版高中数学选择性必修第一册圆锥曲线章节，是圆锥曲线内容的开篇第一类曲线。椭圆及其标准方程承接第一章直线与圆的方程、轨迹问题的学习，是学生从 “圆的特殊曲线” 走向 “一般圆锥曲线” 的重要过渡。椭圆的定义与标准方程是后续学习椭圆几何性质、双曲线、抛物线的基础，整套圆锥曲线的研究方法（定义 — 建系 — 求方程 — 研性质 — 用应用）均在本节正式建立，在整个解析几何知识体系中起到奠基、示范、统领的核心作用，是高中解析几何的重点教学内容。 · 教学重难点：教学重点：椭圆的定义的准确理解；椭圆标准方程的推导与两种标准方程的掌握。教学难点：椭圆定义中 “距离和为定值且大于两定点间距” 条件的辨析；标准方程推导过程中的根式化简、坐标系选择的合理性；根据条件灵活求解椭圆标准方程。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生在前期学习中，已经熟练掌握平面直角坐标系、两点间距离公式、圆的定义与标准方程，具备利用坐标法求曲线轨迹方程的基本步骤。同时学生具备一定的几何直观能力、代数运算能力和抽象概括能力，能够通过动态图形观察曲线特征，有能力类比圆的学习思路探究新的曲线。 现有困惑 学生首次系统学习非圆类的二次曲线，对“定义中的限定条件”理解不深刻，容易忽略定值与两定点距离的大小关系，无法准确辨析轨迹是否为椭圆。在方程推导中，双重根式化简运算量大、步骤繁琐，学生容易出现运算失误。同时学生难以自主理解 “建系原则”，不清楚为何选择焦点在坐标轴上建系，对两种标准方程的区分容易混淆。 差异分析 基础薄弱学生能够记忆椭圆定义和方程，但运算能力不足，在方程推导、带参数求方程的题型中容易出错，只能解决基础识别类题目。中等层次学生可掌握基础定义与简单求方程问题，但灵活应用定义解题、分类讨论的能力欠缺。优等生能够快速掌握推导过程，具备自主探究轨迹问题的能力，需要拓展综合性、变式性题目提升思维深度。 3. 设计意图 本次作业以基础巩固为主，紧扣椭圆定义、标准方程等课堂核心内容，帮助学生辨析定义中的限定条件，熟悉椭圆两种标准方程的识别与简单求解，落实基础知识与基本运算；同时兼顾分层，让不同水平学生都能巩固课堂所学，深化对坐标法求曲线方程思路的理解，培育直观想象与数学运算素养。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 Ⅰ 理解椭圆的定义，掌握定义中“到两定点距离之和为定值且大于两定点间距离”的限制条件；识记椭圆两种形式的标准方程，识别方程中a,b,c的含义与关系。 数学抽象 直观想象 能准确判断给定条件下动点轨迹是否为椭圆；能根据方程识别椭圆焦点位置，区分a,b,c。 能力运用 Ⅱ 能根据简单条件求解椭圆的标准方程；会利用椭圆定义进行简单计算，规范完成基础代数运算。 数学运算 逻辑推理 正确写出基础情境下椭圆标准方程；能借助椭圆定义完成线段长度计算，化简过程步骤规范。 思维发展 Ⅲ 体会解析几何坐标法研究曲线的基本思路，学会分类讨论焦点在x轴、y轴两种情况，形成严谨的推理习惯。 逻辑推理 直观想象 遇到不确定焦点位置的问题时，能主动分类讨论；能简单复述利用定义推导椭圆方程的思想方法。 情感态度 Ⅳ 克服根式化简的畏难情绪，感受数形结合的魅力；在解题中养成仔细审题、规范书写的良好习惯，增强学习解析几何的信心。 数学抽象 作业书写工整，主动尝试稍复杂的运算；愿意主动辨析易错题，减少概念性粗心错误。 四、作业内容与目标对应 2.1.1 椭圆及其标准方程 建议用时：40分钟 一、单选题 1．椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【对应作业目标编号】Ⅰ 【设计意图】考查椭圆标准方程识别，根据方程判断焦点位置，辨析关系，落实基础知识理解。 【参考答案】D 【解析】由可知椭圆的焦点在轴上，且，，则， 故椭圆焦点的坐标为，．故选：D. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【对应作业目标编号】Ⅰ、Ⅲ 【设计意图】考查椭圆方程成立的条件，训练学生对焦点位置的判断，渗透分类意识，加深对椭圆标准方程结构的理解。 【参考答案】D 【解析】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.解得.故选：. 3．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．1 B．3 C．5 D．13 【对应作业目标编号】Ⅰ、Ⅱ 【设计意图】直接考查椭圆定义，利用椭圆定义进行简单线段求值，巩固椭圆上点满足的几何关系，训练基础运算。 【参考答案】C 【解析】由题知，所以点到另一个焦点的距离为.故选：C. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【对应作业目标编号】Ⅰ、Ⅲ 【设计意图】结合中点、中位线，运用椭圆定义判断动点轨迹，强化定义迁移应用，体会求轨迹的几何思想，发展逻辑推理。 【参考答案】A 【解析】解法1：设的中点为，则，又点在椭圆上， 所以，化简得，即的中点的轨迹是椭圆． 解法2：如图，取的中点，连接，则为的中位线． 因为，所以点的轨迹是椭圆．故选：A． 5．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【对应作业目标编号】Ⅱ、Ⅲ 【设计意图】通过圆与圆位置关系转化为距离之和为定值，识别椭圆轨迹，训练学生把几何条件转化椭圆定义的能力，强化定义的实际应用。 【参考答案】A 【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，.故选：A. 6．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【对应作业目标编号】Ⅱ、Ⅲ 【设计意图】利用椭圆定义进行线段转化，结合平面几何求最值，训练等价转化思想，提升学生数形结合分析问题的思维。 【参考答案】D 【解析】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，，    将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为．.故选：D 二、多选题 7．椭圆的焦距为4，则m的值可能是（   ） A．12 B．10 C．6 D．4 【对应作业目标编号】Ⅰ、Ⅲ 【设计意图】焦距已知，需讨论焦点在 x 轴、y 轴两种情况，考查的关系，训练分类讨论思维，纠正忽略焦点位置的易错点。 【参考答案】AD 【解析】若椭圆的焦点在轴，则，，， 由，得； 若椭圆的焦点在轴，则，，，由，得， 故选：AD. 8．设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的周长为 C．的面积为4 D．点P在圆上 【对应作业目标编号】Ⅱ、Ⅲ 【设计意图】综合椭圆定义、三角形周长、直角三角形性质，多角度考查椭圆上点与焦点构成三角形问题，训练综合推理与运算能力。 【参考答案】BCD 【解析】如图所示： 由，得，，则，，，因为P是椭圆上一点，所以，因为，所以，，故A错误； 的周长为，故B正确； 因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确； 因为为直角三角形，所以， 故点P在圆上，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 【对应作业目标编号】Ⅰ、Ⅱ 【设计意图】考查椭圆定义的整体运用，不求解单个线段，直接利用椭圆定义求三角形周长，加深对椭圆定义的理解。 【参考答案】24 【解析】如图所示：      根据椭圆方程可知， 因为点A，B在椭圆上，所以的周长为 . 故答案为：24. 10．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最小值为 ，最大值为 ． 【对应作业目标编号】Ⅱ、Ⅲ 【设计意图】椭圆参数方程与点到直线距离公式结合，训练学生坐标运算能力，体会椭圆上动点的最值问题，落实数学运算素养。 【参考答案】 【解析】设椭圆上一点， 所以，点到直线的距离为 ， 当时，取最小值，即； 当时，取最大值，即. 故答案为：；. 四、解答题 11．已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 【对应作业目标编号】Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 【设计意图】第一小问由几何条件直接求椭圆标准方程，巩固求轨迹方程基本步骤；第二小问椭圆与垂直条件综合，训练联立方程运算，提升学生综合解题能力。 【参考答案】（1）由，，动点满足， 可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，， 所以，，， 所以轨迹的标准方程为； （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 设，可得，又，解得，， 则的纵坐标为. 12．求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程. 【对应作业目标编号】Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 【设计意图】多情境求解椭圆标准方程，覆盖定义法、待定系数法，训练学生根据不同条件灵活选择解题方法，规范书写运算步骤，克服解析几何运算畏难心理。 【参考答案】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得，又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去），所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去）， 所以椭圆方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $2.1.1 椭圆及其标准方程 建议用时：40分钟 北师大版高中数学·选择性必修第一册 课时同步练习 一、单选题 1．椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．1 B．3 C．5 D．13 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 5．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 7．椭圆的焦距为4，则m的值可能是（   ） A．12 B．10 C．6 D．4 8．设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的周长为 C．的面积为4 D．点P在圆上 三、填空题 9．若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 10．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最小值为 ，最大值为 ． 四、解答题 11．已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 12．求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程. 学科网（北京）股份有限公司 $