精品解析：陕西省咸阳启迪中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学科素养测试九年级数学试题 （时长100分钟 总分100分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，那么（　　） A. B. C. 2 D. 4. 如图，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 6. 如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 和的大小无法比较 8. 图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（　　) A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1 10. 如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（ ）．     A. 6或1或3.5 B. 1或3.5或4.2 C. 4.2或1或6 D. 6或4.2或3.5 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为________． 12. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）．若，则的长为______．（结果保留根号） 13. 已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为____． 14. 如图，点A，点B分别在函数和的图象上，轴，点C为x轴上一点，则的面积等于_______． 15. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为_____． 16. 如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为____． 三．解答题（共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1； （2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 20. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD． 21. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 22. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 24. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学科素养测试九年级数学试题 （时长100分钟 总分100分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：“卯”的视图是： 故选：A． 3. 在中，，，，那么（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 依据中，，，，进行表示即可． 【详解】解：∵在中，，画图如下： ∴， 故选A． 4. 如图，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得出，代入线段长度计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选C． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 7. 反比例函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 和的大小无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键：当时，第二象限点的纵坐标值都为正，第四象限点的纵坐标值都为负．根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， 又点在反比例函数的图象上，且， ， 故选：B． 8. 图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等． 故选B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，灵活运用夹角相等且两边对应成比例判定三角形相似和掌握数形结合的思想成为解答本题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则m的取值范围是（　　) A. m< B. m 且m≠1 C. m 且m≠1 D. m>且m≠1 【答案】C 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根，则≥0且m-1≠0，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1)x2+x-1=0有实数根， ∴≥0且m-1≠0， 即1-4×(m-1)×(-1)≥0且m≠1， 解得：m≥且m≠1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，注意m-1≠0． 10. 如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（ ）．     A. 6或1或3.5 B. 1或3.5或4.2 C. 4.2或1或6 D. 6或4.2或3.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为：． 12. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比，一元一次方程，解题的关键是掌握概念，利用较长的线段与整条线段的比值建立等式． 【详解】解：根据，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）． 根据，设，， ， 解得：， 故答案为：． 13. 已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是等边三角形，则该几何体的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图求侧面积，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识． 作，由左视图可知，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据几何体的侧面积个相同的长方形面积相加计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，如图，作，由左视图可知，三棱柱的高为2， ∵俯视图是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该几何体的侧面积． 故答案为：． 14. 如图，点A，点B分别在函数和的图象上，轴，点C为x轴上一点，则的面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知值求面积，连接，设与轴交于点，根据平行线间的距离处处相等，以及值的几何意义，得到，求解即可． 【详解】解：设与轴交于点，连接， ∵轴，且点A，点B分别在函数和的图象上， ∴； 故答案为：． 15. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，且，交于点，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比．设，则，可得是的高，证明四边形是矩形，得到，从而得，根据相似三角形的性质得到，代入即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，是高， ∴，即是的高， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即，的长度为． 故答案为：． 16. 如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为____． 【答案】## 【解析】 【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到． 【详解】解：过E作于M， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 三．解答题（共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟悉不同解法的特点，根据方程的特点选择合适的解法是关键． （1）该方程为一般形式，且不能因式分解，采用公式法解此方程更合适，套用公式即可解出方程； （2）该方程左边可以因式分解，用因式分解法即可解出方程． 【小问1详解】 解：， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，过C作于点D，然后利用相似三角形的判定证明即可． 【详解】 由作图知：， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1； （2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 【答案】（1）如图所示，△COD即为所求； （2）C（-6，-2），D（-4，2）. 【解析】 【分析】（1）根据位似变换的性质，即可画出位似△OCD；（2）根据位似变换的性质，即可求得A、B的对应点C、D的坐标. 【详解】（1）略 （2）C（-6，-2），D（-4，2）. 【点睛】本题考查了位似变换的性质，熟知位似变换的性质是解决问题的关键． 20. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，BD=23米，FB=2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD． 【答案】大楼的高度CD为14米． 【解析】 【分析】过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形． ∴EF=BJ=DH=1.5米，BF=EJ=2米，DB=JH=23米， ∵AB=2.5米． ∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1（米）， ∵AJ∥CH， ∴△EAJ∽△ECH， ∴， ∴， ∴CH=12.5（米）， ∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14（米）． 答：大楼的高度CD为14米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 21. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 22. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ，． ∴四边形是平行四边形． ∵，． ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）在中，利用勾股定理求出的长，再证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，， ． ． ∴在中，． ∵四边形是平行四边形， ． ∴． ． ． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 24. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别是上的点，连接，，则线段与的数量关系为_____； 【问题研究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上的点，点G是边上一点，连接，若，求的值； 【问题研究】 （3）如图3，在矩形中，，，点E、F分别在边上，将四边形沿翻折，点B的对应点G恰好落在上，点A的对应点是点H，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）设、交于点O，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）作，交于X，先四边形是平行四边形，得到，再证明，利用相似三角形的性质可得答案； （3）连接，，作点B关于的对称点R，连接，，由对称性可得，，，，由（2）可得；当A、G、R共线时，有最小值，即最小，最小值为的长，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：（1）如图1， 设、交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2， 作，交于X， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图4 连接，，作点B关于的对称点R，连接，， 由对称性可得，，，， 由（2）得，， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∴的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值， 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $