精品解析：四川省泸州市叙永县海风私立中2025--2026学年上学期九年级数学期中考试题

海风私立中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A. B. C. D. 4. 下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 5. 福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 7. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 10. 若二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别为，且，图像上有一点在x轴下方，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分） 13. 点关于原点的对称点的坐标是______． 14. 已知函数是关于的正比例函数，则的值为__________ 15. 现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是__________． 16. 如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是___________． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，求证：． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 20. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，点的对应点为点． （1）尺规作图：求作，使得点的对应点恰好落在上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若平分，求的度数． 21. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 22. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 23. 已知实数a，m，n满足． （1）若，求m，n的数量关系； （2）若m，n为正整数，则a的值能否等于3？请说明理由． 24. 已知抛物线． （1）求此抛物线的顶点的坐标； （2）若点，均在抛物线上，求线段的长度； （3）若这条抛物线经过点，，且，求的取值范围． 25. 如图，为的外接圆，，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海风私立中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 2. 下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式，再对比选项得出答案． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ． 故选：B． 4. 下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：A、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； B、的顶点坐标为，故本选项符合题意； C、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； D、的顶点坐标为，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，根据平均每月增长率模型，从一月至三月经过两个月增长，三月份产量应为一月份产量乘以，即可解答． 【详解】解：设该厂二、三月份平均每月的增长率为， 根据题意，得． 故选：C． 6. 如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，判断点与圆的位置关系．利用垂径定理求出半径的长，比较的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点在内； 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于原点，平行轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，中心对称的性质，根据平行四边形的性质得到点与点关于原点对称，点与点关于原点对称是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质求出，利用余弦求出BE，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 故选：． 【点睛】本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积． 9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 10. 若二次函数的图像与x轴有两个交点，坐标分别为，且，图像上有一点在x轴下方，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质，一元二次方程根的判别式及数形结合思想．根据每个选项的结论逐一分析判断即可得到结果． 【详解】解：A项：二次函数与x轴有两个交点，无法判断a的正负情况，不符合题意； B项：若，则有，即，， ∴， 若，则有或，即与同号， ∴，不符合题意； C项：若，则有；若，则有或，由于a的正负不能确定，不符合题意； D项：若，由B项知，， ∴， 若，由B项知，， ∴，符合题意． 11. 某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：本题可先解出第一次降价的手机价格，再根据第一次的售价解出第二次的售价，令它等于580即可． 解答：解：依题意得：第一次降价的手机售价为：1185（1-x）元， 则第二次降价的手机售价为：1185（1-x）（1-x）=1185（1-x）2=580； 故本题选B． 12. 若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程定义及方程中未知数的最高次数为2，可得，由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故选：B 二、填空题（12分） 13. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点关于原点的对称点的坐标是 故答案为： 14. 已知函数是关于的正比例函数，则的值为__________ 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的形式为是解题的关键．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：1． 15. 现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；  能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，）， ∴能构成三角形的概率为 故答案为． 【点睛】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 16. 如图，是等边三角形的外接圆．若，则的半径是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和特殊角的三角函数值解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理和的余弦值即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用配方法可以求解． 【详解】解：， ， ， 所以， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形的性质可得，，结合已知的，利用“”可证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可． 【详解】略 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据题意列出关于k的不等式，即可求得k的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 20. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，点的对应点为点． （1）尺规作图：求作，使得点的对应点恰好落在上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若平分，求的度数． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合旋转的性质，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，以点D为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，，即可； （2）由旋转得，，，可得，．由角平分线的定义可得，设，则，再根据，代入求出x即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转得，，， ∴，． ∵平分， ∴． 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 21. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 【答案】 （1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠BOC=90°， ∵E是OB的中点， ∴OE=BE， 在△OCE和△BFE中， ， ∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF=∠COE=90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）BD=． 【解析】 【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线； （2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=． 【详解】（1）略 （2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF=OC=2， ∴AF=， ∴S△ABF=， 即4×2=2BD， ∴BD=． 【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 22. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键． （1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可； ②用待定系数法求函数解析式； （2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可． 【小问1详解】 解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是， 故答案为：； ②由①可知，顶点坐标为， 故函数关系为， 把代入得， ， ， 故函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知函数解析式为， 当时，（负值舍去）， ， 在中， 令得， 解得（负值舍去）， ， ， ． 23. 已知实数a，m，n满足． （1）若，求m，n的数量关系； （2）若m，n为正整数，则a的值能否等于3？请说明理由． 【答案】（1）或 （2） 的值不能等于3，理由如下： 假设， 把代入中， ， 展开得到：， 移项可得：， 将其看作关于m的一元二次方程， ，，， ， ， ，n为正整数， ； 而要使得m为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数， 设为正整数， 整理得：， 即； ，n均为正整数，且2为素数， ， ， 解得：， 这与n为正整数矛盾， 的值不能等于 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，解题的关键是掌握相关知识． （1）将代入原式，再进行因式分解即可求解； （2）将代入原式，可得，将其看作关于m的一元二次方程，则，由于m，n为正整数，则必须是一个奇数的完全平方数，设为正整数，整理可得，再根据n，k为正整数，2为素数得，求得n与k的值，与已知矛盾． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ， ， ， 或， 或； 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线． （1）求此抛物线的顶点的坐标； （2）若点，均在抛物线上，求线段的长度； （3）若这条抛物线经过点，，且，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的对称性．解决本题的关键是根据二次函数的对称性判断的取值范围． 把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得：，根据顶点坐标式解析式即可得到抛物线的顶点坐标； 因为点和点的纵坐标相等，所以点与关于对称轴对称，由可知抛物线的对称轴是，所以点到对称轴的距离是，根据二次函数的对称性可知点到对称轴的距离是，所以可得：； 因为，可知点在对称轴的右侧，根据二次函数的对称性，可知点的对称点的坐标是，若要，则点在点的右侧，或在点的对称点的左侧，从而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：把抛物线的解析式整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标是； 【小问2详解】 解：点和点的纵坐标相等， 点与关于对称轴对称， 点到对称轴的距离是， 点到对称轴的距离也是， ； 【小问3详解】 解：抛物线的解析式中， 抛物线开口向上， 由可知，抛物线的解析可以整理为， 抛物线的对称轴是， 点的坐标为， 点关于的对称点的坐标是， 当点，在对称轴左侧时， 若，则， 解得：； 当点，在对称轴右侧时， 若，则， 解得：； 综上所述，若，则或． 25. 如图，为的外接圆，，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，．求出．，根据，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中， 是直径， ， ，， ， 的半径为． 【小问2详解】 解：如图中，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：如图中，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $