1.4.2充要条件课后达标练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2充要条件 一．选择题 1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1} C．{a|－1≤a≤3} D．{a|a≤3} 3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(跨学科融合)(多选)已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充分不必要条件的电路图是(　　) A　　　 　　B C　　　 　　D 二．填空题 7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为　　　　. 8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________. 9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______ 三．解答题 10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}． (1)若a＝1，求A∪B； (2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件． 12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长． 1.4.2充要条件 一．选择题 1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由题意得甲⇒乙⇔丙⇒丁，但乙甲， 因此甲⇒丁，丁甲，所以甲是丁的充分不必要条件．故选A． 2．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1} C．{a|－1≤a≤3} D．{a|a≤3} B　解析：因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，所以{x|x<a}{x|x≥3，或x≤－1}，故a≤－1. 3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 D　解析：a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0. 5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 D　解析：当x＝－3，y＝1时，x<y，但|x|＞|y|，故x＜y推不出|x|＜|y|；反之，当x＝1，y＝－3时，|x|＜|y|，但x＞y，故|x|＜|y|推不出x＜y.由充分条件、必要条件的定义，知“x＜y”是“|x|＜|y|”的既不充分也不必要条件． 6．(跨学科融合)(多选)已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充分不必要条件的电路图是(　　) A　　　 　　B C　　　 　　D AD　解析：对于A，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件；对于B，p⇔q，所以p是q的充要条件；对于C，开关S，S1与灯泡L串联，所以pq，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件． 二．填空题 7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为　　　　. 　解析：因为x2－8x＋15＝0的两个根为3和5，所以A＝{3，5}． 因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 所以B＝∅或B＝{3}或B＝{5}． 当B＝∅时，a＝0； 当B＝{3}时，3a－1＝0，所以a＝； 当B＝{5}时，5a－1＝0，所以a＝. 所以a的值可以是0，，. 故实数a的取值集合为. 8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________. {m|m>2}　解析：因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集，即m>2. 9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______ 充要条件 【解析】　a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形， 三．解答题 10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}． (1)若a＝1，求A∪B； (2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)因为a＝1，A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，所以A＝{x|3≤x≤8}． 因为B＝{x|x≤－2，或x≥5}， 所以A∪B＝{x|3≤x≤8}∪{x|x≤－2，或x≥5}＝{x|x≤－2，或x≥3}． (2)因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，所以AB． ①若A＝∅，则2a＋1>3a＋5，即a<－4，满足题意； ②若A≠∅，则或 即或 所以a≥2或－4≤a≤－. 综合①②知，实数a的取值范围为. 11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件． 证明：必要性：若＋＋2＝， 则＝， 所以a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2， 即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0， 故(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0. 因为a，b是正实数，所以a＋b＋2＞0， 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 充分性：若a＋b＝1， 则＋＋2＝ ＝＝ ＝＝. 综上，“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件． 12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长． 【证明】　(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)： 因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc， 即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0， 所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形； (2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)： 因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c， 所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 综上可知，命题得证． 1/7 学科网（北京）股份有限公司 $