1.4.1 充分条件与必要条件、1.4.2 充要条件基础过关练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

姓名 班级 1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件 基础过关练 题组一 充分条件、必要条件与充要条件的判定 1.已知p:-3<x≤1,q:-3<x<0,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.荀子曾说过:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这里的“积跬步”是“至千里”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.黄金三角形被称为最美等腰三角形,因此它被应用于许多经典建筑中.黄金三角形有两种,一种是顶角为36 ,底角为72 的等腰三角形,另一种是顶角为108 ,底角为36 的等腰三角形,则“ ABC中有一个角是36 ”是“ ABC为黄金三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则( ) A.p是q的充分条件 B.p是s的必要条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 5.设集合M={1,2},N={a2},则“a=”是“N⊆M”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.我们用[x]表示不超过x的最大整数,如[]=1,[-2.1]=-3,则“[x]=[y]”是“x-[x]=y-[y]”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.“a=”是“方程ax2+x+2=0有实数解”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.对于实数x,y,“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的 条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个作答). 题组二 充分条件、必要条件与充要条件的探究与证明 9.使x2<9成立的一个充分不必要条件是( ) A.x<3 B.0<x<3 C.-3≤x≤3 D.x>0 10.(多选题)下列四个条件中,能成为“a>b”的充分条件的有( ) A.< B.at2>bt2 C.|a|>|b| D.a3>b3 11.(创新题)(新情境 跨学科融合)设计如图所示的四个电路图,条件p:开关S闭合;条件q:灯泡L亮,则符合p是q的充分不必要条件的电路图是 .(填序号) 12.(教材习题改编)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 题组三 充分条件、必要条件与充要条件的应用 13.(多选题)设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件,则实数a的值可以为( ) A.- B.- C. D. 14.(多选题)若x>m2-2的充分不必要条件是0<x<1,则实数m的值可以是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 15.若“1-m<x+m<2m”是“0<<1”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 . 16.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B的 ? 请在①充分不必要条件;②必要不充分条件;③充要条件这三个条件中任选一个补充在上面的横线处.若实数m存在,求出m的取值范围;若m不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件 基础过关练 1.B 2.C 3.B 4.AD 5.A 6.D 7.A 9.B 10.BD 13.AD 14.ABC 1.B 因为{x|-3<x≤1}⫌{x|-3<x<0},所以p是q的必要不充分条件. 2.C “故不积跬步,无以至千里”,即“要至千里,必需积跬步”,而“至千里”还可能有其他必备因素. 3.B 若 ABC中有一个角是36 且 ABC不是等腰三角形,则 ABC不是黄金三角形,充分性不成立; 反之,若 ABC为黄金三角形,则 ABC中必有一个角是36 ,必要性成立,因此,“ ABC中有一个角是36 ”是“ ABC为黄金三角形”的必要不充分条件. 4.AD 由p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,可得p r,q r,r s,s q. 对于A,p q,所以p是q的充分条件,所以A正确; 对于B,p r s,所以p是s的充分条件,所以B不正确; 对于C,r q,所以r是q的充要条件,所以C不正确; 对于D,s q,所以s是q的充要条件,所以D正确. 5.A 由题意知当a=时,N={2},此时N⊆M,故充分性成立; 当N⊆M时,a2=1或a2=2,即a= 1或a= ,故必要性不成立. 综上,“a=”是“N⊆M”的充分不必要条件. 6.D 当x=0.5,y=0.6时,满足[x]=[y]=0, 此时x-[x]=0.5,y-[y]=0.6,即x-[x]≠y-[y], 所以“[x]=[y]”不是“x-[x]=y-[y]”的充分条件; 当x=0.5,y=1.5时,[x]=0,[y]=1, 此时x-[x]=0.5,y-[y]=0.5,即x-[x]=y-[y],但[x]≠[y], 所以“[x]=[y]”不是“x-[x]=y-[y]”的必要条件. 综上,“[x]=[y]”是“x-[x]=y-[y]”的既不充分也不必要条件. 7.A 当a=0时,方程为x+2=0,此时方程有实数解x=-2; 当a≠0时,若ax2+x+2=0有实数解,则 =1-4 a 2≥0,则a≤且a≠0. 综上,方程ax2+x+2=0有实数解的充要条件是a≤, 所以“a=”是“方程ax2+x+2=0有实数解”的充分不必要条件. 解题模板 解决充分条件、必要条件的判定问题,常先把问题等价转化. 8.答案 充分不必要 解析 由x2+y2<1,可得x2<1且y2<1,所以|x|<1且|y|<1, 所以“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分条件; 当x=y=时,满足|x|<1且|y|<1,但x2+y2=1, 所以“x2+y2<1”不是“|x|<1且|y|<1”的必要条件. 综上,“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分不必要条件. 9.B 由x2<9得-3<x<3,由题意得,使x2<9成立的充分不必要条件对应的集合为{x|-3<x<3}的真子集,只有B符合. 解题模板 一般将充分、必要条件的探求问题转化为集合间的关系问题,根据“小充分、大必要”求解. 10.BD 对于A,若a<0,b>0,满足<,但得不出a>b,故A错误; 对于B,由at2>bt2得(a-b)t2>0,易知t2>0,所以a-b>0,可得a>b,故B正确; 对于C,若a=-2,b=1,满足|a|>|b|,但得不出a>b,故C错误; 对于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(立方差公式)=(a-b)>0,所以a-b>0,可得a>b,故D正确. 11.答案 (1) 解析 题图(1)中,开关S闭合则灯泡L亮,反之,灯泡L亮不一定有开关S闭合, ∴p q,但q /p,∴p是q的充分不必要条件. 题图(2)中,开关S与灯泡L串联,∴p q,∴p是q的充要条件. 题图(3)中,开关S,S1与灯泡L串联,∴p /q,q p,∴p是q的必要不充分条件. 12.证明 必要性:因为a+b=1,所以a+b-1=0, 所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,必要性成立; 充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0, 又ab≠0,所以a≠0且b≠0, 则a2-ab+b2=+b2>0, 所以a+b-1=0,即a+b=1,充分性成立. 综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 易错警示 有关充要条件的证明,要从两个方面考虑,即充分性和必要性,缺一不可,解题时还要注意不能将充分性与必要性弄反. 13.AD 由题可得A={x|x2-x-6=0}={-2,3},B={x|ax-1=0且a≠0}=, 因为x∈B是x∈A的充分不必要条件,所以B⫋A, 所以B={3}或B={-2}. 当B={3}时,=3,所以a=; 当B={-2}时,=-2,所以a=-, 所以a的值为或-. 14.ABC 由题意可得{x|0<x<1}是{x|x>m2-2}的真子集,所以m2-2≤0,解得-≤m≤,结合选项可知A,B,C正确,D错误. 15.答案 {m|m>1} 解析 由0<<1得-1<x<1,由1-m<x+m<2m得1-2m<x<m, 因为“1-m<x+m<2m”是“0<<1”的必要不充分条件, 所以{x|-1<x<1}⫋{x|1-2m<x<m}, 所以且等号不同时成立,所以m>1, 所以实数m的取值范围为{m|m>1}. 16.解析 因为m>1,所以3m-2>1>1-m,故B≠ . 选①:充分不必要条件. 由题意得A⫋B,故且等号不同时成立,所以m≥4,即m的取值范围为{m|m≥4}. 选②:必要不充分条件. 由题意得B⫋A,故且等号不同时成立,所以m≤2,又m>1,所以m的取值范围为{m|1<m≤2}. 选③:充要条件. 由题意得A=B,故无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B的充要条件. 解题模板 在研究条件的充分性和必要性时,可以转化为集合间的关系.若条件p,q对应的集合分别为P,Q,则p是q的充分不必要条件 P⫋Q;p是q的必要不充分条件 P⫌Q;p是q的充要条件 P=Q. 7 学科网(北京)股份有限公司 $