5.2 勾股定理及其逆定理（2）学案 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦勾股定理的应用，通过复习回顾勾股定理引入，衔接探究新知环节，引导学生从数轴表示无理数、梯子安装等实际情境中构造直角三角形模型，搭建从定理到应用的学习支架。 以实际问题和古代数学问题为载体，注重引导学生用数学眼光观察现实世界，通过画图梳理条件培养几何直观，分层练习（必做、选做、综合拓展）兼顾不同水平，强化数学思维中的推理意识与模型意识，助力学生用数学语言解决实际问题。

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理（2） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 3.能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。 学习重点： 1.能从实际情境中抽象或构造直角三角形模型，明确定理应用的前提条件。 2.熟练运用勾股定理求解模型中未知边长，完成实际问题的数学解答与结果验证。 学习难点： 1.复杂情境中直角三角形模型的构建与要素提炼。 2.结合实际场景验证数学求解结果的合理性，避免脱离实际的纯数学计算偏差。 ► 学习过程 一、复习回顾 【回顾】什么是勾股定理？ 二、探究新知 探究一：运用勾股定理在数轴上表示无理数 教材第167页 【议一议】我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数和的点？ 探究二：运用勾股定理求解线段长度问题 【思考】图中是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图 . 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m？（已知≈3.71，≈3. 87） 三、例题精讲 例3(古代数学问题)“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺 . 引葭赴岸，适与岸齐 . 问水深、葭长各几何？”①意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺 . 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面 .问水深与芦苇长各为多少？ 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（　　） A． B． C． D． 2.如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2 3.一架长的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么他的底部滑行了（　　） A． B． C． D． 选做题 4.一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时他离出发点　 　． 5.如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞　 　米． 6.如图，圆柱的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点想吃到点的食物，需要爬行的最短路径是　 　． 【综合拓展类作业】 7.请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子原来高9尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点3尺处，求折断处离地面（即）的高度是多少尺？ 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么? 六、作业布置 1.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．4米 2.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A． B．3 C． D． 3.如图，数轴上有一个边长为的正方形，其中点、表示的数分别为、，以为圆心，对角线为半径画弧交数轴上点左边于点，则表示的数为　 　． 4.在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件． 答案解析 课堂练习： 1.【答案】B 【解析】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为， 旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， ∴是直角三角形， ∴折断的旗杆为， ∴旗杆折断之前高度为． 故答案为：B． 2.【答案】B 【解析】解：在中，，， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故答案为：B． 3.【答案】D 【解析】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴， 设它的底部滑行了，则有， ∴， 解得：； 故选D． 4.【答案】26． 【解析】解：如图， ， 故答案为：26． 5.【答案】10． 【解析】解：如图，连接，过点作 ∵ ∴四边形矩形 ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：10． 6.【答案】． 【解析】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接、，其中， 由题意可知：，， ∴需要爬行的最短路径是， ∴由勾股定理得， 故答案为：． 7.【答案】解：由题意可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得， 即折断处离地面（即）的高度是4尺． 作业布置： 1.【答案】A 【解析】解：过点C作 由题意得： ∴ ∴ 即：木马上升的高度为1米 故答案为：A 2.【答案】C 【解析】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：C． 3.【答案】 【解析】解：∵为正方形，边长为， ∴，， ∴在中，， ∵点所在的数为：， ∴点所在的数为：， 故答案为：． 4．【答案】解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵，， ∴； ∴． ∴学生搭建的帐篷符合条件． 学科网（北京）股份有限公司 $