5.2 勾股定理及其逆定理（3）学案 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理逆定理的探究、证明与应用，通过复习勾股定理引导学生提出逆命题，结合图形操作探究三边平方关系与直角三角形的关联，构建从定理到逆定理的知识支架。 本资料以情境与操作发展数学眼光（几何直观、抽象能力），通过全等推理证明提升数学思维（逻辑推理规范性），例题与练习构建“数量计算→形状判定”模型培养数学语言（模型意识）。如探究环节让学生经历“逆命题提出—画图验证—归纳定理”过程，例题涵盖基础判定与综合计算，分层作业满足不同需求，助力教师高效教学，帮助学生夯实知识并提升应用能力。

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理（3） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法，能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型。 学习重点： 1.勾股定理逆定理的探究、证明与内涵理解。 2.运用逆定理规范判定直角三角形。 学习难点： 1.逆定理演绎证明中辅助线添加与推理逻辑构建。 2.区分勾股定理与逆定理的适用场景，避免逻辑混淆。 ► 学习过程 一、复习回顾 【回顾】什么是勾股定理？ 二、探究新知 探究：勾股定理的逆定理 教材第169页 【说一说】我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为 ，斜边为，那么”它的逆命题是怎样的？ 【探究】如图，在△ABC中，已知AB=，BC=，AC=，且，那么△ABC是直角三角形吗？ 【归纳】勾股定理的逆定理： __________________________________________________________________________ 几何语言： __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 三、例题精讲 例4判断由线段组成的三角形是不是直角三角形. （1）； （2）. 例5如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.下列各组数作为三角形的三边长，其中能组成直角三角形的是(　　) A．1， 2， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．4， 5， 6 2.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，则（　　） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定 3.在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是(　　) A． B． C． D． 选做题 4.如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是　 　，最大边所对的角是　 　. 5.已知中，，，，且满足．则边上的高为　 　． 6.如图所示，已知，，，则的长为　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么? 六、作业布置 1.若三角形的三边长分别为且满足则此三角形中最大的角是(　　) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 2.如图，四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 3.如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．5 4.数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，． （1）请你判断的形状，并说明理由： （2）求三角形腰的长度． 答案解析 课堂练习： 1.【答案】C 【解析】解： 故不是直角三角形，故不正确； 故不是直角三角形，故不正确； 故是直角三角形，故正确； 故不是直角三角形，故不正确. 故答案为：C . 2.【答案】A 【解析】解：∵在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3， ∴， ∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°， 故选：A． 3.【答案】A 【解析】解：A、由a：b：c=2：3：4，设a=2x，b=3x，c=4x， ∴a2+b2=4x2+92=13x2，而c2=16x2 ∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形，本选项符合题意； B、∠A+∠B=90°，得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意； C、由∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形内角和定理可得：∠A+∠B+∠C=180°， ∴x+2x+3x=180° 解得：x=30° ∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意； D、由b2=a2-c2得到b2+c2=a2，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意； 故选：A. 4.【答案】直角三角形；直角. 【解析】解： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是：直角三角形；最大边所对的角是：直角， 故答案为：直角三角形；直角. 5.【答案】． 【解析】解：∵， 又∵ ∴， 解得， ∵， ， ∴，即， ∴是直角三角形，∠C＝90°， 设斜边上的高为， ∴， ∴； 故答案为： ． 6.【答案】． 【解析】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 7.【答案】（1）解：∵， ∴是直角三角形，． （2）解：∵， ∴， ∴在中，， ∴. 作业布置： 1.【答案】B 【解析】解： ∴该三角形为直角三角形. 故最大的角是直角 故答案为：B . 2.【答案】B 【解析】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积； 故选B． 3.【答案】A 【解析】解：正方形的面积， ∴， 正方形的面积， ∴， ∴， 正方形的面积的， ， ∴， ∴ ， 是中点， ， 故答案为：A． 4．【答案】（1）解：，，， ， 为直角三角形。 （2）解：设，则， 由（1）可知， ∴， 即：， ∵x＞0， 解得， 腰长为． 学科网（北京）股份有限公司 $