5.2 勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的实际应用-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第2课时勾股定理的实际应用 恋y 要点提园 在应用勾股定理解决实际问题时，关键是从题中抽象出直角三角形这一数学模型，画出准确的示意图，分析 图形中各线较之间的数量关集，正确运用勾股定理求解。一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算 求解：二是借助勾股定理通过列方程求解 @课内基础练 东 知识点①勾股定理的实际应用 1.古代数学文化我国古代数学名著《九章算 △60B 术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五 第4题图 第5题图 寸，欲为方版，令厚七寸，问广几何.”结合如 5.如图，小王与小林进行遥控赛车游戏，终点 图，其大意是今有一圆形材料，直径BD为 为点A,小王的赛车从点C出发，以4m/s 25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7 的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点 寸，则BC的长是 B出发，以3m/s的速度由南向北行驶.已 A.√674寸 B.25寸 知AC=40m,AB=30m,则开始游戏3s C.24寸 D.7寸 后，两赛车相距 1. 知识点②最短路径问题 6.(教材变式)如图所示的是一个正 25寸7寸 方体，有一只蚂蚁从点A沿表面 图① 图② 爬向点B,则它所爬过的最短路第6题网 第1题用 第2题图 径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为 2.(教材变式)如图，有一个由传感器控制的灯 ) A,要装在门上方离地高4.5m的墙上.任何 东西只要移至该灯5m及5m以内，灯就会 自动发光.当一名身高1.5m的学生走到灯 B 刚好发光的地方时，离墙的距离应是( A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m 3.(2025邵阳三中期末) O 如图，有两棵树，一棵高 7.如图所示的是一个三级 8 m 8m,另一棵高2m,两 台阶，每一级的长、宽和 树相距8m.一只小鸟 高分别为9,3,1，A和B 从一棵树的树梢飞到另 3题阳 是这个台阶两个相对的 第7延园 一棵树的树梢，则它至少要飞行 点.A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 A.7 m B.8 m C.9m D.10m 食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路 4.如图，要从电线杆的C处向地面A处拉一条 程是 () 长10m的电缆，测得∠CAB=60°，则BC的 A.18 B.15 长度是 m. C.12 D.8 八年级数学划版 已课外拓展练 11.某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动 8.华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前 员活动.如下图，在笔直公路MN一侧的点A 耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约 处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB 20000公斤.如图，在底面周长约为3m且 为600m.若宣讲车P周周1000m以内能听 带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕 到广播宜传，且宜讲车P以200m/min的速 度在公路MN上沿BN方向行驶，则村庄A 龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘 是否能听到广播宣传？为什么？若能，总共能 绕了3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高 听到多长时间的广播宣传？ 约12m,则雕刻在石柱上的巨龙至少( A.3/17mB.20mC.15m D.9√2m 第8题图 第9题图 9.跨语文学科《村居》中的“儿童散学归来早， 忙趁东风放纸鸢”描绘了孩童放风筝的活泼 景象.如图，小明在放风筝时进行了如下操 作：①测得水平距离BD的长为8m;②根据 手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为 核心素养练 1?m.如果小明想要风筝沿CD方向下降 12.模型观念如右图，圆柱形玻璃 9m,那么他应该往回收线 m 杯的高为14cm,底面周长为 10.跨物理学科如下图，∠AOB=90°，OA= 32cm.在杯内壁离杯底5cm的 9cm,OB-3cm,一机器人在点B处看见 点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在 一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚 杯外壁，位于离杯口3cm且与蜂蜜相对的 向点O,机器人立即从点B出发，沿BC方 点A处，求蚂蚁从外壁的点A处到内壁的 向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住 点B处的最短距离（杯壁厚度不计）. 了小球，如果小球滚动的速度与机器人行 走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？ 上册第5章 △10.6或10 到广播宜传。 11.解：(1)证明：因为∠ACB=90°，∠A=50,M为边AB的中 如图，设当宣讲车P在线段 点，所以CM=MA=MB,∠B=40°， CQ上行驶时，村庄A都能听 所以∠MCB=∠B=40°， 到广播宣传， 所以∠EMC=∠MCB+∠B=80' 则AC=AQ=1000m M 因为∠ACE=30°， 所以BC=BQ=√/10002-600=800(m), 所以∠MEC=∠A+∠ACE=80°， 所以CQ-BC十BQ=1600m: 所以∠MEC=∠EMC,所以CE=CM 所以村庄A总共能听到1600÷200=8(mn)的广播宣传. (②因为AB=4,所以CE=CM=AB=2. 12.解：沿过点A的圆柱的高展开圆柱的侧面，得到长方形EE G日，过点B作PQ⊥EF于点Q,作点A关于EH的对称点 因为EF1AC,∠ACE=30,所以EF-专CE=1 A',连接A'B交EH于点P,连接AP,如图所示，则AP十 PB就是蚂蚊到达蜂蜜的最短距高， 在Rt△EFC中，FC=√CE-EF=√2-1=√3. 12.解：(1)续写解答过程如下： 由题意，得AB=AC=BC=6. 因为AD1BC于点D,所以CD=2BC=3, 在R:△ACD中，根据勾股定理可得， 易知AP=AP,所以AP+PB=A'P十PB=A'B. AD=√/AC-CD=6-3=35, 因为B02X32=16(cm,A'Q=14-5+3=12(cm,所 所以5ae-7AD,BC-言X×35x6-95. 以在Rt△A'QB中，由勾股定理，得A'B=√16+12=20 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点D.设C (cm). BD■x,则CD=15一x, 第3课时勾股定理的逆定理 在R:△ABD与Rt△ACD中 1.D2.A3.B4.30”变式题6.5 AD=AB-BD.AD=AC2-CD, 5号变式题246m2619s 所以AB-BD=AC-CD, 即4-x2=132-(15-x)2, 7.解：在△BDC中，BC=15,BD=9,CD=12 部得天-号，思0一号 因为BD2+CD2=92+122=15=BC2, 所以△BDC是直角三角形，且∠BDC=90, 所以△ADC是直角三角形. 所以AD=vAB一D-√-(-， 因为S△Ax=2AB·CD=84,CD=12, 所以5-CAD=×15×普-2% 所以AB=14,所以AD=AB一BD=14一9=5 一题多解法 在R△ADC中，AD+CD=AC,即52+12=AC 所以AC=13,所以△ABC的周长是13+14+15=42. (2)如图，过点C作CD⊥AB交BA的C 8.解：1)③ 延长线于点D, (2)没有考虑a2一b2可能为0的情况 投AD=x,则BD=4十x (3)△ABC是等腰三角形或直角三角形 因为CD LAB, 9.C10.=11.2 所以在Rt△ACD与R△BCD中， 12.解：运动5s后，动点P运动的路程为2×5=10(cm) CD*=AC2-AD2,CD*=BC2-BD2, 动点Q运动的路程为2.8×5=14(cm. 所以AC2-AD=BC2-BD2, 因为AB=BC=CD=BD=5cm,所以运动5s后，点P与 即132-x2=152-(4+x)2, 点D重合，点Q在AB上，且BQ=14-10=4(cm). 解得x=5,即AD=5, 在△BPQ中，因为BP=5cm,BQ=4cm,PQ=3Cm 所以CD=√AC-ADF=√13-5=12， 所以BQ2+PQ=4+32=25=BP, 所以56-号AB·CD-号×4X12-24 所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP=90°， 所以∠AQP=180°-90°=90°， 所以此时△APQ是直角三角形， 第2课时勾股定理的实际应用 13,解：连接AC,如图。 266m 1.C2.A3.D4.535.356.B7.B8.C9.7 因为AB=6cm,BC=8cm, 10.解：设机器人行走的路程BC为xcm,则AC=BC=xcm, ∠ABC=90, 所以OC=(9-x)cm.在Rt△OBC中，因为OB2+OC2= 所以AC=√/AB+BC= 6 em BC,所以32十(9-x)2=x2,解得x=5,故机器人行走的 √/6+8=10(cm). B 8emC 路程BC是5cm, 又因为CD=24cm,AD=26cm,且102+242=262， 11.解：村庄A能听到广播宣传 所以AC2+CD2=AD2 理由：因为村庄A到公路MN的距离AB为600m,且在省讲 所以AC⊥CD. 车P周围1000m以内能听到广播宣传，所以村庄A能听 因为图中1cm代表实际距离10m, 196 八年级数学X版