精品解析：河南省信阳市新县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 国产人工智能迅速崛起，正在渗透到我们的工作和生活．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 6. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 8. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 10. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 减小 B. 增大 C. 减小 D. 增大 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 12. 点关于轴的对称点的坐标为 __________． 13. 如图，PM=PN，∠BOC=20°，则∠AOB=________度． 14. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数为______． 15. 如图，，，点C在射线AN上，，当x的取值范围是__________时，的形状、大小是唯一确定的． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 17. 如图，点，，，在同一条直线上，，，，，．求的度数． 18. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） （2）求出的面积为______． （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 20. 折纸又称“工艺折纸”，是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动．折纸过程中，其中的折线相当于图形的对称轴．如图，中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，连接． （1）根据以上作图步骤，请直接写出图中相等的线段； （2）若，，求的长度． 21. 如图，等边三角形中，D、E分别为边上的点，，与交于点F，于点G， （1）求的度数； （2）若，求的长度． 22. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动： 【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ （1）【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． （2）【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使． ， 　　． 又． 而． 　　． ， 　　． 又　　． ． ． （3）【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题： 当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 23. 如图1，．以点为顶点、为腰在第三象限作等腰． （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持与轴负半轴交于点与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，直接写出与的等量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 国产人工智能迅速崛起，正在渗透到我们的工作和生活．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的判断，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形称为轴对称图形，据此求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，此项正确； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A 3. 如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 4. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为，， ∴， ∴， ∴线段的长为， 故选：A． 5. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线的交点是解题的关键． 6. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 7. 某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 8. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、构成三角形的条件，根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A、已知，，，则直角三角形的斜边和一条直角边确定，满足，可知该三角形是唯一确定的，故此选项符合题意； B、已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定，故此选项不符合题意； C.、，，，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故此选项不符合题意； D、，，，未给出边长，无法唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 故选：A． 9. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．由平分，平分，利用角平分线的定义，可求出，的度数，由是的外角，是的外角，利用三角形的外角性质，可求出，的度数，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：平分，平分， ，． 是的外角，是的外角， ，， ． 故选：B 10. 某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ） A. 减小 B. 增大 C. 减小 D. 增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴增大，则减小， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 12. 点关于轴的对称点的坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，PM=PN，∠BOC=20°，则∠AOB=________度． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理证得OC平分∠AOB，进而可求得∠AOB的度数． 【详解】解：由图可知：PM⊥OA，PN⊥OB， ∵PM=PN， ∴OC平分∠AOB， ∴∠AOB=2∠BOC=2×20°=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查角平分线的判定定理、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的判定定理需要满足的条件是解答的关键． 14. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形外角定理，解题的关键是利用“等腰三角形两底角相等”找出相等的角，再结合“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”逐步推导角度． 先根据，利用等腰三角形等边对等角的性质，得出、；再将看作的外角，根据三角形外角定理求出，进而得到；最后已知，结合三角形内角和为，在中计算出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，，，点C在射线AN上，，当x的取值范围是__________时，的形状、大小是唯一确定的． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，含角的直角三角形性质．由全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：①当时， 在中，，， ， 即时，由判定的形状、大小是唯一确定的； ②如图， 当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图， 当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 已知的三边长分别为a，b，c，其中． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∴ ． 17. 如图，点，，，在同一条直线上，，，，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， 即， 和 中， ， ， ， ． 18. 如图，中，点D在边上，且． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 19. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题： （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标，即（______，______） （2）求出的面积为______． （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点的坐标为（　　，　　）． 【答案】（1） 如图所示：， （2） （3） 如图所示，作A关于y轴的对称点， 0，2 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称图形等知识点，根据提示作出正确的图形是解题关键． （1）确定各顶点关于x轴的对称点即可求解； （2）利用“割补法”即可求解； （3）作A关于y轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，据此即可求解； 【小问1详解】 解：故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：连接交轴于点，此时的值最小，则点的坐标为， 故答案为：0，2． 20. 折纸又称“工艺折纸”，是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动．折纸过程中，其中的折线相当于图形的对称轴．如图，中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，连接． （1）根据以上作图步骤，请直接写出图中相等的线段； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的作图和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质、含30度角直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）由作法得垂直平分，再由线段垂直平分线的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而得到，然后根据含30度角直角三角形的性质，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由作图可知， 垂直平分，交于点，交于点， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 21. 如图，等边三角形中，D、E分别为边上的点，，与交于点F，于点G， （1）求的度数； （2）若，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是关键． （1）由等边三角形的性质得到，证明，则，利用三角形外角的性质和等量代换即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，则，再利用含角的直角三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴ 22. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形全等“为主题开展数学活动： 【问题情景】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？ （1）【操作发现】如图，善思组通过作图发现，此时即“边边角”对应相等的两个三角形______ 全等填“一定”或“不一定”． （2）【探究证明】钻研组受善思组的启发，提出并解决了图2中以下问题： 已知：如图2，在和中，，，．求证：． 请阅读并补全证明 证明：在上取一点，使． ， 　　． 又． 而． 　　． ， 　　． 又　　． ． ． （3）【拓展应用】创新小组在此基础上进行了深入思考，把变为等腰三角形，且，点在射线上，点在的延长线上，，连接，与边所在的直线交于点请帮忙解决以下两个问题： 当点在线段上时，如图所示，求证：． 过点作交直线于点，若，，则______． 【答案】（1）不一定 （2），，， （3）①证明：过点作交于点，如图3.1， ，， ， ， ， ， 又， ， 在和中，， ， ． ②或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键； （1）观察图形，可知两个三角形不一定全等． （2）由等腰三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案； （3）①过点作交于点，证明，由全等三角形的性质得出．②分两情况画出图形，当点在线段上，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：由图形可知两个三角形不一定全等； 故答案为：不一定； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①略 ②解：如图3.2，当点在线段上， ，， ， ，， ， ； 如图3.3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点， 同理可得，， ，， ， ， ． 的长为2或4． 故答案为：2或4． 23. 如图1，．以点为顶点、为腰在第三象限作等腰． （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； （3）如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持与轴负半轴交于点与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，直接写出与的等量关系式． 【答案】（1）点的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案； （3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，轴于点， 点坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $