5.2 勾股定理及其逆定理（1）教学设计 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的探究、证明与应用，通过复习直角三角形性质导入，结合方格纸观察直角边3、4的三角形斜边长度，关联《周髀算经》历史背景，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料融合数学眼光、思维与语言，以方格计数、图形拼接培养几何直观，面积法证明发展推理意识，几何语言表达强化符号意识。探究活动中分割正方形验证定理，分层作业兼顾基础与拓展，助力学生探究能力与文化认同，为教师提供完整教学流程。

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理（1） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。 3.了解勾股定理的历史背景和不同证明方法，感受数学知识的多元性和文化价值。 学习重点： 1.勾股定理的探究与证明。 2.运用勾股定理进行直角三角形的边长计算。 学习难点： 勾股定理的面积法证明思路的形成。 ► 学习过程 一、复习回顾 【回顾】直角三角形的性质是什么？ 二、探究新知 探究：勾股定理 教材第164页 【观察】 如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为 3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ 【阅读】我国古代数学名著 《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作 ，较长的直角边叫作 ，斜边叫作 ，并提出“ ”. 这本著作还指出：_____________________________________________________________________________ 算一算：会等于吗？ 【探究】画一个边长为的正方形，将其分割成 4个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为斜边都为，你能计算出蓝色部分的面积吗？你有什么发现？ 【归纳】 勾股定理： ________________________________________________________________________ 几何语言: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 【小试牛刀】当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5都是正整数，且=，所以 3，4，5 是勾股数 . 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A） 5，12，13 （B） 6，8，10 （C） 7，24，25 （D） 8，15，16 注意：若 ()是一组勾股数，那么对于任意正整数 ，()也一定是勾股数。 【做一做】试通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 三、例题精讲 例1在△ABC中，已知∠C=90°，BC=，AC=，AB=. （1）若=1，=2，求c. （2） 若=15，=17，求. 例2如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A． B． C．3，5，7 D．5，12，13 2.在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（　　） A．2 B．6 C．20 D．36 3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 选做题 4.直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长　 　． 5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为.若=10 cm，=3：4，则△ABC的周长为　 　． 6.如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么? 六、作业布置 1.在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，则△ABC的面积为(　　) A．60 B．80 C．100 D．120 2.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　． 4.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 答案解析 课堂练习： 1.【答案】D 【解析】解：A、不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故是勾股数，符合题意； 故答案为：D． 2.【答案】B 【解析】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故答案为：B． 3.【答案】C 【解析】解：A、∵，本选项结论正确，故A不符合题意； B、∵，本选项结论正确，故B不符合题意； C、∵，本选项结论错误，故C符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，故D不符合题意； 故答案为：C． 4.【答案】2或10． 【解析】解：当8为斜边时，第三条边为 当6和8为直角边时，第三边为 故答案为：2或10 5.【答案】24cm． 【解析】解： 已知a：b=3：4，设a=3k，b=4k， 由勾股定理得：a2+b2=c2， 即(3k)2+(4k)2=102， 解得：k=2(舍负解)， 则a=3k=3×2=6cm， b=4k=4×2=8cm， ∴△ABC 的周长为=a+b+c=6+8+10=24cm， 故答案为：24 cm. 6.【答案】100． 【解析】解：，， ， ，， ， ， 故答案为：100． 7.【答案】解：，，， ， ， 又，，， ， 是直角三角形， 四边形的面积为： ． 作业布置： 1.【答案】D 【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 由于△ABC是等腰三角形，D为BC的中点， ∴BD=DC=BC=8， 在直角三角形ABD中，应用勾股定理得： AD2+BD2=AB2， 即AD2+82=172， 解得：AD==15， ∴S△ABC=×BC×AD=×16×15=8×15=120， 故答案为：D. 2.【答案】C 【解析】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据勾股定理得：a2+b2=c2， ∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200， ∴c2=100，∴c=10. 故答案为：C. 3.【答案】47 【解析】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得： ， ， ， 即最大正方形E的面积为：． 故答案为：47． 4．【答案】解：在中： ，米，米， （米）， 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， （米）， 答：船向岸边移动了9米． 学科网（北京）股份有限公司 $