5.2勾股定理及其逆定理 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《5.2勾股定理及其逆定理》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．以下列各组数据作为三角形的边长，不能组成直角三角形的是（   ） A． B． C．5，12，13 D． 2．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 3．如图所示，有一个长、宽各米，高为米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　） A．7 B．8 C． D．9 6．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在中，，，，则 °． 9．在中，，若，则斜边上的高的长为 ． 10．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 11．如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 12．如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根长为的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 ． 13．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 14．如图，在中，，，，将沿折叠，点C的对应点E落在上，再将沿折叠，使得点A的对应点恰好与点E重合，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 16．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 17．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八年级（1）班的小明和小芸在学习勾股定理后，来到操场上放风筝．已知小明站立最高点B，风筝正下方点D和风筝连接点Ｃ构成三角形． (1)经测量，，，，小芸判断是直角三角形，她的说法是否正确，请说明理由． (2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 18．已知中，，点为外一点，，与交于点． (1)如图1，若，垂足为，过点A作于点，求证：； (2)如图2，过作于点，若，，求的长； (3)如图3，点为中点，，过点作于点，若，，请直接写出的面积_____． 19．【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 20．【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 参考答案 1．D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．要判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，就是要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，依次对各个选项验证即可． 【详解】解：A、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查勾股定理计算和证明，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题的关键．根据勾股定理求得，再由，得到，，再次利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键． 分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可． 【详解】解：由题意得， 沿正面和下面的对角线时： 米； 沿正面和左面的对角线时： 米； 沿左面和下面的对角线时： 米； 米米， 米为最短路径． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理．由折叠前后对应边相等可得，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 故选：B 6．B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 8． 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 9． 【分析】本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的高． 【详解】解：在中，，， ∴ 的面积为：， 设斜边上的高的长为，则， ∴， 解得，， 故答案为：． 10．/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质．取格点，连接，，求得，推出，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：取格点，连接，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度． 先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可． 【详解】解：如图所示：，，， ∴吸管在饮料罐内部的长度为：， ∵吸管的总长度为， ∴外部长度为， 即吸管露在饮料罐外部的长度是． 故答案为：3 ． 13．38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 14．/ 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．先由折叠的性质得到，，根据，求出，进而求出，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 15．(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 16．(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为； （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元． 17．(1)是直角三角形，证明见解析 (2)风筝垂直下降的高度为． 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用． （1）证明，可得． （2）先求解，结合，，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴风筝垂直下降的高度为． 18．(1)见解析 (2)1 (3)42 【分析】（1）根据，垂足为，结合对顶角相等性质，利用角角边 dingli证明即可； （2）设交于点M，过点A作，交的延长线于点H，利用三角形全等的判定和性质，代换解答即可； （3）过点A作，交的延长线于点G，作于点F， 证明，设，则，证明， 再证明，就可以得到，，在中，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解方程，对顶角性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． （2）解：设交于点M， 过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， 连接， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， 解得 故． （3）解：过点A作，交的延长线于点G，作于点F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理，得， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴， ∴，， ∴的面积为：． 故答案为：42． 19．（1）见解析；（2）少0.16千米；（3）6 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，理解题意是解答的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）由，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 20．（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 学科网（北京）股份有限公司 $