5.2 勾股定理及其逆定理（1） 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理（1） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 01 经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。 02 了解勾股定理的历史背景和不同证明方法，感受数学知识的多元性和文化价值。 03 3 02 新知导入 回顾 直角三角形的性质是什么？ 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 任意直角三角形三边的长度之间是否存在数量关系？ 4 03 新知探究 观察 如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为 3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？ 两直角边分别为3，4的直角三角形，其斜边为5. 5 03 新知探究 我国古代数学名著 《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”. 这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方 . 对于这一结论，古人称为勾股算法 . 实际上，这一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系. 算一算，会等于吗？ 6 03 新知探究 探究 画一个边长为的正方形，将其分割成 4个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为斜边都为，你能计算出蓝色部分的面积吗？你有什么发现？ 7 03 新知探究 由于图中四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4个小直角三角形的面积， 因而S= . 思考：斜边都为𝒄 起什么作用？ 四边形ABCD一定为正方形吗？ 8 03 新知探究 在△ABE与△BCF中， 所以△ABE≌△BCF（边角边）， 因此∠1 = ∠3. 又∠1 + ∠2 = 90°， 所以∠3 + ∠2 = 90°， 因此∠CBA = 180°(∠3+∠2)=90°. 9 03 新知探究 同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°. 又BC=CD=DA=AB=， 因此四边形ABCD是正方形， 所以S=. 综上可知，S=. 10 03 新知探究 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么. 几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴。 （或） 03 新知探究 小试牛刀：当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5都是正整数，且=，所以 3，4，5 是勾股数 . 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A） 5，12，13 （B） 6，8，10 （C） 7，24，25 （D） 8，15，16 D 勾股数，也叫毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数，其中为斜边对应的数，为直角边对应的数。 03 新知探究 拓展 常见勾股数 （1）3,4,5 （2）6,8,10 （3）5,12,13 （4）7,24,25 （5）8,15,17 （6）9,12,15 （7）10,24,26 （8）12,16,20 （9）14,48,50 （10）15,20,25 …… 注意：若 ()是一组勾股数，那么对于任意正整数 ，()也一定是勾股数。 03 新知探究 做一做 试通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 答案:教材图(1)的面积有两种计算方法. 第一种:S(1)= = ; 第二种:S(1)= = . 14 03 新知探究 做一做 试通过图中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理. 图(2)的面积S(2)= =. 因为S(1)=S(2) 即= , 所以= . 15 03 新知探究 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=，AC=，AB=. （1）若=1，=2，求c. （2） 若=15，=17，求. 例1 解:（1）根据勾股定理得，== =5. 因为>0，所以=5 . （2） 根据勾股定理得， == =64. 因为>0，所以=8. 03 新知探究 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长. 例2 解:根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上的中线，因此BD=BC=5. 在Rt△ABD中，由勾股定理得，+=， 因此AD= = ==12. 故AD的长为12. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．　　 B．　　 C．3，5，7　　 D．5，12，13 2.在中，，、、所对边的长分别为，若，，那么的值是（　　） A．2　　　　B．6　　　　C．20　　　　D．36 D B 18 04 课堂练习 3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（　　） A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． C 19 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.直角三角形两条边长分别是6和8，则这个直角三角形的第三边长　 　． 5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为.若=10 cm，=3：4，则△ABC的周长为　 　． 2或10 24cm 04 课堂练习 6.如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和．已知，且，则的值为　 　． 100 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠BCA=60°，AC=2，DA=1，CD=3．求四边形ABCD的面积． 解：，，， ， ， 又，，， 22 04 课堂练习 ， 是直角三角形， 四边形的面积为： ． 23 05 课堂小结 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么. 常见勾股数 （1）3,4,5 （2）6,8,10 （3）5,12,13 （4）7,24,25 （5）8,15,17 （6）9,12,15 （7）10,24,26 （8）12,16,20 （9）14,48,50 （10）15,20,25 …… 06 作业布置 【知识技能类作业】 1.在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，则△ABC的面积为(　　) A．60　　　　B．80　　　　C．100　　　　D．120 2.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　） A．8　　　　B．9　　　　C．10　　　　D．11 D C 06 作业布置 3.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　． 47 06 作业布置 【综合拓展类作业】 4.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的） 解：在中： ，米，米， （米）， 06 作业布置 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， （米）， （米）， （米）， 答：船向岸边移动了9米． 07 板书设计 勾股定理： 验证勾股定理： 5.2 勾股定理及其逆定理（1） 习题讲解书写部分 $