北京市第二中学2025-2026学年高二上学期第二次段考数学试卷

北京二中2025—2026学年度第二学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第一册 命题人：刘怀颖 审核人：鲁智虎 得分：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 过点（1，0）且与直线=平行的直线方程式 （ ） A. B. C. D. 2. 下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 4. 已知直线过定点，与圆交于两点，则的最小值为（    ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 已知是正实数，则“”是“圆与圆有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ） A. （0，0） B. （2，2） C. D. 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆O:，直线，点在直线上。若存在圆O上的点Q，使得(O为坐标原点)，则的取值范围是（ ） A. B. [0,1] C. D. 10. 曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（ ） ①当时，曲线是轴对称图形 ②当时，曲线关于中心对称 ③当时，曲线所围成的面积小于 ④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 11. 已知双曲线C经过点，渐近线方程为，则C的标准方程为___________． 12. 已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则______． 13. 已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，，，则； ③若，，m，n是异面直线，那么n与相交； ④若，，则且． 其中错误的命题为______． 14. 已知椭圆的左焦点为，不经过且斜率为的直线交C于A，B两点．当的周长最大时，______． 15. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论： ① 曲线上任意两点间距离的最大值为； ② 曲线的周长大于曲线的周长； ③ 曲线与圆有且仅有个公共点. 其中正确的序号为________________. 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）若为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 17. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 18. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 20. 已知椭圆的右焦点为，且经过点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点. 21. 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且. 定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表. （1）当时，试写出一个符合条件的完美数表； （2）证明：不存在10行10列的完美数表； （3）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：. 北京二中2025—2026学年度第二学段高二年级学段考试试卷 数学选择性必修第一册 命题人：刘怀颖 审核人：鲁智虎 得分：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题纸上） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】②③④ 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】①③ 三、解答题（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【17题答案】 【答案】（1）. （2）条件①：；条件③：. 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 【19题答案】 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2） 【20题答案】 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）设 联立得， ，，. 直线，令得，即； 同理可得. 因为,所以； ，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点. 【21题答案】 【答案】（1）答案不唯一. 如 1 1 1 （2）证明：假设存在10行10列的完美数表. 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表； （2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式： 在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w列（如上表所示）， 则 由，得； 由，得； 由，得. 解方程组，，，，得. 这与矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. （3）证明：记第1列前行中的数的和， 第2列前行中的数的和 ，……， 第n列前行中的数的和， 因为对于任意的和，都有， 所以. 又因为对于任意（），都有， 所以. 又因为， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $