精品解析：四川省巴中市第三中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

2025年秋九年级数学期中考试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先明确俯视图的定义，再分析该几何体从上方观察得到的图形特征，最后匹配选项得出答案． 【详解】解：俯视图是从物体的上面向下面观察所得到的视图，观察时需关注，能看到底面的轮廓，同时要区分可见和不可见的棱， ∵观察题中几何体，从上方看，底面是一个四边形， ∴从上方俯视时，能看到底面的四边形形状，同时中间会有一条棱， 故：C选项符合． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； D、由已知方程得到：，属于一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 如图，已知中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据，可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键． 4. 反比例函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，故可得答案． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 5. 下列命题是真命题是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线相等 C. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； B、菱形的对角线垂直，原命题是假命题； C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，原命题是假命题； D、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. 用长的铝合金材料做一个形状如图的长方形窗框．若窗框的面积为．设窗框的长．则根据题意列出的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设出长为，然后表示出宽，利用面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设窗框的长，则宽为， 根据矩形的面积得：， 故选：A． 7. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故①符合题意； 当添加可判定，故②符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意； 故选C． 8. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8）， ∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°， 由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°， 在直角三角形BEO中：， ∴， 设，则 在直角三角形ADE中：， ∴， 解得， ∴， ∵∠DEB=90°， ∴， 故选D. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 9. 如图，已知在中，D、F分别是边上的点，，，那么________（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键．由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出、四边形、四边形的面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， 设的面积是，则和的面积分别是，， 则和分别是，， ． 故选：D． 10. 规定，，例如，，下列结论中，正确的是（ ）（填写正确选项的序号） ①若．则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A. ①④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值、代数式求值，掌握去绝对值符号的方法是解题的关键． ①根据绝对值的非负性质分别计算和的值，从而计算的值即可； ②根据去绝对值即可； ③利用数轴按不同的取值范围去绝对值符号并解方程即可； ④根据和的表达式用绝对值将表示出来，根据其几何意义判断即可． 【详解】解：①∵，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴①正确； ②∵， ∴， ∴②不正确； ③，即， 当时，得，无解； 当时，得，解得：； 当时，得，无解； ∴当时成立， ∴③不正确； ④， 它的几何意义是数轴上表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点位于表示的点与表示的点之间时，其距离之和最小，最小值为， ∴④正确． 综上，①④正确． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．设，，代入即可求解． 【详解】解：∵，即 ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 已知在中，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵ ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 13. 设、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 14. 若函数是反比例函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．根据矩形的性质得出，，求出，，由勾股定理求出，，分为两种情况：①当时，②当时，求出即可． 【详解】解：根据题意得：， 四边形是矩形，，， ，， ，， 由勾股定理得：， 过作于，则， ， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得：， ①当时，， 解得：或（舍去）， ； ②当时，， 解得：， 即当的值为或时，是以为腰的等腰三角形． 故答案为：或． 三、解答题（共95分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的实数根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算、分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握运算法则进行计算是解答本题的关键． （1）原式分别计算有理数乘方、特殊三角函数值、化简绝对值以及计算零指数幂，然后进行加减运算即可； （2）先将分式进行化简，求得方程的解，选择合适的x的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ， ， ， 解得或， ∵原分式有意义，则，，且，，即，，． ∴舍去， 取， 当时，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． （1）写出点P的坐标为 ； （2）与的面积比为 ； （3）请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】（1） （2） （3）解：如图，即为所作． 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键． （1）连接，相交于点P，由图可得点P坐标； （2）由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案； （3）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，点P的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵, ∴与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，代入中即可求解． 【小问1详解】 由题意知， 解得； 【小问2详解】 ， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 19. 如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 20. 如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． （1）求证四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】 （1）证明：∵点O是AC的中点， ∴AO=CO， ∵AM∥BN， ∴∠DAC=∠ACB， 在△AOD和△COB中， ， ∴△ADO≌△CBO（ASA）， ∴AD=CB， 又∵AM∥BN， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM∥BN， ∴∠ADB=∠CBD， ∵BD平分∠ABN， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AD=AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由ASA证明△ADO≌△CBO，得到AD=CB，再证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD=AB，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC=DE=4，AD=EC，由菱形的性质得出EC=CB=AB=4，得出EB=8，由勾股定理得BD，即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD=CB， 又DE⊥BD， ∴AC∥DE， ∵AM∥BN， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE=4，AD=EC， ∴EC=CB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EC=CB=AB=4， ∴BE=8， 在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×=． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 21. 当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． （1）求关于的函数表达式； （2）为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 【答案】（1） （2）为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）等量关系式：销售量70元售出时的平均每天销售量售价增价，列出函数，即可求解； （2）等量关系式：平均每天400元的销售利润每件利润销售量，据此列出方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可知： 每日销量为， 每件纪念T恤的利润为元， 每日的利润为元， 根据题意可列方程， ，， 又， 舍去， 为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）点到的距离的长为米． （2）解：轿车能驶入小区，理由： 由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． 【小问2详解】 略 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1）； （2）如图，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明后即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点H，证明后即可求证； （3）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，由三角函数设，则，由勾股定理可得，得到，，，利用面积法可得，即可求解． 【详解】解：（1）设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2） 略 （3）如图所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 24. 【阅读理解】 在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】 （1）仿照小明的思路，可以计算出_____． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____．_____． 【拓展应用】（3） 在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点E、C、F共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为1.5米（即米），后退与前进的距离之和为米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，读懂题意，构建相应的直角三角形是解题的关键． （1）作图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可得到答案． （2）作图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可得到的值，在中，，设，，在上截取，设，则，设，根据勾股定理列方程，，得到，进一步求解即可得到的值． （3）延长交于，结合题意可知，，，，同时，，，设，，进一步求解可得到的值，故可算出这棵树的高度． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理，， ，，， 设，， 则，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 答：这棵树的高度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋九年级数学期中考试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象可能是（    ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线相等 C. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 6. 用长的铝合金材料做一个形状如图的长方形窗框．若窗框的面积为．设窗框的长．则根据题意列出的方程为（    ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知在中，D、F分别是边上的点，，，那么________（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 10. 规定，，例如，，下列结论中，正确的是（ ）（填写正确选项的序号） ①若．则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A. ①④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则代数式的值是______． 12. 已知在中，，则______． 13. 设、是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 若函数是反比例函数，则________． 15. 如图，已知矩形，，，为边上一点，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着边向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，则当的值为________时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（共95分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的实数根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． （1）写出点P的坐标为 ； （2）与的面积比为 ； （3）请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 19. 如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． （1）求证四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 21. 当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． （1）求关于的函数表达式； （2）为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 22. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 23. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 24. 【阅读理解】 在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】 （1）仿照小明的思路，可以计算出_____． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____．_____． 【拓展应用】（3） 在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处，测得此时的仰角为，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点E、C、F共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为1.5米（即米），后退与前进的距离之和为米（即米），请求出这棵树的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $