3.4 问题解决策略：归纳 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦七年级上册第三章“整式及其加减”中的归纳策略，通过台阶摆花情境趣引和3^2024个位数字等问题萌生环节，引导学生从特殊到一般构建规律认知，搭建“简单情形—规律发现—一般结论”的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，如长方形内点分三角形问题中，通过协作破阵分析点与三角形数量变化，培养数学思维中的推理能力，最终用2n+2等代数式表达规律体现数学语言。教学方法上采用问题链驱动和当堂小测巩固，助力学生发展归纳能力，也为教师提供结构化教学流程与丰富实例。

第三章 整式及其加减 问题解决策略：归纳 2024版北师大数学七年级数学上册 学习目标 1.进一步经历借助归纳策略解决问题的过程,了解归纳策略的意义、适用条件和一般步骤,体会归纳策略在分析问题、解决问题中的价值,发展推理能力. 2.积累利用归纳策略解决不同知识领域问题的经验,提高分析问题、解决问题的能力. 教学设计的基本环节： 协作破阵 问题萌生 情境趣引 教师演示 巩固拓能 当堂小测 反思拾贝 作业妙想 情境趣引 问题:从数到式的思维进阶是怎样发生的,借助代数式表达的规律有怎样的意思？是如何找到这个规律的？ “学校要在教学楼前的台阶摆花,第1级台阶摆3盆,第2级摆5盆，第3级摆7盆…… 老师想知道,摆到第10级台阶时需要多少盆花？如果要摆101盆花,能摆到第几级台阶？ 4 问题萌生 在本章学习过程中,我们经历过很多次“归纳”的过程,即从几种特殊情形出发,进而找到一般规律的过程.归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略. 的个位数字是多少？ 问题1:这个问题中，已知条件是什么？要解决的问题是什么？ 条件：一个关于3的高次幂的运算 问题：寻找它的个位数字 追问1:你遇到的问题是什么？你准备怎么办？ 2024次幂的结果太大，无法计算；尝试从低次幂开始，借助探索规律中的学习经验，找找规律. 问题萌生 追问2:你能尝试计算3的低次幂,完成下面的表格吗？ 幂 个位数字 3 9 7 1 3 9 7 1 追问3:观察指数和个位数字的结果，你有怎样的发现？ 1.末尾数字按3,9,7,1的顺序循环出现,4次一个完整循环 2.2024÷4=506，所以问题中的个位数字与的个位数字相同是1 追问4:解决本例的方法，你有怎样的思考？ 6 分析问题 寻找策略 解决问题 问题萌生 问题背景：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格.它将整个区域分割为若干三角形,通过把相邻三角形涂上不同颜色,产生立体及光影的效果,随着三角形数量增加,效果更为斑斓绚丽. 将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形内取一定数量的点,连同长方形的个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形. 问题萌生 当长方形内有1个点时,可分得4个三角形；当长方形内有2个点时,可分得6个三角形（不计被分割的三角形）. 问题:当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形？ 请同学们按照分割三角形的描述，尝试动手画一画1个点和2个点的图形 问题萌生 问题2:这个问题中,已知条件是什么？要解决的问题是什么？ 条件：长方形内找到点,连接后产生三角形 问题：寻找三角形的数量 追问1:你遇到的问题是什么？你准备怎么办？ 35个点数量太多，图形不易画出.尝试从1个点开始，借助探索规律中的学习经验,找找规律. 追问2:刚才画图的过程中，我们发现，当长方形内有1个点时,可分得4个三角形；当长方形内有2个点时,可分得6个三角形（不计被分割的三角形）,你能发现规律吗？你要怎么做？ 继续画图,直至找到规律 问题萌生 追问3:观察下面3个点和4个点的图形,看看和你画的是否一样？并尝试总结数字规律,并填写在表格中. 长方形内点的数量 三角形个数 1 4 2 6 3 8 4 10 协作破阵 追问4:对比两组数据,你有怎样的发现？ 长方形内点的个数增加1，三角形的个数增加2. 追问5:以上猜想是否合理，给出你的解释? 猜想是合理的.在长方形内已经有n个点的情况下,新增的一个点要么在某个三角形内部,要么在某条线段上.当新增的这个点在某个三角形内部时,连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形,三角形的个数增加2；当新增的这个点在某条线段上时,连接该点和它所在两个三角形的顶点,三角形的个数同样增加2. 当长方形内有35个点时,分得的三角形的个数是4+2×34=72 追问6:当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形？ 11 协作破阵 追问6:如果长方形内有100个点呢？一般地,如果长方形内有n个点呢？ 长方形内有100个点时,4+2×99=202个 长方形内有n个点时,4+2×(n-1)=2n+2 追问7:从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结论,你有哪些经验？ 降低复杂度：复杂问题往往难直接入手，从简单情形开始,更容易观察规律、找到突破口 便于观察规律：简单情形的结果更直观，能快速发现数量变化的逻辑,为归纳一般结论打基础 减少错误：简单情形的推理和计算更易验证,能避免直接分析复杂情况时的逻辑漏洞. 协作破阵 1.先从“最少数量”的情形入,记录对应结果； 2.逐步增加变量,对比前后结果的变化规律； 3.验证规律的普遍性; 4.把规律用公式或文字总结成一般结论. 追问8:你还能提出并解决什么问题？ 问题①：逆向思维 如果图形中有100个三角形，长方形内有多少个点？ 问题②：图形拓展 如果把长方形改成正五边形，你可能得到怎样的结论？ 问题③：思维升阶(尝试借助图形归纳解决下面问题) 古人说“一尺之竿,日取其半,万世不竭”—— 意思是一根1尺长的竹竿,每天砍去剩下的一半,永远也砍不完！ 教师演示 在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干简单情形中寻找相应的规律.初步发现规律后,可以通过更多的情形验证,再考虑一般情况.最后,试着给出合理的解释,并用数学语言简洁地表达规律. 《怎样解题》该书是全球最畅销的数学教育书籍之一，首次系统提出“数学解题的四步流程” 第一步：理解问题：明确已知条件、未知量、限制条件，用自己的话重述问题； 第二步：制定计划：联想过往经验,尝试用画图、列方程、特殊化等方法搭建思路； 第三步：执行计划：逐步推进解题过程,检查每一步的合理性,若卡壳则返回第二步调整计划； 第四步：回顾反思：验证答案是否正确,思考是否有更简洁的解法,能否将方法迁移到其他问题（即 “举一反三”）. 波利亚 理解问题 拟定计划 实施计划 回顾反思 教师演示 例:某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型如图 所示,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.按照这一规律,第60种化合物的分子结构模型中有多少个氢原子？ 巩固拓能 知识背景:灰球表示碳原子，白球表示氢原子，它们分别用C、H表示，我们常用下标数字代表他们的个数. 图1： 图2： 图3： 图 根据前面的学习经验,第60种化合物的数量太多，也没有对应的图案，画图难度较大，我们采取从少到多，逐步归纳的方法解决问题，请把6副图中的碳原子和氢原子个数表示出来 巩固拓能 尝试归纳出碳原子和氢原子的数量规律 方法一 碳原子：对应图形的序号，按正整数依次增加 氢原子：从第一个图案开始，依次加2，但图1从4开始 方法二 碳原子：对应图形的序号，按正整数依次增加 氢原子：下标数全是偶数，4=2×2,6=2×3,8=2×4 第60个可以表示为 如果从碳原子和氢原子的数量关系来看，设碳原子有个，你能用含的式子表示氢原子的数量吗？ 当堂小测 1.蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为打不死的小强， 是因为它的繁殖速度非常惊人.某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代 数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，那么 下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第15代的只数是( ) D A. B. C. D. 18 当堂小测 2.如图，下列是由同种型号的黑、白两种 颜色的等边三角形瓷砖按一定规律铺设的 图形.仔细观察图形可知： 实践与探索： 图1有1块黑色的瓷砖，可表示为 ；图2有3块黑色的瓷砖，可表 示为 ； 19 当堂小测 （1）请在图3的虚线框内画出第3个图形. 解：图3如图所示. （2）第4个图形有____块黑色的瓷砖. （3）第个图形有___________块黑色的瓷砖（用含有 的代数式表示）. 10 当堂小测 3.观察： ，，， ， ，，， ， …… （1）归纳计算结果中的个位数字的规律. 解：个位数字的规律为1，3，7，5四个数字循环. 当堂小测 （2）写出其中个位数字分别为1，3，7，5的算式各两个. 解：，， ， ，， ， ， .（答案不唯一） （3）指出 的个位数字. 解：，的个位数字与 的个位数字相同， 为5. 反思拾贝 1.用“归纳策略”找规律时,为什么要先研究“简单情形”？直接研究复杂情形会遇到什么困难？ 2.本节课中我们发现的“点的数量与三角形个数”的规律,能用数学式子表达吗？这个式子背后的道理是什么？ 3.除了“分割三角形”,生活中还有哪些问题可以用“归纳策略” 来解决？试着举一个例子. 作业秒想 一、基础巩固作业： 课本第103页 第4题 二、素养类作业 课本109页 第22题(动手试一试) 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $