精品解析：天津市建华中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025—2026学年度第一学期八年级期中质量调查试卷 数学 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间共100分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查轴对称图形的识别．轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形，据此解答即可． 【分析】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选D． 2. 下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线， 根据三角形的高线的定义解答即可.从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段是三角形的高线． 【详解】过点B作边上的垂线，B与垂足之间线段长即为高，只有B选项符合，而A、C、D都没有作的垂线，故错误． 故选：B． 3. 如图，已知P是的重心，连接并延长交于点D，若的面积为20，则的面积为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】依据P是的重心，即可得到是的中线，进而得出的面积等于面积的一半． 【详解】解：∵P是的重心， ∴是的中线， ∴的面积等于面积的一半， 又∵的面积为20， ∴的面积为10． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答本题的关键． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的两锐角互余可证出∠A=∠BCD=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，从而求出AD的长． 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵CD是△ABC的高， ∴∠BDC=90°， ∴∠BCD+∠B=90°， ∵∠BCD=30°， ∴∠A=∠BCD=30°， ∵BD=2， ∴BC=2BD=4， ∴AB=2BC=8， ∴AD=AB-BD=8-2=6． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得AB的长是解题的关键． 5. 如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 6. 下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式的运算，根据同底数幂的乘法可判断①、③；根据乘方的意义及同底数幂的乘法可判断②；根据合并同类项可判断④．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①∵和的底数不同， ∴指数不能相加，故原算式不正确； ②，故原算式正确； ③，故原算式正确； ④，故原算式正确， 综上，正确的有②③④，共个． 故选：C． 7. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假及其逆命题的真假．需逐一判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题． 【详解】解：原命题若，则，当时，命题不成立，原命题是假命题； 逆命题若，则，当时，命题不成立，逆命题是假命题； 故命题①不符合题意； 原命题若，则，，命题成立，原命题是真命题； 逆命题若，则，当时，也可能是，逆命题是假命题； 故命题②不符合题意； 原命题若，，则，根据有理数的加法法则可知原命题是真命题； 逆命题若，则，，当，时，也成立，逆命题是假命题； 故命题③不符合题意； 原命题直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质可知原命题是真命题； 逆命题三角形的两锐角互余，这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理可知逆命题也是真命题； 故命题④符合题意． 原命题与逆命题均为真命题的个数是． 故选：A． 8. 如图，是将矩形纸片沿对角线折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据折叠的性质、全等三角形的判定、矩形的性质进行解答即可． 【详解】如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是将矩形纸片沿对角线折叠得到的， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴ 综上可知，图中（包括实线，虚线在内）共有4对全等三角形． 故选：C． 9. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，解一元一次方程，代数式求值，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．利用三角形的内角和定理对各项已知条件逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：条件①：由，结合内角和，得，故，是直角三角形，故①符合题意； 条件②：设，，，则，解得，，是直角三角形，故②符合题意； 条件③：由，得，故，是直角三角形，故③符合题意； 条件④：由，得每个角为，无直角，故④不符合题意； 条件⑤：设，则，，由，解得，此时无角为，故⑤不符合题意； 综上，满足条件的为①、②、③，共3个， 故选：C． 10. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 11. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最小值，全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作如图所示的辅助线，根据轴对称的性质证得是等腰三角形，求得，再利用证明，，根据全等三角形的性质可得，，再由即可求解． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值． ，，； ， ， 在中，，， ； 在和中， ， ≌， ， 同理， ． 故选：B． 12. 如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共64分） 二、（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知点A的坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了平面直角坐标系中点的对称问题，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据平面直角坐标系关于轴对称的两点的坐标之间的关系解答即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余是解题的关键．注意分类讨论. 分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，利用三角形外角的性质可求得顶角；当顶角为锐角时，利用直角三角形两锐角互余，可求得顶角为，即可得出答案． 【详解】解：当顶角为钝角时，如图，是钝角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 当顶角为锐角时，如图，是锐角等腰三角形腰上的高，与腰的夹角为， 则顶角； 综上可知该等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 15. 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：作于E，根据等腰直角三角形的性质可得，再求得，再运用所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图：作于E， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为40． 16. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可． 【详解】解：, , 垂直平分 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键． 17. 如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是：___________（填写正确的序号） 【答案】③⑤⑥ 【解析】 【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误； 延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确,④错误；因为，所以，可判断⑤正确；由，且，得，可判断⑥正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E、F分别是上的任意点， ∴与不一定相等， 故①错误； ∵于点于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等， 故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴ 故③正确，⑤正确，④错误； ∵， ∴， 故⑥正确， 故答案为：③⑤⑥． 【点睛】此题重点考查三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 18. 线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使；____________ （2）在图②中画出非格点的点E，使．____________ 【答案】 ①. 所作点D如图所示： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴； ②. 所作点E如图所示； 先构造， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）构造等腰直角三角形，点D即为所求； （2）构造推出，再由，可得． 【详解】略 三、解答题：本题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方、同底数幂的乘除法及多项式乘以多项式，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘除法及多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可进行求解； （2）根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知：如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】 证明：连接， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查三角形全等证明与应用．由证得，再根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 21. 已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 【答案】（1）6； （2） 证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，， （1）请在图中画出平面直角坐标系，则点C的坐标是 　 　； （2）设l是过点C且平行于y轴的直线： ①在直线l上找一点P，使最小，并求出点P的坐标； ②若为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）建立如图所示平面直角坐标系： （2）①如图所示，点即为所求： ② 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、坐标与图形变换： （1）根据点A，B的坐标分别是，建立如图所示平面直角坐标系，根据坐标的出点C的坐标即可； （2）①依题意作直线，作点关于直线对称的点的坐标为，连接与直线交于，进而可求解； ②根据轴对称变换即可求解； 熟练掌握坐标与图形及轴对称变换的规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据点A，B的坐标分别是， 点C的坐标， 故答案为：． 【小问2详解】 ①依题意作直线， 作点关于直线l对称的点的坐标为， 连接与直线交于，连接， 则， 此时最小． ②依题意得： 点关于直线l的对称点的坐标为：． 23. 如图①，△ABC 和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于F，AE=CE． （1）求证：； （2）如图②，作的边上的高线，交的延长线于点，求证：． 【答案】 （1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：连接，如图②所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 图② 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=BC=AC、∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，进一步可得∠BCD=∠ACE，然后由SAS即可证明结论； （2）连接BE，证AD垂直平分BC，再证EG//BC，则∠PEB=∠CBE，然后证△ABE≌△CBE（SSS），可得∠ABE=∠CBE，则∠PEB=∠ABE，即可证明结论. 【详解】证明：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定是解答本题的关键. 24. 【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明给出了如下思路：延长到点，使，连接，经过推理可知… （1）请根据小明提供的思路写出详细的过程并求出的取值范围． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【尝试应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【拓展提升】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为__________． 【答案】（1） （2）延长至点，使，连接， 同法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）12 【解析】 【分析】（1）证明，得到，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，进一步计算即可； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，等量代换即可； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出均为等腰三角形，得到，进而求出的长，根据，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ∴，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是理解并掌握倍长中线法，构造全等三角形． 25. 等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． （1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO： （2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标； （3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝27．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，求线段OP的长度． 【答案】（1） ∵∠ACB=90°，∠AOC=90°， ∴∠BCO+∠ACO=90°=∠CAO+∠ACO， ∴∠BCO=∠CAO； （2）B（-2，-3）； （3）12 【解析】 【分析】（1）根据两锐角都与∠ACO互余证明即可； （2）过点B作BD⊥y轴于D，证明△CDB≌△AOC（AAS），求出BD=CO=2，CD=AO=5，由点B在第三象限，得到B的坐标； （3）过N作，交y轴于H，证明△HCN≌△QAC（ASA），推出CH=AQ，HN=QC，利用点C（0，3），S△CQA=27，求出AQ=18，得CH=18，再证明△PNH≌△PMC（AAS），推出CP=PH=CH=9，由此得到OP． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB=∠AOC=90°， ∵∠BCO=∠CAO，BC=AC， ∴△CDB≌△AOC（AAS）， ∴BD=CO=2，CD=AO=5， ∴OD=5-2=3， 又∵点B在第三象限， ∴B（-2，-3）； 【小问3详解】 解：过N作，交y轴于H，则∠CNH+∠MCN=180°， ∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM， ∴∠MCQ+∠ACN=180°， ∴∠ACQ+∠MCN=360°-180°=180°， ∴∠CNH=∠ACQ， 又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO， ∴∠HCN=∠QAC， ∵CN=CA， ∴△HCN≌△QAC（ASA）， ∴CH=AQ，HN=QC， ∵QC=MC， ∴HN=CM， ∵点C（0，3），S△CQA=27， ∴×AQ×CO=27，即×AQ×3=27， ∴AQ=18， ∴CH=18， ∵， ∴∠PNH=∠PMC， 又∵∠HPN=∠CPM，HN=CM， ∴△PNH≌△PMC（AAS）， ∴CP=PH=CH=9， 又∵CO=3， ∴OP=3+9=12． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，（3）是解题的难点，正确引出辅助线是此题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级期中质量调查试卷 数学 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间共100分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 爱 B. 国 C. 敬 D. 业 2. 下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知P是的重心，连接并延长交于点D，若的面积为20，则的面积为（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个算式，①；②；③；④．正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是将矩形纸片沿对角线折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 9. 下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 非选择题（共64分） 二、（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 已知点A的坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标是_____． 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为_______________． 15. 如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是_______． 16. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________． 17. 如图，在四边形中：，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法：①．②．③平分；④平分；⑤；⑥．其中正确的是：___________（填写正确的序号） 18. 线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使；____________ （2）在图②中画出非格点的点E，使．____________ 三、解答题：本题共7小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 已知：如图，在四边形中，，．求证：． 21. 已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 22. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，， （1）请在图中画出平面直角坐标系，则点C的坐标是 　 　； （2）设l是过点C且平行于y轴的直线： ①在直线l上找一点P，使最小，并求出点P的坐标； ②若为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 23. 如图①，△ABC 和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于F，AE=CE． （1）求证：； （2）如图②，作的边上的高线，交的延长线于点，求证：． 24. 【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明给出了如下思路：延长到点，使，连接，经过推理可知… （1）请根据小明提供的思路写出详细的过程并求出的取值范围． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【尝试应用】（2）如图②，在中，点为边的中点，点在边上，与相交于点，，求证：． 【拓展提升】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的面积为__________． 25. 等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上． （1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO： （2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标； （3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝27．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，求线段OP的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $