精品解析：2023年下半年吉林省高中合格性考试数学试卷

2023年下半年吉林省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分100分，答题时间为：90分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1.考生要认真检查试题（卡）有无漏印、破损或缺页，若有，及时申请更换，否则责任自负. 2.答题前，考生先将自己的姓名、考籍号、科考号和考生座位序号填写清楚，将条形码准确粘贴到“考生信息条形码粘贴区”. 3.答题时，考生在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，则复数 A. B. 2 C. D. 3. 角的终边经过点，则 A B. C. D. 4. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与平行，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 6. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7 已知函数，则（ ） A. 21 B. C. D. 3 8. 有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 68 B. 72 C. 84 D. 89 9. 已知，是实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中真命题的是（　　） A. 平行于同一平面的两直线平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面垂直 12. 一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 13. 为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 14. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 15. 在中，，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 第Ⅱ卷（非选择题 共50分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 16. 求值：__________. 17. 已知下列三组数据： ①5，5，5，5，5，5，5，5，5； ②4，4，4，5，5，5，6，6，6； ③3，3，3，5，5，5，7，7，7. 则方差最小的一组数据的序号是______. 18. 函数的零点的个数为______. 19. 已知，则的最小值为______. 三、解答题（本大题共4小题，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求单调递增区间． 21. 天气预报报道：元旦假期甲地的降雪概率是0.2，乙地的降雪概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响. （1）求在这段时间内甲、乙两地都降雪的概率； （2）求在这段时间内至少一个地方降雪的概率. 22. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）设，求三棱锥体积. 23. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数是增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年下半年吉林省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分100分，答题时间为：90分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 注意事项： 1.考生要认真检查试题（卡）有无漏印、破损或缺页，若有，及时申请更换，否则责任自负. 2.答题前，考生先将自己的姓名、考籍号、科考号和考生座位序号填写清楚，将条形码准确粘贴到“考生信息条形码粘贴区”. 3.答题时，考生在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题的四个选项中只有一项是正确的，第1—10小题每小题3分，第11—15小题每小题4分，共50分） 1 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 已知是虚数单位，则复数 A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：1+2i+=2i 考点：复数运算． 3. 角的终边经过点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，然后根据三角函数的定义即可得出 【详解】由点得 所以 故选：D 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，属于基础题. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得函数定义域. 【详解】要使函数有意义， 则，解得或， 所以函数定义域为， 故选：D 5. 已知向量与平行，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标公式，即可求解. 【详解】由题可得，得. 故选：B. 6. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例即可判断ABD；利用作差法即可判断C. 详解】对于A，当时，无意义，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，， 因为，所以， 因为，当且仅当时取等号， 又，所以， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，无意义，故D错误. 故选：C. 7. 已知函数，则（ ） A. 21 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 8. 有一组数据，从小到大的排序为：63，65，68，72，77，83，84，89，90，95.则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 68 B. 72 C. 84 D. 89 【答案】D 【解析】 【分析】按照百分位数的定义，直接求得. 【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是89. 故选：D 9. 已知，是实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析命题间的推出关系. 【详解】因为“且”能推出“”，但是“” 不能推出“且”， 所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：B 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的换底公式对进行化简，利用函数的单调性即可得答案． 【详解】由于，， 又函数在上是单调递增函数， 故， 所以，即， 故选：A 11. 下列命题中真命题的是（　　） A. 平行于同一平面的两直线平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面垂直 【答案】BC 【解析】 【分析】由线面平行的性质和线线的位置关系，可判断A；由面面平行的性质可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由面面的位置关系可判断D． 【详解】平行于同一平面的两直线可能平行、相交或异面，故A错误； 由面面平行的性质定理可得平行于同一平面的两个平面平行，故B正确； 由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，故C正确； 垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，故D错误． 故选：BC． 12. 一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知长方体的体对角线即为外接球的直径，然后直接计算可得. 【详解】设长方体的外接球的半径为， 则，即， 所以外接球的表面积是. 故选：B. 13. 为了得到函数的图象，只需把余弦函数曲线上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数图象变换规律确定选项. 【详解】因为向左平行移动个单位长度得， 故选：C 【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题. 14. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 15. 在中，，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式将整理成，结合正弦函数的图像得到或，计算得解. 【详解】，， 或， 或， 或， 等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题 共50分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 16. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 17. 已知下列三组数据： ①5，5，5，5，5，5，5，5，5； ②4，4，4，5，5，5，6，6，6； ③3，3，3，5，5，5，7，7，7. 则方差最小的一组数据的序号是______. 【答案】① 【解析】 【分析】分别计算平均数和方差即可. 【详解】①平均数为，方差为； ②平均数为，方差为； ③平均数为，方差为； 故方差最小一组数据的序号是①. 故答案为：① 18. 函数的零点的个数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】令，可得，即，解得， 故函数的零点的个数为1, 故答案为：1 19. 已知，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：4 三、解答题（本大题共4小题，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简的解析式； （2）令即可求单调递增区间. 【小问1详解】 ，故最小正周期. 【小问2详解】 令，得， 则的单调递增区间为 21. 天气预报报道：元旦假期甲地的降雪概率是0.2，乙地的降雪概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雪相互之间没有影响. （1）求在这段时间内甲、乙两地都降雪的概率； （2）求在这段时间内至少一个地方降雪的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率性质，代入即可求解； （2） “至少一个地方降雪”与“甲乙两地都不降雪”互为对立事件，可根据对立事件和相互独立事件的概率性质求解. 【小问1详解】 设事件表示“甲地降雪”，事件表示“乙地降雪”，则事件与相互独立，由题意知，. 所以，即在这段时间内甲、乙两地都降雪的概率为. 【小问2详解】 ， 所以在这段时间内至少一个地方降雪的概率为. 22. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点. （1）证明：平面； （2）设，求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析 （2）1. 【解析】 【分析】(1)由线面垂直的判定定理证明即可. (2)由勾股定理逆定理得出和，再根据三棱锥体积公式计算得出. 【小问1详解】 因为是直三棱柱，所以底面， 又底面， ， 由已知，是的中点，所以， 又，且平面，平面， 于是平面. 【小问2详解】 由得, 易知，故，即 所以. 23. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数是增函数. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求解参数即可； （2）利用单调性的定义作差计算即可. 【小问1详解】 由题意可知 ， 所以； 【小问2详解】 由上知，定义域为R， 不妨设，则 由是R上的增函数可知， 又，即，所以， 即，所以函数是增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $