期末复习05 有理数乘方及混合运算讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

期末复习05 有理数乘方及混合运算讲义 1.有理数幂的概念解析 2.有理数的乘方运算方法 3.有理数乘方逆运算 4.乘方运算的符号判定规律 5.乘方的实际应用场景 6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 7.科学记数法表示数的还原方法 8.程序流程图与有理数的计算应用 9.“算24点”的有理数运算技巧 10.含乘方的有理数混合运算规则 11.计算器在有理数运算中的使用 【知识点01】乘方的核心概念 乘方的定义延伸 *特殊名称： *a2读作 “a的平方”（二次方），a3读作 “a的立方”（三次方）； *a1=a（任何数的 1 次幂等于它本身）。 *0 和 1 的乘方特性： *0n=0（n为正整数，注意00无意义）； *1n=1（任何正整数次幂都是 1）；(−1)n：n奇为−1，n偶为1。 【知识点02】乘方运算的细节规则 1.符号规律的易错题辨析 *区分 “底数带符号” 与 “结果取反”： 表达式 底数 指数 计算结果 (−2)4 −2 4 16 −24 2 4 -16 (−3)3 −3 3 -27 −(−3)3 −3 3 27 2.乘方与乘法的关系 *乘方是 “相同因数乘法” 的简便运算，但注意：an≠a×n （例：23=8≠2×3=6） 【知识点03】科学记数法 一、科学记数法的定义 把一个绝对值大于 10 的数表示成a×10n​的形式（其中1≤∣a∣<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 二、科学记数法的表示规则（绝对值大于 1 的数） 1.确定a的方法： *把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1≤∣a∣<10（a的整数部分只有 1 位）。 例：原数5678000→小数点左移 6 位→a=5.678。 2. 确定n的方法： *n=原数的整数位数−1，或 “小数点左移的位数”。 *例 1：5678000是 7 位整数→n=7−1=6→表示为5.678×106； *例 2：123.45是 3 位整数→n=3−1=2→表示为1.2345×102。 三、科学记数法的还原规则 **将a×10n中的a的小数点向右移动n位，位数不足时补 0。 *例 1：3.2×104→小数点右移 4 位→32000； *例 2：5.01×106→小数点右移 6 位→5010000； *例 3：1.234×102→小数点右移 2 位→123.4。 四、含单位的数的科学记数法 **若原数带 “万、亿” 等单位，先将单位转换为纯数字，再用科学记数法表示： 单位换算：1万=104，1亿=108； *例 1：2.5万=25000=2.5×104； *例 2：7.8亿=780000000=7.8×108； *例 3：3.14×105千米=314000千米（还原后加单位）。 五、科学记数法的精度（有效数字） 1.有效数字：从a的第一个非 0 数字起，到末位数字止的所有数字； 2.精度：a的最后一位数字对应的原数的数位，就是科学记数法表示的数的精度。 *例 1：5.2×103（a=5.2）： 有效数字是 2 个（5、2）；精度是百位（a的十分位 “2” 对应原数5200的百位）。 *例 2：3.01×105（a=3.01）： 有效数字是 3 个（3、0、1）；精度是千位（a的百分位 “1” 对应原数301000的千位）。 常见易错点 1.a的范围错误（必须满足1≤∣a∣<10，例：12×105不是科学记数法，正确应为1.2×106）； 2.n的位数计算错误（例：1230是 4 位整数，n=4−1=3，不是 4）； 3.还原时小数点移动方向 / 位数错误（例：4.5×102还原后是 450，不是 4500）。 【知识点04】含乘方的混合运算 1.步骤：先算乘方→再算乘除→最后算加减；有括号先算括号内。 例：计算23−(−3)2×2​ 23−(−3)2×2 8−9×2 8−18 =−10​ 2.“算 24 点” 技巧 *利用加减乘除 + 乘方组合数：例：用3、3、7、7算 24：(3+)×7=24（或7×(3+)=24）。 【知识点05】有理数混合运算 一.混合运算的运算顺序（核心规则） 优先级从高到低： 1.括号：先小括号()→再中括号[]→最后大括号{}； 2.乘方、开方：优先计算（初中阶段主要是乘方）； 3.乘除：从左到右依次计算； 4.加减：从左到右依次计算。 二、运算步骤（实操流程） *以例题23−(−3)×[(−4)2+2]−(−3)2÷(−2)​为例： 1.算括号内的乘方：(−4)2=16 2.算括号内的加减：16+2=18 3.算括号外的乘方：23=8,(−3)2=9 4.算乘除：(−3)×18=−54,9÷(−2)=−4.5 5.算加减：8−(−54)−(−4.5)=8+54+4.5=66.5 三、关键运算细节 1.符号的处理： *减负数 = 加正数：a−(−b)=a+b； *乘除中的符号：“奇负偶正”（多个负数相乘除，负号个数为奇则结果负，为偶则结果正）。 例：(−2)×(−3)÷(−4)=6÷(−4)=−1.5（2 个正、1 个负，结果负）。 3. 分数与小数的统一： *计算时统一为分数或小数（分数更适合乘除，小数更适合加减）。 例：0.25+=+=​。 常见易错点 运算顺序错误：先算乘除后算加减，但常有人先算加减 2.符号遗漏：负数乘方忘记加括号； 3.括号展开错误：括号前是负号，展开后未变号 五、简便运算技巧 1.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（反向用：ab+ac=a(b+c)）。 例：2×(3−4)+5×(3−4)=(2+5)×(3−4)=7×(−1)=−7。 2. 凑整法：将数凑成整十、整百简化计算 （例：99+13=(100−1)+13=112) 题型1.有理数幂的概念解析 【典例】的底数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数乘方的底数概念，需明确指数运算中底数的定义，负号不影响底数，据此即可求解﹒ 【详解】解：表示的相反数，在中，乘方运算为，底数是2﹒ 故答案为：2 【跟踪训练1】下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③正整数、负整数统称为整数；④若为有理数，则不可能是负数；⑤式子的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和相关概念，根据实数的有关概念和计算，对各种说法进行分析判断即可． 【详解】解：的底数是2，①的说法错误； 互为相反数的和为0，②的说法正确； 正整数、负整数和0统称为整数，③的说法错误； 不论为何值，都是非负数，一定是正数，④的说法正确； 不论为何值，都是非负数， 只有最小值，最小值为6，没有最大值，故⑤说法错误； 在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，但不一定越小，⑥的说法错误， 综上可知：说法正确的有：②④，共2个， 故选：A． 【跟踪训练2】若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负性求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 题型2.有理数的乘方运算方法 【典例】下列两组数中，运算结果相同的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．通过直接计算每个选项中两个式子的值，判断结果是否相同，即可作答． 【详解】解：A、，，，结果不同，选项错误； B、，，，结果相同，选项正确； C、，，，结果不同，选项错误； D、，，，结果不同，选项错误； 故选：B． 【跟踪训练1】对，定义运算“*”如下：，已知，则有理数 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算． 先利用新定义的运算法则，将转化为我们熟悉的实数的运算，根据已知条件需分两种情况进行讨论，即可求得答案． 【详解】解：当时，，解得，不符合题意，舍去； 当时，，解得或（不符合题意，舍去）； 综上所述，． 故答案为：． 【跟踪训练2】有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键； 先判断出，然后对每一个式子进行判断即可； 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，， ∴①②③错误，④正确 故选：A ． 题型3.有理数乘方逆运算 【典例】若，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 【跟踪训练1】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 【跟踪训练2】若，，则 ． 【答案】或 【分析】由，，可得，，再分四种情况求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，则， 当，时，则， 当，时，则， 当，时，则， ∴或， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，乘方的含义，求解代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型4.乘方运算的符号判定规律 【典例】下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 【跟踪训练2】七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 【答案】A 【分析】假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则m次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时49个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过m次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的个数，其积的符号不变，那么m次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么m次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项A正确，选项B、C、D均错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断，熟练掌握有理数乘法中符号法则与分类讨论的思想方法是解答此题的关键． 题型5.乘方的实际应用场景 【典例】某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成 个． 【答案】16 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出细胞每20分钟分裂一次，1小时共分裂3轮，再根据每过20分钟便由1个分裂成2个列式计算即可得． 【详解】解：∵每过20分钟细胞分裂一次， ∴经过1小时，分裂轮数为（轮）， ∵某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个， ∴2个这种细胞，经过1小时，能分裂成（个）， 故答案为：16． 【跟踪训练1】《庄子》记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，按此方式截一根长为1的木棍，第n天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数字规律，是解答本题的关键．根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，利用规律直接推导第n天剩余长度，由此得到答案． 【详解】初始长度为1， 第1天截取后剩余：， 第2天截取后剩余：， 第3天截取后剩余：， 则第n天截取后剩余：． 故选：C． 【跟踪训练2】一张纸的厚度大约为，世界第一高峰珠穆朗玛峰的高度大约是，假设连续对折始终是可能的，那么对折 次后，纸的厚度可以超过珠穆朗玛峰． 【答案】27 【分析】本题是乘方运算在实际问题中的应用，理解对折次后纸的厚度为，是解本题的关键． 一张纸的厚度为，对折1次后纸的厚度为；对折次后纸的厚度为，据此列出方程．即可求解． 【详解】解：设对折次后纸的厚度超过． 则， 解得， 因为， 因而最小值是27， 即至少对折27次后，纸的厚度可以超过珠穆朗玛峰． 故答案为：27． 题型6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例】将数据3315000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 将数字转换为科学记数法，需找到形式为的表达式即可． 【详解】， 科学记数法表示为； 故选． 【跟踪训练1】生物学指出，在食物链中大约有的能量能流动到下一个营养级，在这条食物链中（表示第个营养级，），要使获得800千焦的能量，那么需要提供的能量用科学记数法可以表示为 千焦． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据题意，求出提供的能量，再利用科学记数法的表示方法进行表示即可．熟练掌握科学记数法的表示方法，为整数，是解题的关键． 【详解】解：（千焦）； 故答案为：． 【跟踪训练2】生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【分析】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【详解】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 题型7.科学记数法表示数的还原方法 【典例】自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（   ） A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 将科学记数法转换为原数，再改写成以亿为单位的数即可． 【详解】解：∵1亿=， ∴元 亿． 故选：D． 【跟踪训练1】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 【跟踪训练2】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型8.程序流程图与有理数的计算应用 【典例】如图是一个运算程序示意图，若输入x的值是，则输出y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，当，计算，因为，所以，计算，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【跟踪训练1】小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，数字规律问题，依据题中给出的自然数的运算结果可知，运算结果是时，前一个运算结果可以是奇数或偶数由此往前继续推算，找出符合要求的数． 【详解】解：如图，，， （1）得数为之前输入的数为偶数时，则， 得数为之前输入的数为奇数时，则，即， （2）当得数为之前输入的数为奇数时，如图，则第一次计算的结果为， 于是，，或，即， 综上所述的值为，，，，共个， 故选：D． 【跟踪训练2】有一个运算程序，可以使：当（为常数）时，得到．现在，已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，由已知可得，可得号前后各加，得到的值加，进而即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即有号前后各加，得到的值加， ∵， ∴， 故答案为：． 题型9.“算24点”的有理数运算技巧 【典例】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练1】用“”将3、5、、5连成算式，使结果是24： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法，通过尝试不同的运算组合，发现利用乘法先计算得到25，再依次加3和加（即减4），最终得到24． 【详解】解：使用数字3、5、、5和运算符号构造算式， 优先计算乘法：，然后计算加法：，最后计算加法：， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练2】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 题型10.含乘方的有理数混合运算规则 【典例】我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制数转化成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查二进制数转化为十进制数的方法，解题的关键是掌握“按位乘2的相应幂次后求和”的转换规则． 根据二进制转十进制的规则，将二进制数的每一位数字乘以2的对应幂次，再将结果相加，即可得到十进制数． 【详解】解：， ． 故选：C． 【跟踪训练1】某数学爱好者制作了一个魔术盒，当把有理数对放入其中时，会得到一个新的有理数：．例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数m，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算和新定义问题，解题的关键是理解新定义。先根据新定义求出m，得到有理数对的值，再根据新定义求解． 【详解】解：将有理数对放入其中，得； 再将即放入其中后，得到的有理数是． 故答案为：4． 【跟踪训练2】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，y是最大的负整数，则的值是（    ） A．4 B． C．或8 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，求解代数式的值，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． 先根据题意得出，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，的绝对值是，是最大的负整数， ∴， ∴当时， ， 当时， ． 综上所述，代数式的值为4或． 故选：D． 题型11.计算器在有理数运算中的使用 【典例】利用课本上的计算器进行计算．其按键顺序如下： 则输出的结果是（    ） A．10 B．12 C．15 D．25 【答案】A 【分析】本题考查的是计算器的使用，有理数的混合运算，根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意得： 故选：A． 【跟踪训练1】用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是 ．（参考数据提示：，） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据数字的特点得到分数，化简即可得到结果，根据数字的特点得到分数是解题的关键． 【详解】解：由题可得， ∵，， ∴， 即再按计算器的转换键显示的分数结果是， 故答案为：． 【跟踪训练2】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 【答案】D 【分析】根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】解：A.按键显示结果：45，正确，不符合题意； B.按键 显示结果：，正确，不符合题意； C.按键 显示结果：，正确，不符合题意； D. 按键 显示结果：66，错误，应为，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 1．已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 2．若整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将科学记数法表示的数还原为原数，然后统计原数中数字的个数。 【详解】解：∵科学记数法， ∴整数为， ∴原数共位， ∵其中非零数字为，其余位均为， ∴的个数为， 故答案为：． 3．若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 将科学记数法表示的数 还原成原数，然后数出原数中“0”的个数． 【详解】解：，原数为12500000000，其中“0”的个数为 8个， 故答案为：8． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 5．若，，且，则的值等于（    ） A．1或5 B．1或 C．或 D．或5 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 综上，的值等于或， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，乘方的逆运算等知识点，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键． 6．社会主义核心价值观是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算“24”点，熟练掌握加减乘除混合运算法则是解题的关键，直接列式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键．根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再计算运算． 【详解】解：∵新运算： ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则，能够通过推理求出x、y的值是解题的关键． 由题意可知，则，再根据，，，有三个结果恰好相同，则或，分两种情况：（1）当时，由可得，解得，从而求得，代入计算即可求解；当时，由可得，解得，从而求得当时，则，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ∵，，，有三个结果恰好相同， 或， 因此，分以下两种情况： （1）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； （2）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； 综上，的值为， 故选：B． 9．若为互不相等的正整数，且，则（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，由的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，，结合已知条件和，，，，可得出一共有5种情况，则5种． 【详解】解：的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，， ∵为互不相等的正整数，且，，，，且， ∴当取1时， y取3，则， y取5，则， y取15，则， 当取5时， y取3，则， y取1，则， 综上，一共有5种情况，则5种， 故选：A． 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整数的奇、偶性的新定义问题，通过若干次得出循环是解题关键．按新定义运算法则，分别计算第一次到第九次运算结果可得出循环规律即可求解． 【详解】由题意可知，当时，历次运算的结果是∶ 故规律为： 即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， ∴当时，第2024次“运算”的结果是4． 故答案为：4． 11．某种电子计算机每秒可进行次运算． (1)它工作秒，可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） (2)该计算机进行次运算需要多少秒？ 【答案】(1)次运算 (2)5秒 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较大的数，有理数混合运算，读懂题意是解题的关键． （1）根据工作总量工作效率工作时间，即可作答； （2）根据工作时间工作总量工作效率，即可作答． 【详解】（1）解：（次， 答：它工作秒，可进行次运算． （2）解：（秒， 答：该计算机进行次运算需要5秒． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序，是解题的关键．根据有理数的混合运算法则和运算顺序，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 13．数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 14．桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 【答案】(1)3 (2)不能 (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的实际应用，理解题意，设置合理的运算法则是解问题的关键． （1）用“+”表示杯口朝上，用“-”表示杯口朝下，找出最少翻转次数能使杯口全部朝下的情况即可得答案； （2）通过设定杯口朝上为、朝下为，分析初始乘积、每次翻转的乘积变化及全部朝下的乘积，判断是否能实现转换． （3）杯口朝上和朝下用和，则初始状态为：，结合每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个，即乘以4个，其乘积仍为，从而可得答案． 【详解】（1）六只杯子的初始状态是全部杯口朝上， 用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、， 第一次翻转前四个杯子，状态为：、、、、、， 第二次翻转第2、3、4、5个杯子，状态为：、、、、、， 第三次翻转第2、3、4、6个杯子，状态为：、、、、、， 故答案为：3； （2）现在将问题中的8只茶杯改为7只，不能经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下， 理由：用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 因为开始是7杯口全部朝上，即7个，其乘积为， 每改变一个就相当于乘以， 而每次改变4个， 即乘以4个，其乘积仍为， 7个杯口朝下，即7个， 其乘积为，由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：不能； （3）用“”、“”分别表示杯口“朝上”、“朝下”， 所以初始状态为：、、、、、、， 每改变一个就相当于乘以，而每次改变4个， 则，即乘积始终不变， 7个杯口朝下，即7个，其乘积为， 由于， 故不可能把它们全部翻成杯口朝下． 15．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05 有理数乘方及混合运算讲义 1.有理数幂的概念解析 2.有理数的乘方运算方法 3.有理数乘方逆运算 4.乘方运算的符号判定规律 5.乘方的实际应用场景 6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 7.科学记数法表示数的还原方法 8.程序流程图与有理数的计算应用 9.“算24点”的有理数运算技巧 10.含乘方的有理数混合运算规则 11.计算器在有理数运算中的使用 【知识点01】乘方的核心概念 乘方的定义延伸 *特殊名称： *a2读作 “a的平方”（二次方），a3读作 “a的立方”（三次方）； *a1=a（任何数的 1 次幂等于它本身）。 *0 和 1 的乘方特性： *0n=0（n为正整数，注意00无意义）； *1n=1（任何正整数次幂都是 1）；(−1)n：n奇为−1，n偶为1。 【知识点02】乘方运算的细节规则 1.符号规律的易错题辨析 *区分 “底数带符号” 与 “结果取反”： 表达式 底数 指数 计算结果 (−2)4 −2 4 16 −24 2 4 -16 (−3)3 −3 3 -27 −(−3)3 −3 3 27 2.乘方与乘法的关系 *乘方是 “相同因数乘法” 的简便运算，但注意：an≠a×n （例：23=8≠2×3=6） 【知识点03】科学记数法 一、科学记数法的定义 把一个绝对值大于 10 的数表示成a×10n​的形式（其中1≤∣a∣<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 二、科学记数法的表示规则（绝对值大于 1 的数） 1.确定a的方法： *把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1≤∣a∣<10（a的整数部分只有 1 位）。 例：原数5678000→小数点左移 6 位→a=5.678。 2. 确定n的方法： *n=原数的整数位数−1，或 “小数点左移的位数”。 *例 1：5678000是 7 位整数→n=7−1=6→表示为5.678×106； *例 2：123.45是 3 位整数→n=3−1=2→表示为1.2345×102。 三、科学记数法的还原规则 **将a×10n中的a的小数点向右移动n位，位数不足时补 0。 *例 1：3.2×104→小数点右移 4 位→32000； *例 2：5.01×106→小数点右移 6 位→5010000； *例 3：1.234×102→小数点右移 2 位→123.4。 四、含单位的数的科学记数法 **若原数带 “万、亿” 等单位，先将单位转换为纯数字，再用科学记数法表示： 单位换算：1万=104，1亿=108； *例 1：2.5万=25000=2.5×104； *例 2：7.8亿=780000000=7.8×108； *例 3：3.14×105千米=314000千米（还原后加单位）。 五、科学记数法的精度（有效数字） 1.有效数字：从a的第一个非 0 数字起，到末位数字止的所有数字； 2.精度：a的最后一位数字对应的原数的数位，就是科学记数法表示的数的精度。 *例 1：5.2×103（a=5.2）： 有效数字是 2 个（5、2）；精度是百位（a的十分位 “2” 对应原数5200的百位）。 *例 2：3.01×105（a=3.01）： 有效数字是 3 个（3、0、1）；精度是千位（a的百分位 “1” 对应原数301000的千位）。 常见易错点 1.a的范围错误（必须满足1≤∣a∣<10，例：12×105不是科学记数法，正确应为1.2×106）； 2.n的位数计算错误（例：1230是 4 位整数，n=4−1=3，不是 4）； 3.还原时小数点移动方向 / 位数错误（例：4.5×102还原后是 450，不是 4500）。 【知识点04】含乘方的混合运算 1.步骤：先算乘方→再算乘除→最后算加减；有括号先算括号内。 例：计算23−(−3)2×2​ 23−(−3)2×2 8−9×2 8−18 =−10​ 2.“算 24 点” 技巧 *利用加减乘除 + 乘方组合数：例：用3、3、7、7算 24：(3+)×7=24（或7×(3+)=24）。 【知识点05】有理数混合运算 一.混合运算的运算顺序（核心规则） 优先级从高到低： 1.括号：先小括号()→再中括号[]→最后大括号{}； 2.乘方、开方：优先计算（初中阶段主要是乘方）； 3.乘除：从左到右依次计算； 4.加减：从左到右依次计算。 二、运算步骤（实操流程） *以例题23−(−3)×[(−4)2+2]−(−3)2÷(−2)​为例： 1.算括号内的乘方：(−4)2=16 2.算括号内的加减：16+2=18 3.算括号外的乘方：23=8,(−3)2=9 4.算乘除：(−3)×18=−54,9÷(−2)=−4.5 5.算加减：8−(−54)−(−4.5)=8+54+4.5=66.5 三、关键运算细节 1.符号的处理： *减负数 = 加正数：a−(−b)=a+b； *乘除中的符号：“奇负偶正”（多个负数相乘除，负号个数为奇则结果负，为偶则结果正）。 例：(−2)×(−3)÷(−4)=6÷(−4)=−1.5（2 个正、1 个负，结果负）。 3. 分数与小数的统一： *计算时统一为分数或小数（分数更适合乘除，小数更适合加减）。 例：0.25+=+=​。 常见易错点 运算顺序错误：先算乘除后算加减，但常有人先算加减 2.符号遗漏：负数乘方忘记加括号； 3.括号展开错误：括号前是负号，展开后未变号 五、简便运算技巧 1.乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（反向用：ab+ac=a(b+c)）。 例：2×(3−4)+5×(3−4)=(2+5)×(3−4)=7×(−1)=−7。 2. 凑整法：将数凑成整十、整百简化计算 （例：99+13=(100−1)+13=112) 题型1.有理数幂的概念解析 【典例】的底数是 ． 【跟踪训练1】下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③正整数、负整数统称为整数；④若为有理数，则不可能是负数；⑤式子的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练2】若，则 ． 题型2.有理数的乘方运算方法 【典例】下列两组数中，运算结果相同的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练1】对，定义运算“*”如下：，已知，则有理数 ． 【跟踪训练2】有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 题型3.有理数乘方逆运算 【典例】若，则 ． 【跟踪训练1】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【跟踪训练2】若，，则 ． 题型4.乘方运算的符号判定规律 【典例】下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练1】观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【跟踪训练2】七年级某班的学生共有49人，军训时排列成的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（    ） A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 题型5.乘方的实际应用场景 【典例】某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成 个． 【跟踪训练1】《庄子》记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，按此方式截一根长为1的木棍，第n天截取后木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】一张纸的厚度大约为，世界第一高峰珠穆朗玛峰的高度大约是，假设连续对折始终是可能的，那么对折 次后，纸的厚度可以超过珠穆朗玛峰． 题型6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例】将数据3315000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】生物学指出，在食物链中大约有的能量能流动到下一个营养级，在这条食物链中（表示第个营养级，），要使获得800千焦的能量，那么需要提供的能量用科学记数法可以表示为 千焦． 【跟踪训练2】生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 题型7.科学记数法表示数的还原方法 【典例】自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（   ） A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【跟踪训练1】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【跟踪训练2】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 题型8.程序流程图与有理数的计算应用 【典例】如图是一个运算程序示意图，若输入x的值是，则输出y是 ． 【跟踪训练1】小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】有一个运算程序，可以使：当（为常数）时，得到．现在，已知，那么 ． 题型9.“算24点”的有理数运算技巧 【典例】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】用“”将3、5、、5连成算式，使结果是24： ． 【跟踪训练2】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 题型10.含乘方的有理数混合运算规则 【典例】我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制数转化成十进制数的结果为（   ） A．8 B．9 C．11 D．13 【跟踪训练1】某数学爱好者制作了一个魔术盒，当把有理数对放入其中时，会得到一个新的有理数：．例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数m，再将有理数对放入其中后，得到的有理数是 ． 【跟踪训练2】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，y是最大的负整数，则的值是（    ） A．4 B． C．或8 D．4或 题型11.计算器在有理数运算中的使用 【典例】利用课本上的计算器进行计算．其按键顺序如下： 则输出的结果是（    ） A．10 B．12 C．15 D．25 【跟踪训练1】用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是 ．（参考数据提示：，） 【跟踪训练2】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 1．已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 2．若整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为 ． 3．若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 5．若，，且，则的值等于（    ） A．1或5 B．1或 C．或 D．或5 6．社会主义核心价值观是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是 ． 7．对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为 ． 8．小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 9．若为互不相等的正整数，且，则（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 11．某种电子计算机每秒可进行次运算． (1)它工作秒，可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） (2)该计算机进行次运算需要多少秒？ 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 14．桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下． (1)如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过______次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． (2)现在将问题中的8个茶杯改为7个，能否经过若干次翻转每次4个把它们全部翻成杯口朝下？直接写出结果：______填“能”或“不能” (3)请利用有理数运算说明得到（2）中结论的理由． 15．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $