精品解析：吉林省长春净月高新技术产业开发区华岳学校（五四）2025-2026学年上学期期中考试七年级数学试题

2025-2026学年第一学期华岳学校七年级期中考试（数学）试题（54制） 本试卷包括三道大题，共24道小题，共4页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方程的定义，根据方程的定义（含有未知数的等式），逐一判断各选项是否同时满足等式和含有未知数的条件即可． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、是方程，符合题意； C、不是等式，不是方程，不符合题意； D、不是等式，不是方程，不符合题意； 故选B． 2. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式两边同时乘或除以同一个不为0的数结果仍相等的性质，逐项判断变形是否正确． 【详解】解：A．∵，两边同时除以，，正确； B． ∵，则，但选项为，即需，解得，，但不恒成立，∴错误； C．当时，可得，但a可能为0，此时 x， y 任意，∴不一定成立，错误； D． ∵，∴，∴错误． 故选A． 3. 下列方程中，解为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把代入各个方程进行验证即可． 【详解】解：A、，，故不是方程的解，不符合题意； B、，，故不是方程的解，不符合题意； C、，故不是方程的解，不符合题意； D、，故是方程的解，符合题意； 故选D． 4. 关于x的方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式基本性质，是解题的关键． 通过移项变形方程，将含未知数的项移到等式左边，常数项移到右边，并注意符号变化，判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 即 ，与选项D一致； 选项A错误，因移项后应为减和7均未变号； 选项B错误，因移项后系数和常数符号均不正确； 选项C错误，因直接求解结果不正确且非变形过程， 故选：D． 5. 在同一平面内，已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米或厘米 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况，如图： （1）直线与的距离是厘米； （2）直线与的距离是厘米； 故选：C 6. 若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程得到的值，再整体代入代数式计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 即代数式的值是． 故选：C． 7. 如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（ ） A. 以点B为圆心，长为半径作的弧 B. 以点B为圆心，长为半径作的弧 C. 以点E为圆心，长为半径作的弧 D. 以点E为圆心，长为半径作的弧 【答案】D 【解析】 【分析】根据作一个角等于已知角作图解答即可． 本题考查了基本作图，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得以点E为圆心，长为半径作的弧． 故选：D． 8. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 若是关于的一元一次方程，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，绝对值，根据题意可得：，再解m即可． 【详解】解：根据题意可知，是关于的一元一次方程， ∴， ， 或， 解得：或， 又∵， 解得：， 故． 故答案为：1． 10. 若是方程的解，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．将代入方程，得到关于的方程，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 11. 已知关于x，y的方程组为，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法，通过将方程组中的两个方程相加，直接得到的值，进而求出所求表达式的值． 【详解】解：， 整理得：， 将两方程相加，得：， ∴． 故答案为：2． 12. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是______度． 【答案】135 【解析】 【分析】过点E作，根据题意得出，，，根据平行线的性质，得出，求出，最后根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． 13. 已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数． 联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解x、y；将公共解代入含a、b的方程，解出a、b的值；计算的2026次方． 【详解】∵两个方程组解相同， ∴先解不含a、b的方程组：， 得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含a、b的方程： 得：， 解得， 将代入④得：，求得， ∴． 故答案为：0． 14. 如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是_______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，平行公理的应用；由三角形的内角和可判断①，由，可判断④，如图，过作，过作，进一步可判断②③． 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，， ∴，故④符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，， ∴，故②符合题意； 如图，过作， ∴， ∴，，， ∴， 当时，则，与题干矛盾， ∴不成立，故③不符合题意； 故答案为：①②④ 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去括号，移项、合并同类项、系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 16. 用适当的方法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法），熟练掌握消元法将二元方程转化为一元方程求解是解题的关键． （1）用加减消元法，将两个方程相加消去，先求，再代入求； （2）把代入另一个方程，先求，再代入求． 【小问1详解】 解：， ① + ②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 17. 如图，在四边形中，且，，，延长至点E．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 根据，可得，由此可求解的度数，再由，可得，由此可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 18. 今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 【答案】8.5米 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立等量关系列方程． 设原来每天施工长度为x米，根据总天数列方程求解即可． 【详解】解：设原来每天施工长度为x米， 则提升修建速度后每天修建长度为米， ∴， 即，解得， ∴原来每天施工长度为8.5米． 19. 如图，已知，． 求证：． 证明： 已知， ， ． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 已知， 等量代换． ． ． 【答案】对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；根据平行线的性质定理与判定定理完成填空，即可求解． 【详解】证明： 已知，（对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 20. 小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． （1）求正确的的值． （2）求原方程组的正确解． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【小问1详解】 解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； 【小问2详解】 解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 21. 在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中 （1）求小长方形的长和宽； （2）求阴影部分图形的总面积 【答案】（1）小长方形的长为4cm，宽为1cm；（2）阴影部分图形的总面积15cm2 【解析】 【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据AB=5cm，BC=7cm列方程组求解即可； （2）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可． 【详解】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得 ， 解得 ， 答：小长方形的长为4cm，宽为1cm； （2）5×7-5×1×4=15cm2． 答：阴影部分图形的总面积15cm2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 22. 【问题感知】 （1）如图1，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， _____（角平分线的定义）． （已知）， _____（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【问题探索】 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点在射线上，点在线段上，连接，若，求证：； 【衍生拓展】 （3）如图3，将（2）中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，连接，若，求的度数． 【答案】 （1）证明：∵平分，（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． （2）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可； （2）先证明，得出，在证明，根据平行线的判定得出结论即可； （3）根据角平分线定义得出，根据平行线的性质求出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴根据（2）可知：， ， 根据探索可知：， ， ， ， ， ， ． 23. 综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒．        【答案】（1）（2）当储物盒的底面周长为时储物盒的高为 （3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． （1）根据图2中储物盒放置区域底面长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出； （2）设角上裁去的四个小正方形边长为，用表示储物盒的底面长和宽，根据底面周长列出方程，解方程求出即可求得储物盒的高； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到和的值，从而求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 【详解】解：（1）图2中储物区域底面长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则储物盒的宽小正方形的边长． 故答案为：； （2）已知，储物盒底面周长为，设角上裁去的4个小正方形边长为，， 则， 解得， ∴储物盒的高为； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，折叠后的储物盒如图： 则， 解得， ∴，， ∴制作的储物盒的高为，底面长为，宽为， ∵玩具机械狗长，宽，高，，，， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 24. 在长方形中，，，点以每秒的速度沿折线运动，点以每秒的速度沿折线运动．点、同时出发，当点到达终点时，点停止运动．设运动时间为（秒）． （1）①当点在上运动时，_______；（用含的代数式表示） ②当点在上运动时，_______．（用含的代数式表示） （2）当点、在运动过程中到点的距离相等时，求的值． （3）当点、到线段的距离相等时，求的取值范围． （4）当，直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2）秒或秒 （3） （4）秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）①根据题意及线段的和差求解；②根据题意及线段的和差求解； （2）分两种情形：当点、均在上运动时；当点在上、点在上运动时，分别构建方程求解； （3）分两种情形：当点、均在上运动时；当点、均在上运动时，分别构建方程求解； （4）分三种情形：当点在上、点在上运动时；当点在上、点在上运动时；当点在上、点在上运动时，分别构建方程求解． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，， ∴，， ∵点以每秒的速度沿折线运动，点以每秒的速度沿折线运动， ∴点从点运动到点的时间为：，点从点运动到点的时间为：， ∵点、同时出发，当点到达终点时，点停止运动，运动时间为， ∴， ①∵点以每秒的速度沿折线运动， ∴当点在上运动时，， 故答案为：； ②当点在上运动时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点、均在上运动时，，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上、点在上运动时，，， ∵， ∴， 解得：； 综上，当点、在运动过程中到点的距离相等时，的值为秒或秒； 【小问3详解】 解：当点、均在上运动时，点、到线段的距离为， ∵点以每秒的速度沿折线运动，点以每秒的速度沿折线运动， ∴点从点运动到点的时间范围为， ∵点从点运动到点的时间为：；从点运动到点的时间为：， ∴点从点运动到点的时间范围为， 此时的取值范围为； 当点、均在上运动时，当点、重合时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时点、均在上，不符合题意； 综上，当点、到线段的距离相等时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：∵，且和的底边都是， 设的边上的高为，的边上的高为， ∴， ∴， 当点在上、点在上运动时，则，， ∴， 解得：； 当点在上、点在上运动时，，， ∴， 解得：； 当点在上、点在上运动时，，， ∴， 解得：； 综上，当时，的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，动点问题等知识，利用分类讨论的思想及方程的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期华岳学校七年级期中考试（数学）试题（54制） 本试卷包括三道大题，共24道小题，共4页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3. 下列方程中，解为的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面内，已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米或厘米 D. 不能确定 6. 若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（ ） A. 以点B为圆心，长为半径作的弧 B. 以点B为圆心，长为半径作的弧 C. 以点E为圆心，长为半径作的弧 D. 以点E为圆心，长为半径作的弧 8. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 若是关于的一元一次方程，则______． 10. 若是方程的解，则的值是________． 11. 已知关于x，y的方程组为，则_______． 12. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一条直角边共线，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是______度． 13. 已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为____． 14. 如图，点M、N在直线上，点G在直线上，点H在直线、之间，连接交于点K，连接交于点J，交于点P；连接，当时，下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论是_______．（填序号） 三、解答题（共10小题，满分78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 用适当的方法解下列方程组： （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，且，，，延长至点E．求的度数． 18. 今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度． 19. 如图，已知，． 求证：． 证明： 已知， ， ． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 已知， 等量代换． ． ． 20. 小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． （1）求正确的的值． （2）求原方程组的正确解． 21. 在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中 （1）求小长方形的长和宽； （2）求阴影部分图形的总面积 22. 【问题感知】 （1）如图1，若，平分，求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：平分，（已知）， _____（角平分线的定义）． （已知）， _____（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 【问题探索】 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点在射线上，点在线段上，连接，若，求证：； 【衍生拓展】 （3）如图3，将（2）中的点移动到线段的延长线上，其他条件不变，连接，若，求的度数． 23. 综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒．        24. 在长方形中，，，点以每秒的速度沿折线运动，点以每秒的速度沿折线运动．点、同时出发，当点到达终点时，点停止运动．设运动时间为（秒）． （1）①当点在上运动时，_______；（用含的代数式表示） ②当点在上运动时，_______．（用含的代数式表示） （2）当点、在运动过程中到点的距离相等时，求的值． （3）当点、到线段的距离相等时，求的取值范围． （4）当，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $