精品解析：广西南宁市翠竹实验学校2025--2026学年上学期10月月考八年级数学试卷

2025年秋季学期第一次大作业 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 很多学校设计校徽时，会融入数学元素，如图校徽的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此进行判断即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线， 使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，即穿过圆中心竖直的直线或水平的直线， 图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 2. 下列长度的线段中，能与和的线段围成三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 如图，铜陵长江大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性，读懂题意，明白题中描述的情景与数学知识对应关系即可得到答案，能用数学知识点解释常见生活中实际例子是解决问题的关键． 【详解】解：由题中描述可知，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形的稳定性， 故选：B． 4. 点（3，-2）关于x轴的对称点是（ ） A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变的口诀，可解本题. 【详解】根据轴对称的性质，得点（3，－2）关于轴的对称点是（3，2）． 故答案选B. 【点睛】本题主要考查关于x轴对称的点的坐标特征. 根据关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变的口诀解题. 5. 若，则的对应边是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．与不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 8cm或10cm 【答案】B 【解析】 【详解】解：当2cm为腰时，三边为2cm，2cm，4cm， 因为2+2=4，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； 当4cm为腰时，三边分别为4cm，4cm，2cm， 因为符合三角形三边关系，则此时其周长=4+4+2=10(cm)． 故选B． 8. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 9. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 【详解】 如图，根据两直线平行，内错角相等， ∴∠1=45°， 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， ∴∠α=∠1+30°=75°． 故选：D． 10. 同学们探讨利用不同工具作角平分线的方法，小明说：“我用两块完全相同的含角的直角三角板就可以作角平分线，把直角三角板按如图所示的位置放置，两顶点交于点P，由可得射线是的平分线．”其中的理论依据是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理HL是解题的关键．通过证明两个直角三角形全等，进而得出角平分线． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． 故选：D． 11. 如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是50， ∴， ∴， ∴， ∴，即的周长为， 故选：C． 12. 如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得． 【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，即， ∴， ∵，平分， 由三线合一的性质可得：垂直平分， ∴，即， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算的结果是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：． 故答案为∶ ． 14. 一个三角形的三边为3、7、，另一个三角形的三边为3、9、，若这两个三角形全等，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，通过分析可能的对应关系，得出x和y的值，解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴对应边相等； 由于两个三角形都有边长为3的边，因此3对应3， 则7对应y，x对应9，即， ∴， 故答案为：16． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线的性质解答． 【详解】解：如图，作DP′⊥AB于P′， 则此时DP′最小，即PD最小， 由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB， ∴DP′＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，点A，C坐标分别为A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点P在y轴上移动，点Q在线段AB上移动．则BP+PQ的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】作点Q关于y轴的对称点，连接，则=PQ，BP+PQ的最小值即为BP+的最小值，当B、P、在同一直线上，且时，BP+最小，再利用三角形等面积法求出，即为BP+PQ的最小值． 【详解】解：作点Q关于y轴的对称点， 连接，则=PQ， BP+PQ的最小值即为BP+的最小值， 当B、P、在同一直线上，且时，BP+最小． ∵A（0，4），C（3，0），AB=AC=5， ∴BC=6，OA=4， ∵S△ABC=BC•OA＝， ∴， ∴BP+PQ的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题，坐标与图形，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练运用轴对称的性质和三角形等面积法是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算； （2）计算． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算（含幂的运算、多项式乘法），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则与多项式的乘法法则，再合并同类项． （1）先算同底数幂的乘法与幂的乘方，再合并同类项； （2）先展开多项式乘多项式与单项式乘多项式，再去括号合并同类项． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于 x 轴对称的； （2）直接写出 三点的坐标； （3）已知P为 x 轴上一点，若的面积为 3 ， 求点P 的坐标． 【答案】（1） 解：作出点A、B、C关于x轴的对称点顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示： （2），， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、坐标与图形、平面直角坐标系中点的坐标等知识点，正确作出点A、B、C关于x轴的对称点是解题的关键． （1）先作出点A、B、C关于x轴的对称点，然后再顺次连接即可； （2）根据图像直接写出的坐标即可； （3）设点P的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式列绝对值方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：三点的坐标分别为：，，． 【小问3详解】 解：设点P的坐标为，则， ∵的面积为 3， ∴，即，解得：或3． ∴点P 的坐标为或． 19. 如图，已知在中，，． （1）用尺规作边的垂直平分线交于、交于（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可． （2）根据题意，得到，结合，求的度数即可． 本题考查了线段的垂直平分线作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据基本作图，得， ∴， ∵，， ∴． 20. 如图，在四边形中，，连接，延长、交于点E，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：在中， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质； （1）根据直接证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据等腰三角形的性质得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 21. 陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． （1）求证：． （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1） 由题意得：， ， ， ， 在和中， （2）两堵木墙之间的距离为 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 22. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 【答案】 （1）①证明：在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②证明：延长到点E，使，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：、、的数量关系为． 在上截取，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①证明，后证明即可；②证明，后证明 （2）在上截取，则，得到，先证明，再证明，得到即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，互余的性质，熟练掌握构造辅助线，灵活证明三角形的全等是解题的关键． 【详解】略 23. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，． 请你说明是的等角分割线． 【应用概念】： （3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数． 【答案】（1）是； （2）证明：在中，，， ， 为角平分线， ， ，， ， 在中，，， ， ， ，，，， 为的等角分割线； （3）；；； 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理； （1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）在中，，， ∴，，， ∴与两个三角形的三个角分别相等， ∴与是“等角三角形”； 故答案为：是； （2）略 （3）解：当是等腰三角形，如图2，时，， ， ； 此时与是“等角三角形”， ∴是的等角分割线； 当是等腰三角形，如图3，时， ∵， ∴， 当时，， 此时与是“等角三角形”， ∴是的等角分割线； 当是等腰三角形，时， ∵， ∴，， ∴, 若与是“等角三角形”，则，此时，，不符合题意， 当是等腰三角形，如图4，时，， ∵与是“等角三角形” ∴， ， ， 当是等腰三角形，如图5，时，， ∵与是“等角三角形” ∴，， 设， 则， 则， ∵ ∴， 解得， ， 当是等腰三角形，如图5，时，， ∵与是“等角三角形”，而 ∴，不合题意， 综上，的度数为；；；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一次大作业 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 很多学校设计校徽时，会融入数学元素，如图校徽的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列长度的线段中，能与和的线段围成三角形的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图，铜陵长江大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性 4. 点（3，-2）关于x轴的对称点是（ ） A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 5. 若，则的对应边是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 8cm或10cm 8. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 10. 同学们探讨利用不同工具作角平分线的方法，小明说：“我用两块完全相同的含角的直角三角板就可以作角平分线，把直角三角板按如图所示的位置放置，两顶点交于点P，由可得射线是的平分线．”其中的理论依据是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. HL 11. 如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 12. 如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算的结果是_________ 14. 一个三角形的三边为3、7、，另一个三角形的三边为3、9、，若这两个三角形全等，则________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在x轴上，点A，C坐标分别为A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点P在y轴上移动，点Q在线段AB上移动．则BP+PQ的最小值为 _____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算； （2）计算． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于 x 轴对称的； （2）直接写出 三点的坐标； （3）已知P为 x 轴上一点，若的面积为 3 ， 求点P 的坐标． 19. 如图，已知在中，，． （1）用尺规作边的垂直平分线交于、交于（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，求的度数． 20. 如图，在四边形中，，连接，延长、交于点E，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 陈同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点A和B分别与木墙的顶端重合． （1）求证：． （2）求两堵木墙之间的距离． 22. 【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1．若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点，使，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，是的中点，若平分，，请你探究、、的数量关系并证明． 23. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，． 请你说明是的等角分割线． 【应用概念】： （3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $