精品解析：青海省西宁市大通县东峡民族中学2025-2026学年九年级上学期期中测试数学试卷

2025年九年级数学期中试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，表示形式，掌握其定义及表示方法是关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程”及形式“”判定即可． 【详解】解：A、不是方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，不符合题意； 故选：C ． 2. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为：万元， 2022教育经费为：万元， ∴可得方程：． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 3. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 明确轴对称图形沿对称轴折叠后两部分重合，中心对称图形绕对称中心旋转后与原图重合，据此逐一分析选项． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A符合题意． B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意． C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不符合题意． D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，进行解答即可． 【详解】解：， ，，， ， 故该二次函数没有实数根， 故选：C． 6. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 7. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 8. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：把代入可得，，解得 故选：B． 9. 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（ ） A. 22.5 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合，即． 故选：C． 10. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标进行选择即可． 【详解】∵抛物线中，a＜0， ∴开口向下， ∴顶点坐标（5，3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，以及由对称轴求对称点，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 先根据对称轴求出抛物线与轴另一个交点坐标，再根据待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：由图象可得对称轴为直线，抛物线与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， 将点，分别代入， 则， 解得， ∴这个二次函数的关系式为， 故答案为：． 13. 抛物线与y轴的交点坐标为____________． 【答案】（0，－4） 【解析】 【分析】抛物线与y轴的交点即令x=0, 抛物线与x轴的交点即令y=0,据此解题． 【详解】解：由题意：令x＝0时，则y＝－4， ∴与y轴的交点坐标为（0，－4） 故答案：（0，－4）． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14. 将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 15. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 16. 抛物线对称轴____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先将一般式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：， 抛物线的对称轴是直线． 故答案：． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴ ∴或， 解得：． 18. 如图，为格点三角形．请用直尺在网格中画图： （1）画出，使和关于直线成轴对称； （2）画出，使和关于点O成中心对称． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 19. 已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求m，n的值． （2）若A，B两点关于y轴对称，求m，n的值． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标． （1）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标均互为相反数，据此即可作答； （2）关于轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可作答． 【小问1详解】 解：∵点，关于原点对称，，， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵点，关于轴对称，，， ∴，， 解得：，． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【小问1详解】 把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求m的值； （2）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）m＝－1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）把x＝2代入方程，即可求出m的值； （2）求出的值，再根据根的判别式的意义判断即可． 小问1详解】 解：把x＝2代入方程得：， 解得：m＝－1； 【小问2详解】 证明：由得：， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 22. 已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）， （2）作图见详解； （3）当时，函数值的取值范围 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式可得顶点的坐标，令，求出的值即可得图象与轴交点B 的坐标； （2）先利用对称性列表，注意，要取整数，然后描点连线即可画出图象； （3）根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． 【小问1详解】 解：化为顶点式得， 顶点的坐标为， 令，则， 点B 的坐标为； 【小问2详解】 先利用对称性列表： … … … … 然后描点连线，得到的图象，作图如下， 【小问3详解】 二次函数， 当时，； 当时，； 二次函数的对称轴为直线，且， 当时，有最小值，， 当时，函数值的取值范围． 23. 已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程的概念进行求解即可； （）根据一元一次方程的概念进行求解即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； 【小问2详解】 解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学期中试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 6. 下列关于的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 物理学家巧妙地使用可旋转正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边形（如图所示），该正八边形绕其中心旋转后能与自身重合，那么的值可能是（ ） A. 22.5 B. 30 C. 45 D. 60 10. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 如图，已知二次函数 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为_______． 13. 抛物线与y轴的交点坐标为____________． 14. 将一元二次方程化成一般形式为________． 15. 方程的根为__________ 16. 抛物线的对称轴____________． 三．解答题（共7小题，满分72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，为格点三角形．请用直尺在网格中画图： （1）画出，使和关于直线成轴对称； （2）画出，使和关于点O成中心对称． 19. 已知点，． （1）若A，B两点关于原点对称，求m，n的值． （2）若A，B两点关于y轴对称，求m，n值． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线顶点坐标； （2）当时，直接写出取值范围． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求m的值； （2）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 22. 已知二次函数，它的图象顶点为A，并且与轴交于点B． （1）直接写出A，B的坐标； （2）画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 23. 已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $