精品解析：上海市塘桥中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学调研试卷

2025学年度第一学期期中九年级数学调研试卷 （考试时间：100分钟，满分：150分） 2025.11 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个直角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个钝角三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．根据等边三角形的性质、等腰三角形的定义、相似三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，理由是锐角可能不对应相等（如锐角与），则此项是假命题，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，理由是顶角或底角可能都不对应相等（如顶角与），则此项是假命题，不符合题意； C、两个钝角三角形不一定相似，理由是钝角或其他内角可能不相等（如钝角与），则此项是假命题，不符合题意； D、两个等边三角形一定相似，理由是等边三角形的每个内角均为，则此项是真命题，符合题意； 故选：D． 2. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 3. 已知点C是线段的中点，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查向量的基本性质，熟练掌握向量与线段的关系是解题关键； 点C是线段的中点，根据线段中点的定义，向量与向量方向相同，且模长为的一半，进而对选项进行判断即可． 【详解】解：、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 4. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边）求解． 【详解】解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 5. 如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定及相似三角形的判定与性质，由题意可知，根据得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：A．若，无法判定，故该选项不符合题意， B．若，无法判定，故该选项不符合题意， C．若，无法判定，故该选项不符合题意， D．∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意， 故选：D． 6. 如图，正五边形的边长为2，连接对角线，线段分别与和相交于点M、N，线段的长度是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和问题、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 根据正五边形的性质得到，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理及外角性质可证得，进而得，证明，利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形且边长为2， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 同理，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：A． 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 已知，，则，的比例中项为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例，利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可，熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 【详解】设的比例中项线段为c， ∴， ∴， 故答案为：． 8. A、B两地间的实际距离米，画在地图上的距离厘米，比例尺是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一． 根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可． 【详解】解：实际距离米厘米，图上距离厘米， 比例尺=图上距离:实际距离． 故答案为：． 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查向量的加减法计算法则，熟记法则是解题的关键．根据向量的计算法则解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 在中，，如果，，那么_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形等知识．根据，得到，根据勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由勾股定理，得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 11. 在中，与是锐角，，，那么______度． 【答案】75 【解析】 【分析】根据已知条件求出，，再根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：∵与是锐角，，，∴，， ∴． 故答案为：75． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点（）， 的长度为8cm， ， ． 故答案为：． 13. 如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据正方形的性质可知，可证，根据相似三角形对应边成比例可以得到，从而求出的长度，然后于根据三角形的面积公式计算求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 故答案为： ． 15. 如图，点D、F在线段上，点E、G在线段上，，，如果，那么的长为_______________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 16. 已知与相似，且，如果，，，，那么_______． 【答案】18或24 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据题意分为和进行求解即可． 【详解】解：当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， 故答案为：18或24． 17. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 18. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．取中点，连接，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】解：取中点，连接， 此时为中线，， 是“精准三角形”， ， ， ， 设， 则，， ， 中，， ，， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 已知：，，求：代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，设，，．又因为，则可得k的值，从而求得x、、z的值，故可求． 【详解】设， 则，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 20. 如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，，，求EF的长； （2）若，，，求BE的长． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案； （2）过点A作交于点G，交于点H，可得四边形均为平行四边形，从而得到，再由，可得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作交于点G，交于点H， ∵， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴． 21. 如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝． （1）试用、表示； （2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示． 【答案】（1）=；（2）=. 【解析】 【分析】（1）利用三角形法则求出，再根据CD＝CA求出即可解决问题． （2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据＝+计算即可． 【详解】（1）∵＝，＝， ∴＝+＝﹣+， ∵AD＝2CD， ∴CD＝CA， ∵与同向， ∴＝＝（﹣+）＝﹣； （2）如图在、上的分向量分别为，． ∵＝+＝+﹣＝+． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，，，． （1）在图2中，过点B作，垂足为E．填空： ； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可得； （2）过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，则， ，在中，利用锐角三角函数的定义求出求出，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G， 则，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ， ， 点到的距离为． 23. 已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： （1）； （2） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D． （1）求点C、D的坐标； （2）连接，求的面积； （3）点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）证明为直角三角形，即可求解； （3）证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入得：，则， 则直线的表达式为：，则点； 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 则， 则直线解析式：， 令，则， 故点； 【小问2详解】 由点A、B、D的坐标得：， ， 则，则为直角三角形， 则的面积； 【小问3详解】 由点B、D的坐标知， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 则， 则， ， 点P在轴上且在点D的右侧， 则点P的坐标为：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形相似、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性强，难度适中． 25. 如图，已知在梯形中，，，，是边上一点，，点是射线上一点，联结交射线于点， （1）求的长； （2）若点在的延长线上，设，，求与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的值为：和． 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，首先证明四边形ABMD是平行四边形，求出BM=AD=5，再证明△CMD是等边三角形，得到CM=CD=5，最后求出的长； （2）延长交的延长线于点P，然后根据相似三角形的性质进行解答即可； （3）利用当在的延长线上时，以及当在线段上时，分别得出答案． 【详解】（1）如图1所示，过点D作DM∥AB交BC于点M， 则四边形ABMD是平行四边形， ∴BM=AD=5，∠DMC=∠ABC=60°， ∵AD=AB=CD=5， ∴△CMD是等边三角形， ∴CM=CD=5， ∴BC=BM+CM=5+5=10； （2）解：如图2，延长和 相交于点， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图2，当在的延长线上时， ， ， ， ， 如图3，当在线段上时， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述的值为：和． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定和性质，对边三角形的判定和性质，关键是分析题意作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期期中九年级数学调研试卷 （考试时间：100分钟，满分：150分） 2025.11 一、选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 1. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两个直角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个钝角三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似 2. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点C是线段的中点，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形的边长为2，连接对角线，线段分别与和相交于点M、N，线段的长度是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本题共12小题，每小题4分，共48分） 7. 已知，，则，的比例中项为______． 8. A、B两地间的实际距离米，画在地图上的距离厘米，比例尺是_______． 9. 计算：___________． 10. 在中，，如果，，那么_______． 11. 在中，与是锐角，，，那么______度． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为8cm，那么的长度为_______cm． 13. 如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则________． 14. 如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为________． 15. 如图，点D、F在线段上，点E、G在线段上，，，如果，那么的长为_______________． 16. 已知与相似，且，如果，，，，那么_______． 17. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 18. 新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为______． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 已知：，，求：代数式的值． 20. 如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，，，求EF的长； （2）若，，，求BE的长． 21. 如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝． （1）试用、表示； （2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，测得，，，． （1）在图2中，过点B作，垂足为E．填空： ； （2）求点C到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，） 23. 已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： （1）； （2） 24. 已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D． （1）求点C、D的坐标； （2）连接，求的面积； （3）点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标． 25. 如图，已知在梯形中，，，，是边上一点，，点是射线上一点，联结交射线于点， （1）求的长； （2）若点在的延长线上，设，，求与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $