精品解析：四川省泸州市叙永县后山中学2025--2026学年上学期九年级数学期中考试题

后山镇初级中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的两点的坐标，横坐标和纵坐标都互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故选：B． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐项计算一元二次方程的判别式，判断实数根的情况即可，若，则有两个不相等的实数根； 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式和根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根； 选项B：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根； 选项C：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 选项D：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等实数根． 故选：C． 5. 如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，图形旋转的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和求出等腰三角形的底角是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，，由此可求解底角，再根据旋转的性质，即旋转前后角度不变求解即可． 【详解】解：将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针， 在等腰，，， ∴， ∵将绕点旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点旋转，得到， 旋转方向为顺时针，旋转角可能为． 故选：A ． 6. 在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，理解切线的性质以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理可得， ， 如图，当与相切于点时，， 由三角形的面积公式可得， ， 即， ∴， 即半径为， 故选：． 7. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则． 故选：A． 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象．根据k的正负讨论反比例函数和一次函数图象的位置即可判断． 【详解】解：若，则反比例函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若，则反比例函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合； 故选：B． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 10. 已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象及性质，将所给的函数与所学的反比例函数图象结合解题是关键．将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，通过观察函数图象，结合反比例函数的图象及性质进行分析即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，如图， ①当时， ， , , , , 当时，， 故①不符合题意； ②当时， ， , , 故②符合题意； ③， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故③不符合题意； ④， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故④符合题意； 故选：B 11. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 12. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（ ） A. 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 二、填空题（12分） 13. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 14. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点E 在上，点 H 在上，将矩形 沿折叠，使点A 的对应点 F 落在的延长线上，交于点P，若，则折痕的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 过点H作于点Q，则四边形是矩形，由纸片折叠，可证是等腰三角形，设，利用相似三角形的性质可用x表示相关线段，根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点H作于点Q，则四边形是矩形， 将矩形沿折叠，使得点A的对应点F落在的延长线上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得（舍去）， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 解下列方程 （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可； 【详解】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ∴，； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 18. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 19. 已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求和的大小． 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得垂直平分，推出得即可求解； （2）根据，，可推出；是等腰三角形，进而得；结合（1）得，推出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴； 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 已知是的直径，是的切线，． （1）如图①，若，求直径的长； （2）如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】（1） （2），； 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； 【小问1详解】 解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 21. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 【答案】（1）； （2）; （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求反比例函数的关系式． 由米，，可知点的坐标是，利用待定系数法求出段滑梯所在的双曲线的解析式； 设点的坐标是，代入中的解析式求出的值，用点横坐标减去点横坐标即为，之间的水平距离； 设点的坐标是，把点的坐标代入中的解析式求出值，根据值判断是否符合要求 ． 【小问1详解】 解：米，， 点的坐标是， 设双曲线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 段滑梯所在的双曲线的解析式是； 【小问2详解】 解：出口点距离水面的距离为米， 设点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 点，之间的水平距离为； 【小问3详解】 解：点到的距离为米，则点的横坐标是， 设点的坐标是， 把代入， 可得：， 符合要求． 22. 草莓是云南多地盛产的一种水果．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象． （1）求与的函数解析式，请直接写出的取值范围； （2）若该水果销售店试销草莓获得的利润为4050元，求的值． 【答案】（1）与的函数解析式为，的取值范围为 （2）35 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程的应用是解题关键． （1）设与的函数解析式为，将点和点代入计算即可得函数解析式，再根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元可得的取值范围； （2）根据利润销售量（销售单价成本单价）建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：由题意，设与的函数解析式为， 将点和点代入得：， 解得， 则与的函数解析式为， ∵试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元， ∴， 答：与的函数解析式为，的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：的值为35． 23. 综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由： 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 【答案】 任务1：，理由如下： 如图所示，连接， 由题意得，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 任务2： 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 任务1：连接，可证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可得到答案； 任务2：根据任务1所求结合所给数据计算求解即可． 【详解】解：任务1：略 任务2：∵，，①号“”的测量距离， ∴， ∴． 24. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】题一：①；②最大值为；题二：米 【解析】 【分析】题一：①运用矩形的性质，证明△AEF∽△ABC，用相似三角形的相似比等于对应高的比列式计算即可； ②设矩形的面积为S，建立等式，转化为给出的方法计算即可． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米，则，转化为给出的方法计算即可． 【详解】（1）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 有最大值，最大值为． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米， ， 整理，得， ， ， ∴ ， 需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，相似三角形的判定与性质，能准确理解新方法，并运用新方法是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． （1）求的值； （2）如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案； （2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，进一步求出点D的纵坐标即可得到点D的坐标； （3）取，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则可证明当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵点D在第二象限， ∴， 在中，当时，， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，取，连接， ∴轴， ∵，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 后山镇初级中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ） A. 顺时针， B. 逆时针， C. 顺时针， D. 逆时针， 6. 在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 12. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（ ） A. 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 二、填空题（12分） 13. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 14. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 15. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 16. 如图，在矩形中，，点E 在上，点 H 在上，将矩形 沿折叠，使点A 的对应点 F 落在的延长线上，交于点P，若，则折痕的长为___________． 三、解答题（72分） 17. 解下列方程 （Ⅰ）； （Ⅱ）． 18. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 19. 已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求和的大小． 20. 已知是的直径，是的切线，． （1）如图①，若，求直径的长； （2）如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 21. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 22. 草莓是云南多地盛产的一种水果．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象． （1）求与的函数解析式，请直接写出的取值范围； （2）若该水果销售店试销草莓获得的利润为4050元，求的值． 23. 综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由： 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 24. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． （1）求的值； （2）如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $