精品解析：湖南省永州第十二中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

永州市第十二中学2025年下期期中考试 八年级数学试卷 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题只有一个正确选项，共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、左边是积，右边是和，是整式乘法； B、右边是，不是积的形式； C、左边是积，右边是多项式，是整式乘法； D、左边是多项式，右边是，是积的形式，符合因式分解； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A选项：，而原式错误地写为，故A错误； B选项：，原式仅对平方，未对平方，故B错误； C选项：幂的乘方运算法则为底数不变、指数相乘，即，故C正确； D选项：同底数幂相除，底数不变、指数相减，即，原式错误地写为，故D错误． 故选：C． 3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位，小数点向左移动为正，小数点向右移动为负）．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选D． 4. 在、、、、、中分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、、是分式，有3个， 故选：B． 5. 已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，及分母不为0，熟练掌握二次根式有意义时被开方数大于或等于零、分式有意义时，分母不等于零是解答本题的关键．对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，没有意义，不符合题意； B、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； C、当，即时，有意义，即当时，无意义，不符合题意； D、当，即取全体实数时，有意义，符合题意． 故选：D． 6. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键； 分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，据此逐个判断即可求解． 【详解】解：、分子分母含公因式，可约分为，该分式不是最简分式，不合题意； 、，分子分母含公因式，该分式不是最简分式，不合题意； 、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意； 、分子分母含公因数，该分式不是最简分式，不合题意； 故选：． 7. 将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，要确定多项式的公因式，需找出各项的系数最大公约数和公共因式，系数3和的最大公约数为3，公共因式为，因此公因式为． 【详解】确定系数公因式：第一项系数为3，第二项系数为，最大公约数为3； 确定公共因式：两项均含有因式； 组合公因式：将系数公因式3与公共因式相乘，得到公因式， 故选：C． 8. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 10. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义，即被开方数大于或等于0． 14. 已知，则代数式的值为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值求代数式的值，先提公因式再完全平方公式进行因式分解，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得， 故答案为：32． 15. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得且，解得，再代入求出的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得， 当时，， 所以， 故答案为：． 16. 已知，则式子的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法． 根据同底数幂的除法法则求出的值，进而计算的值即可． 【详解】， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设文钱购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为文，再根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可解题． 【详解】解：设文钱购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为文， 根据题意可列方程为：； 故答案为：． 18. 若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，灵活选择合适的因式分解方法是解本题的关键． （1）利用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的通分、因式分解与约分，并选取使分式有意义的的值． 先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简，最后选取使分式有意义的代入求值． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件：分母不为零，得且，即且． 从中取合适的，代入得： 原式． 21. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是将分式方程化为一元一次方程求解． （1）通过观察分母关系，将方程化简后求解； （2）通过寻找公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解． 【小问1详解】 解： ， 方程化为， 去分母可得， 解得， 经检验，是方程的解， 故方程的解为； 【小问2详解】 解：，  ∵，且 ，， 两边同乘以，得 ， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 解得 ， 经检验，是方程的解， 故方程的解为． 22. 先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； （1）填空____________； （2）化简，并写出化简过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 ． 23. 下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______ 得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项、合并同类项，得． 第三步 系数化为1，得． 第四步 （1）第一步中横线处应填__________，这一步的依据是__________． （2）小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 【答案】（1）；等式的基本性质 （2） 解：检验：当时，， 是原方程的增根，原方程无解. 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是熟练掌握分式方程的求解步骤． （1）根据分式去分母的原则可知，该方程等号两边同乘即可去分母； （2）根据分式方程中分母不为零的原则即可知需进行检验． 【小问1详解】 解：第一步中划横线处应为， 这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质； 故答案为：；等式的基本性质； 【小问2详解】 略 24. “”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ （1）补全表格信息． （2）求嘉嘉的速度． 【答案】（1）4， （2） 【解析】 【分析】考查了代数式和分式方程在实际问题中的应用，准确通过代数式来表示问题中的数量关系，并列出方程是解题的关键； （1）根据公路全长和两人出发的方向，即可得出琪琪走过的路程，根据嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，即可表示出淇淇运动的速度； （2）根据题意，找出等量关系，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为， ∴淇淇走过的路程为， ∵嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，设嘉嘉的速度为， ∴淇淇运动手环显示的速度为， 补全表格如下： 嘉嘉 淇淇 路程 6 4 速度 x 故答案为：4，； 【小问2详解】 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：嘉嘉的速度为． 25. 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1） (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 26. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】（1）2 （2）①；②1 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； 【小问3详解】 由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州市第十二中学2025年下期期中考试 八年级数学试卷 （时量：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题只有一个正确选项，共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 在、、、、、中分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 将用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 8. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 计算______． 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 14. 已知，则代数式的值为______． 15. 若，则______． 16. 已知，则式子的值是______． 17. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是______． 18. 若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 分解因式 （1） （2） 20. 先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 21. 解分式方程 （1） （2） 22. 先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； （1）填空____________； （2）化简，并写出化简过程． 23. 下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______ 得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项、合并同类项，得． 第三步 系数化为1，得． 第四步 （1）第一步中横线处应填__________，这一步的依据是__________． （2）小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． 24. “”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ （1）补全表格信息． （2）求嘉嘉的速度． 25. 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 26. 如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； （3）在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $