5.4 用一次函数解决问题（2）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦苏科版八年级上册“用一次函数解决问题（2）”，核心内容为通过一次函数图象分析解决实际问题。课堂以公路长跑行程问题复习导入，衔接运输费用比较等新知，搭建从图象观察关键点到构建函数模型的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过运输费用、租车收费等实际情境，引导学生观察图象交点及区间特征，培养抽象能力与推理意识。如例2动点面积问题，用分段函数精准表达，小结提炼解题步骤。助力学生发展几何直观与模型观念，为教师提供分层实例与结构化教学资源，提升教学效率。

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 5.4用一次函数解决问题（2） 学习目标 1、能通过图象获取一次函数的信息，构建一次 函数模型解决问题。 2、进一步感受“数形结合”的思想方法，从而 发展用数学思想方法解决问题的能力 学习重点：一次函数图象信息题。 学习难点：从实际问题中抽象出数学问题，构建 一次函数模型 一、复习引入： 一段笔直的公路AC长20千米,途中有一处休息点B,AB长15千米甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发,甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C， y(千米)与时间x(小时)的函数关系的是（ ） A 二、探索新知： 问题：某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择，汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y(元)表示运输的费用，x(km)表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示，你认为哪种运输方式花费较少? 观察图象可以发现， 当x=      时，两个函数图象相交于 一点，此时两种运输方式费用相等， 都是      元； 当         时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的    方，所以当里程小于80km时，汽车运输花费较少； 当x      时，表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的      方，所以当里程大于    km时，火车运输方式花费较少。 80 570 0≤x＜80 下 ＞80 上 80 O 1000 x/km y/元 2000 1000 y1 y2 2000 甲、乙两家公司的出租汽车收取的租车费y1（元）和y2（元） 都是用车里程x（千米）的函数， 图象如图所示． （1）用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等？ （2）用车里程多少时，甲公司的租车费比乙公司少？ （3）用车里程多少时，乙公司的租车费比甲公司少？ 思考： （1） x为何值，y1＝y2. 分析：看图像, 找交点. （2）x在何范围，y1＜y2. （3）x在何范围，y1＞y2. 解:(1)如图，当x =2000时, 两个函数的图像相交于一点, y1=y2. ∴用车里程为2000千米时,两家公司的租车费相等. 解:(2) 当x＜2000时, y1＜y2 . ∴用车里程小于2000千米时,甲公司的租车费比乙公司少. 解:(3) 当x＞2000时, y2＜y1 . ∴用车里程大于2000千米时, 乙公司的租车费比甲公司少. 一次函数图像信息题 1、解题思路： ①明确横轴（x轴）、纵轴（y轴）的实际意义； ②捕捉关键点，如：极值点、交点、转折点 （往往出现在分段函数中），通过关键点进行 具体的分析，弄懂它们的实际含义； ③着眼于整体，考察图像的变化趋势 小结： 2、方法： 先确定函数表达式； 再求交点；画图像，看图说话. 试一试： 星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息， 下列说法正确的是（　　） A、小王去时的速度大于回家的速度           B、小王在朋友家停留了10分钟 C、小王去时所花的时间少于回家所花的时间   D、小王去时走上坡路，回家时走下坡路 B 例题精讲： 例1、如图，描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况， 其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度. （1）在3--10min这个时间段列车运行的路程是多少? （2）列车发车12min时的速度是多少? 解：由图可知: (1)当3<t≤10时，v=5km/min. 在3--10 min 这个时间段列车运行 的路程为5×(10-3)=35(km). (2)当10<t≤14时，设函数表达式为v=kt+b， 函数图象经过点(10，5)和(14，0)， 将这两个点坐标分别代入函数表达式，得 解之得 所以当10<t≤14 时，v关于t的函数表达式为: v=-1.25t十17.5 当=12时，v=-1.25×12+17.5=2.5(km/min) 例2、如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB=8m，AD=6m，动态效果设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面. (1)写出屏幕展开面积Sm2关于点P的运动时间ts的函数表达式，并画出函数图象； (2)当屏幕展开面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积。 解：当点P在边AB上运动时，AP=2t S= AD×AP= ×6×2t= 6t. 此时,t的取值范围是0≤t<4. 当点P在边BC上运动时， S= （AD +BP）×AB = （2t-8+6)×8 =8t-8. 此时，t的取值范围是4≤t<7. ∴ S = 函数图象如图所示. 当 S= ×6×8=16(m2)时， 开始播放广告语，此时点P在AB上运动，则6t=16，得t= . 当t= +3= 时， 广告语播放结束，此时点P在BC上运动，则 S=8× -8= (m2) 电子屏幕未展开的面积为 6×8- = (m2) ∴电子屏幕未展开的面积为 m2。 三、独立训练： 1、快车和一辆慢车按相同的路线从地行驶B地， 所行驶的路程与时间的函数图象如图所示， 下列说法不正确的是（ ） A.快车追上慢车需3h B.慢车的速度是40km/h C.A，B两地相距240km D.快车比慢车早到1h A 2、小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离Sm与时间tmin的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论： ①他在前12min的平均速度是70m/min； ②他在19～21 mi时在家中逗留； ③他在12～19 min 时离家越来越远； ④他在41min后到家。其中，正确的是（ ） D A.①②③ B.①④ C.①③ D.①③④ 3、如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心 圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水 过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②． （1）求圆柱形容器的高和匀速注水的水流速度； 解：（1）根据函数图象得到 圆柱形容器的高为14cm， 两个实心圆柱组成的“几何体” 的高度为11cm，水从刚满过 由两个实心圆柱组成的“几何体” 到注满用了42s-24s=18s， 这段高度为14-11=3cm， 设匀速注水的水流速度为xcm3/s， 则18•x=30×3，解得x=5， 即匀速注水的水流速度为5cm3/s； （2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2， 求“几何体”上方圆柱体的高和底面积． （2）“几何体”下方圆柱的高为a， 则a•（30-15）=18×5，解得a=6， 所以“几何体”上方圆柱的高 为11cm-6cm=5cm， 设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2， 根据题意得5•（30-S）=5×（24-18）， 解得S=24，即“几何体”上方圆柱 的底面积为24cm2． 4、在一条直线上依次有A,B,C三个海岛,某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛,执行海巡任务,最终到达C岛.设该海巡船行驶x(h)后,与B岛的距离为y(km),y与x的函数关系如图所示。(1)A岛与C岛间的距离为 km,a= 。 (2)求y关于x的函数表达式,并解释图中点P的坐标所表示的实际意义。 (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台,发射的信号覆盖 半径为15km,求该海巡船能接收到该信号的时间有多长。 85 AC=25+60=85 25：0.5=60：(a-0.5) 1.7 (2)当0≤x≤0.5时,设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0). ∵函数图象经过点(0,25),(0.5,0)， ∴y=-50x+25. 当0.5≤x<1.7时,设y关于x的函数表达式为y=mx+n(m≠0). ∵函数图象经过点(0.5,0),(1.7,60)， ∴y=50x-25. 综上, 点P代表的实际意义为行驶0.5h时,海巡船到达B岛。 (3)由-50x+25=15,解得x=0.2， 由50x-25=15,解得x=0.8. ∵ 0.8-0.2=0.6 ∴该海巡船能接收到该信号 的时间有0.6小时。 13 四、拓展延伸 如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm。BC=6cm，点P从A点出发，滑A-B-C-D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿 D-C-B-A运动。到A点停止。若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度， 点P的速度变为每秒b（cm），点Q它的速度变为每秒c（cm），如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(秒)的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(秒)的函数关系图象,根据图象： (1)读直接写出 a= ，b= ，c= . 每秒2cm 每秒1cm 8 2 1 (2)设点P离开点A的运动路程为y1(cm)，点Q它到点A还需要 走的路程为y2(cm)，请分别写出改变速度后y1，y2与出发后的 运动时间x(秒)的函数表达式，并求出P与Q相遇时，x的值， (2)依题意得: y1=1×8+2(x-8)， 即:y1=2x-8 (x>8) y2=(30-2×8)-1×(x-8)=22-x (x>8) 又据题意，当y1=y2时，P与Q相遇， 即2x-8=22-x，解得x=10(秒）. ∴出发10秒时，P与Q相遇、 五、总结反思： 现实生活中经常会遇到与经济效益相联系的策略选择问题,处理这类问题,常采用图象法,即结合函数图象来解决实际问题,一般从以下两个方面来分析图象: (1)根据图象,判断函数的类型,如直线过原点, 则为正比例函数图象. (2)利用图象上特殊点的坐标建立关系求出函数表达式,同时由点的意义,即横、纵坐标的意义 来理解实际意义. 用一次函数解决问题---图象信息 六、随堂检测 1、在一条沿海大道上依次有A，B，C三地，骑行爱好者甲、乙两人同时分别从A，B两地出发，沿直线匀速向C地骑行，已知甲的速度为20km/h，设甲、乙两人骑行xh后与A地的距离都为ykm，y与x的函数关系如图所示，两人在出发时都配备了通话距离为3km的对讲机.下列说法错误的是（ ） A.甲比乙早到C地20min B.甲在距离B地15km处追上乙 C.B，C两地的距离是35km D.甲、乙两人从出发到都到达 C地前可以用对讲机通话的 D 3、某水果店以每千克8元的价格购进100kg黄桃，销售一半后进行打折销售，销售所得金额y元与销售量xkg的关系 如图所示，则销售完这100kg黄桃 获得的利润是 元. 2、如图是某超市一种产品30天的销售情况，图①表示产品日销售量y件与时间t天的函数关系，图②表示一件产品的销售利润z元与时间t天的函数关系，已知日销售利润=销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ） A.第24天的日销售量为200件 B.第12天的日销售利润是1950元 C.第30天的日销售利润是5元 D.第10天销售一件产品的利润是15元 C 600 4、小明和小华住在同一小区，周末两人从小区同时出发去公园.已知小华匀速步行前往，小明先以150m/min的速度骑自行车前往，中间休息了20 min后再以另一速度骑行到达公园. 如图是两人与小区的距离ym关于出发时间xmin的函数图象(1)a= ，b= ； (2)求小明和小华第二次相遇时，与公园之间的距离； (3)小明重新出发后，再骑行多长时间与小华相距300m? 2400 36 $