精品解析：天津市武清区杨村第四中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性练习数学试卷

2025-2026学年度第一学期高三年级 第一次阶段性练习数学试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“对，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 0或 8. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则_________. 11. 已知函数为R上的奇函数，且当时，，则____. 12. 数列的前项和为，则_________. 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________. 14. 已知，则的最小值为_________. 15. 已知，函数，若恰有2个零点，则的取值范围是_________. 三、解答题（共5小题，共75分） 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求B的值； （2）求b的值； （3）求的值． 17. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 18. 设函数. （Ⅰ）求的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数，求函数在区间上的最值． 19. 已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）若在数列任意相邻两项，之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和. 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）求证：当时，； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三年级 第一次阶段性练习数学试卷 一、选择题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合U，再求. 【详解】. 因为，， 所以. 故选：D 2. 命题“对，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定的定义进行求解即可. 【详解】命题“对，”的否定是，. 故选：B 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式与绝对值不等式，然后根据充分必要性条件判断. 【详解】由解得，设 由解得或,设或 由,则“”是“”的充分不必要条件 故选： A 4. 函数的部分图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D； 当时，，所以，故排除C. 故选：B 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性判断即可. 【详解】由，， ， 则. 故选：D 6. 将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果. 【详解】将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得； 再将图象上各点向左平移个单位长度，可得. 故选：C 7. 在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式建立方程，可解得公差d得选项. 【详解】解：因为在等差数列中，，且，，，构成等比数列，所以，即， 所以，解得或， 故选：A. 8. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 9. 已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简，根据对称轴处取得最值判断①；先求出，再根据余弦函数的性质判断②；根据零点求值判断③；根据正弦函数的单调区间判断④. 【详解】由 . 对于①，， 则为函数图象的一条对称轴，故①正确； 对于②，， 当时，， 由于在上的最大值为，所以，则， 所以的最大值为，故②正确； 对于③，当时，， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得，故③错误； 对于④，当时，， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故④正确. 故选：A. 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可得到结果. 【详解】由三角函数的定义可得，. 故答案为：. 11. 已知函数为R上的奇函数，且当时，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义即可求解. 【详解】当时，，故. ∵为奇函数，∴. 故答案为: . 12. 数列的前项和为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，代入数据，即可得答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设，由正弦定理及两角和的正弦公式化简可求得，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为_________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可得，对所求进行化简变形，结合基本不等式“1”的代换，分析计算，即可得答案. 【详解】由题意，且 所以，则， 又， 令， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最小值为7. 故答案为：7 15. 已知，函数，若恰有2个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合零点的定义分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数在上只有1个零点2， 当时，函数在时无零点，要使恰有2个零点， 则在时恰有2个零点， 则，解得； 当时，恒成立， 则函数在上有2个零点， 由于函数在时有1个零点2，要使恰有2个零点， 则在时恰有1个零点，此时在的左端点的值接近，且在上单调递增，必有一个零点， 所以满足题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（共5小题，共75分） 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求B的值； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）先求，再利用正弦定理运算求解即可； （3）先求，再利用两家和差公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 又，所以. 【小问2详解】 因为，则， 由正弦定理可得. 【小问3详解】 因为，， 则， 所以. 17. 已知函数，求： （1）函数的图象在点处的切线方程； （2）的单调递减区间； （3）求的极大值和极小值． 【答案】（1） （2）， （3）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程； （2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间； （3）根据（2）可求极值. 【小问1详解】 由题意得：， ，又， 的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知：， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，. 【小问3详解】 根据（2）可知，当为函数的极小值点，且， 当为函数的极大值点，且， 所以的极大值为，极小值为. 18. 设函数. （Ⅰ）求的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数，求函数在区间上的最值． 【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ），. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由求得值，可得函数的对称中心； （Ⅱ）求出的解析式，得到函数在区间上的单调性，则最值可求． 【详解】（Ⅰ）由已知，有 ． 最小正周期为， 由，得，． 对称中心为； （Ⅱ）由，得， 当时，，，可得在区间上单调递增， 当时，，，可得在区间上单调递减． ． 又，． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题． 19. 已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）若在数列任意相邻两项，之间插入一个实数，从而构成一个新的数列.若实数满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可； （2）利用错位相减法计算求和即可； （3）先求出，再利用裂项相消法及分组法计算求和即可. 【小问1详解】 由已知，得，解得， . 【小问2详解】 记， 所以， 则， 则 ， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，则， 则， 所以 . 20. 已知函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）求证：当时，； （3）证明：． 【答案】（1） （2） 要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3） 设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. 【小问1详解】 ，则， 所以，故处的切线斜率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $