5.4 用一次函数解决问题（1）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 5.4用一次函数解决问题（1） 学习目标 1、能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式. 2、能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数）， 从而解决实际问题. 3、在解题过程中，进一步发展学生的形象思维能力， 增强运用数学解决问题的意识. 学习重点：运用函数观点探索实际问题的数量关系。 学习难点：强化数学建模思想，培养运用已有知识灵活 处理问题的能力。 一、情境创设： 某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔升高1km气温下降6℃,登山队员由大本营向上登高xm时，他们所在位置的气温是y℃，试用函数表达式表示y 与x的关系。 y=5-0.006x (x＞0) 登山队员由大本营向上登高xm，即 气温下降0.006x ℃. 这节课我们来学习 用一次函数解决问题吧！ 二、探索新知： 问题：为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装，当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每纸杯的总高度分别是多少? 思考： 如果一个纸杯的高度是9.5cm，每叠放1个纸杯， 纸杯的总高度增加0.5cm，那么当纸杯的个数确定时， 纸杯的总高度随之确定，纸杯的总高度是纸杯个数的函数，函数表达式为： 只要把函数表达式中x的取值分别用5，10，15，20，25代入，就可以得到各摞纸杯的总高度，分别是 y=               ,其中自变量x取正整数, 建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题。 9.5x+0.5(x-1) 11.5cm，14cm，16.5cm，19cm, 21.5cm . (1)根据问题,用两个字母表示问题中的未知量； (2)根据题意列出这两个未知量之间的函数表达式,并化简； (3)根据函数的性质,由一个变量的取值或取值范围来确定 另一个变量的取值或取值范围； (4)利用所解决的一次函数问题解释原来的实际问题 小结： 1、将实际问题转化为数学问题，合理建立一次函数模型分析实际问题中变量之间的关系，若这种关系可以用一次函数 表达式来表达时，就用一次函数的相关知识来解决实际问题。 2、用一次函数解决实际问题的主要步骤： 试一试： 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中 水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3 . （1）说明蓄水池的水量Qm3是注水时间th的函数， 并写出函数表达式. （2）注水前，蓄水池里有水吗?如果有，有多少立方米? （3）当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000m3? 解：(1)根据题意，进水管给蓄水池匀速注水， 平均每小时水量为 =300m3. 函数表达式为 Q=300t+100 （2）注水前，蓄水池里有水. 当t=0时，Q=100，有100立方米。 （3）注水前，蓄水池里有水. 当Q=1000时，300t+100=1000，得t=3。 例题精讲： 例1、某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为 12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出。 (1)说明每天利润y元是生产数量x件的函数，并写出函数表达式 (2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元?   (2)当x=50时,y=300x50-12000=3000(元) 答:这天的利润是3000元 解：(1)根据题意，利润y元随生产产品的数量x件的变化而变化，当产品数量确定时，利润随之确定，y是x的函数， 其函数表达式为y=1200x-(900x+12000) 即y=300x-12 000. 探索：要使得该工厂某天的利润超过9000元， 这天至少需要生产多少件产品? y=300x-12000，当y＞9000时， 300x-12000＞9000， 得x＞70， 例2、书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度为50cm的柜子上·考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4m. (1)说明最上面那本书上表面距地面的高度ycm 是书的数量x本的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围; (2)每摞最多可以摆放多少本书? 解：(1)根据题意，最上面那本书上表面距地面的高度ycm随书的数量x本的变化而变化，当书的数量确定时，最上面那本书上表面距地面的高度随之确定，y是x的函数，函数表达式为 y=2.4x+50， ∵y≤140，2.4x+50≤140，x≤37.5 又∵x为自然数, 0≤x≤37且x为整数。 (2)每摞最多可以摆放37本书. 三、独立训练： 2、已知光在空气中传播的速度约是3×108m/s. (1)说明光的传播距离ym是传播时间ts的函数，并写出函数表达式; (2)计算在3000m高空形成的闪电垂直传播到地面所需的时间。 1、某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示: 观察此表,利用所学函数知识预测今年6月7日该商店 销售纯净水的数量约为　　 　瓶.  日期 1 2 3 4 数量(瓶) 120 125 130 135 150 解：(1)根据题意，光的传播距离ym随传播时间ts的的变化而变化，当传播时间确定时，传播距离随之确定，y是x的函数，其函数表达式为y=3×108t. (2)当y=3000时,3×108t=3000,得t=10-5s. 答:所需的时间10-5s. 3、小明用软件制作演示文稿，设置每张幻灯片停留5s， 切换到下一张需要1s. (1)说明总播放时间ts是幻灯片数量x张的函数，并写出函数表达式; (2)如果总播放时间不能超过3min，那么最多可放置多少张幻灯片? 解：(1)根据题意，总播放时间ts随幻灯片数量x张的变化而变化，当幻灯片数量确定时，总播放时间随之确定，t是x的函数， 其函数表达式为t=5x+(x-1),即t=6x-1. （2）∵当t=3min=180s时， 6x-1=180，解得 x= ≈30 答：最多可放置30张幻灯片。 4、为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的,研究表明;假设椅子的高度(不含靠背)为x (㎝),课桌的高度为y(㎝),则y应是x的一次函数,下表列出两套符合条件的课桌椅的高度： （2）现有一把高42.0㎝的椅子，则课桌的高度为多少， 它们才配套？请通过计算说明。 （1）试确定y与x之间的函数关系式. （2）将x=42.0，代入y=1.6x+11,得y=1.6x42.0+11=78.2 解：（1）根据题意，设y=kx+b， 将x=40.0，y=75.0；x=37.0，y=70.2代入可得： y与x函数关系式为y=1.6x+11； 一把高42.0㎝的椅子，则课桌的高度为78.2cm,它们才配套. 四、拓展延伸 目前,我市对市区居民用气户的燃气收费， 以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯： （1）一户家庭人口为3人,年用气量为200m, 则该年此户需缴纳然气费用为 元； (2)一户家庭人口不超过4人,年用气量为xm3(x>1200), 该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y关于x的函数表达式； 解:(2)根据题意,得 y=400×2.67+(1200-400)×3.15+3.63(x-1200)=3.63x-768. 534 200×2.67=534(元) ∴y关于x的函数表达式为y=3.63x-768 (x>1200). (3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气.(结果精确到1m3.) 设乙户年用气量为am3,则有2.67×500+3.15(a-500)=3855. 解得a=1300. (3)∵400×2.67+(1200-400)×3.15=3588<3855 ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯,由(2)知, 当y=3855时,3.63x-768=3 855,解得x≈1273.6. ∵2.67×(100+400)+3.15×[(1200+200)-(400+100)]=4170>3855, 且2.67×(100+400)=1335<3855。 ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯, 1300-1273.6=26.4≈26(m3). 答:该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气。 五、总结反思： 用一次函数 解决实际问题 从实际问题中抽象出一次函数模型 利用函数模型解决方程、不等式、函数等数学问题 用所解决的数学问题来解释原实际问题 六、随堂检测 1、某市出租车收费标准：不超过3千米计费为7.0元， 3千米后按2.4元/千米计费． （3）小亮乘出租车出现，付费19元，计算小亮乘车的路程. （2）当路程表显示7km时，应付费多少元？ 解： 2.4x-0.2=19， 解得x=8. ∴小亮乘车的路程为8千米. 解：2.4×7-0.2=16.6（元）.∴应付费16.6元。 （1）写出车费y(元)与路程x (千米)(x＞3)之间的函数表达式. 解：y=7+2.4(x-3). 即 y=2.4x-0.2 2、为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知 1只A型节能灯的售价是5元,1只B型节能灯的售价是7元, 学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案. 解：设购买A型节能灯a只,则购买B型节能灯(200-a)只, 所需费用为w元. 根据题意,得w=5a+7(200-a)，即 w=-2a+1400.　 ∵a≤3(200-a),所以a≤150.∴a的取值范围是0<a≤150. ∵w=-2a+1400中,k=-2<0,∴ w随a的增大而减小。 ∴当a=150时, w取得最小值,此时w=1100, 200-a=50. 答:当购买A型节能灯150只,B型节能灯50只时最省钱. $