重庆市七校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025一2026学年度上期高二半期七校联考 数学试题（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B D C D A CD ACD BCD 12. y=16 13.1<9: 14.(2,4) 15.【答案】证明：(1)：数例{a,}满足a=6-9(nEN,n≥2)， an-1 1。-1 =1-1 an-1 1 am-1-3=1 "an-3am-1-3-3-9am-1-33an-1-9an-1-33(an-1-3)3' an-1 数5列{。3}是公差为号的等差数列 (7分)： (②由1可知数别列{'3}是公差为号的等差数列， 又a1=5, “数列1 (an-3 }的首项为、1。 1 a1-3-21 1+ 2=ヮ千5(n-1)=1 3n+1 61 .an 6n+g .(13分) 2m+1 16.【答案】解：(1)设直线m上任意一点P(x,y)关于点A(2,4)的 对称点为Q(ro,yo),… ..(2分) 则04- ,…4分 (0=8-y 因为0-26+1=0，所以4-0-2(8-)+1=0，.(5分) 整理得x-2y+11=0,即直线m的方程c-2y十11=0..（6分) (2)设圆心C(2b-1,b),… .（7分) 由CA=|1CB,得√(2b-1-2+(b-42=√(2b-1-42+(b-2, ...（10分 解得b=1, .（12分) 所以圆心为C(1,1),半径r=CA=√10，. .(14分) 所以圆C的标准方程为(x-1+(y-12=10..(15分) 17.【答案】解：(1)双曲线C的实轴长为2a,由已知，2a=2,则a=1....(1分) 因为双曲线C:兰-号=1a>0,b>0的一条渐i近线为6a-y=0.…2分 a2 b2 点P0.)到驭曲线C的渐近线的距离为9，所以a ==54分 √b2+(-a 3 所以c=√5a=√5，所以b2=c2-a2=3-1=2.. .(5分) 所以双曲线C的方程是2-号=L.6分 (2)(法一)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+1,设A(1,)、 B(c2,)、M(xo,o) 联立直线1与双曲线C的方程，得一如十1 2x2-y2=2' 消去y, 得(k2-2)x2+2k+3=0.. (8分） 由△=42-12(2-2)>0且2-2≠0，得2<3且2≠2..(9分) 由韦达定理，得+=2头。10分 所以0=西十2=k 2-2+12 22-2,6=ka0+1=、2 .(11分) 2-2 c0二 由 2消去k,得2品-6+6=0. .(14分) 2 10=2-R 由2<3且2≠2，得0≥1或0<-2. 所以，点M的轨迹方程为2x2-2+y=0,其中y≥1或y<-2.(15分) (法二)(2）设A(x1,),B(2,2),中点M(0,0),则： 0=西十2 2 ,%=+业 2 好-号-1 因为A,B在双曲线上，故： .(8分) 两式相减（点差法）： 好-喝-业=0 2 因式分解得：(，-，十)--+2=0. .(9分) 2 两边除以心1一x2(直线斜率显然存在)，代入心1十x2=2o,十h=20: 20k=0→k=2 2c0- 2 ..（11分) 又直线1过P0,1）和M,0,故斜率k=h-1,因此： 20=y0-1 .(13分) 整理得轨迹方程（将xo,o换为x,y）：2x2-y+y=0 所以，点M的轨迹方程为2x2-y2+y=0,其中y≥1或y<-2..(15分) 18.【详解】(1)由勾股定理计算得AC=√2，所以AC=CD=√2， 故三角形ACD为等腰直角三角形，可得AC上CD..(2分) 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD.....(3分) 又因为PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,所以CD⊥平面PAC..(4分) 又因为CDC平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD, .(5分) (2)①因为BC∥AD,而BCC平面PBC,AD寸平面PBC, 所以AD∥平面PBC,(7分) 又ADC平面PAD,平面PAD∩平面PBC交线=L,所以l∥AD,.(9分) 而AD⊥AB,所以l⊥AB..(10分) ②依题意，建立空间直角坐标系A-xy2,B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), C(1,1,0),.(11分) ZA D立 可得BP=(-1,0,2),BD=(-1,2,0), 设平面BDP的一个法向量为元=（(c,y,z), +0,取=2，则i=2,1. 则予=0.，即-z+2=0 BD2=0, (13分) 因为点M在l上，所以设点M(0,t,2),设平面BDM的一个法向量为元=(c,y,z), BM0 则 -x+ty+2z=0, BD元=0， 可得-0+2刘=0， 即/t-2y+22=0, x=2y, 取y=2,则元=(4,2,2-t).(15分) 因为cos<元，>= 元元 12-t 励√6x20+(2-t 所以 |12-t( √6×√20+(2-t2 9,解84=6，故p16 .(17分) a=4 【辨折】国由防意信+号=1，解得 62=12 19. a2=16 所以椭圆方程 +12 16 =1..… .(3分 (2 B 当l的斜率不存在时，1：x=2,B(2,-3),AB=6,P到AB距离d=2, 此时368m=?×2×6=6≠12不满足条件 ...(5分) 当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-2)+3,设A(1,1),B(c2,), y=k(x-2)+3 需+号=1 ,消y可得(+3)x2-(160-2)z+162-48k-12=0, 当△=(16k2-24)2-4(42+3)(16k2-48k-12)>0时， +购=162，又=2，所以购=162-2， 462+3 42+3 AB=√1+P1-=√1+e12+24 .(7分) 3+42 又P点到直线l的距离d= 2k+3 .(8分) √1+2 所以Se=号AA:d=号xpk+3 12+24h 2 =6×1(2k+3)(1+21 3+42 3+42 二12 整理可得42-8k+3=0或12k2+8+9=0(无解)，即(2弘-3)(2k-1)=0, 解得k=)或号，此时代入检验，均满足△>0， g=e-2习+3或g=是(-2)+3， 即m-2十4=0或3x-2y=0.(10分） (3)椭圆方程为： 荒+告=1若过D0v5的动直线的斜 率存在，则可设该直线方程为：y=kx十√，设M(,), N(x2,h),T(0,t), 联立椭圆方程可得(3+42)x2+8√5kx-36=0, 故△=1922+143+42)>0，西+=- 8v3k 3+42′12= -36 3+4k2' .(12分) 而Ti=(c,-t),TN=(2,功-t), 故Ti.TN=x2+(幼-t)(-t)=c2+(ka,+V3-t(kr2+√3-t) =(1+2)c2+k(V3-t)(1+c2)+(V3-t2 =1+的x(329)）-w0-×0+68- ==27-6W3t+3t2-482+424_（-48+42)2-27-6W3t+3 ....(14分) 3+42 3+462 因为成示0恒成立故580解得52后仙分》 若过点D(0,√3)的动直线的斜率不存在，则M(0,-2√3)，N(0,2W3), 此时需-2w3≤t≤2W3, 综上，T点纵坐标的陬值范围为-3≤t≤25..(17分) 2025-2026 学年度上期重庆市高二半期七校联考 数学试题 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 考试结束后，将答题卷交回。 第 I 卷 (选择题 共 58 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选 项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1. (原创) 已知直线 过 两点,则直线 的倾斜角的大小为 ( ) A. B. C. D. 2. (原创) 已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. (原创)在等差数列 中， ， ，则 的公差为_____( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.(原创)若点 在圆 外,则 的取值范围( ) A. B. C. D. 5. (改编) 已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为( ) A. B. C. D. 6.(改编)如图，已知 是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点 为平面 外一点,且 ,若 , 则 ( ) A. B. 3 C. 6 D. 7 7. (原创) 点 到直线 的距离的最大值为( ) A. B. C. D. 8. (改编)已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点， 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为( ) A. 6 B. 3 C. 12 D. 9 二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选错的得 0 分, 若只有 2 个正确选项, 每 题选对一个得 3 分，若只有 3 个正确选项，每选对一个得 2 分.) 9. (原创) 下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是( ) A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D. 经过焦点的最短弦长为 6 10.(原创)下列说法正确的为( ) A. 为空间任意一点,若 ,若 四点共面,则实数 等于 B. 若 为空间的一个基底,则 能构成基底 C. 向量 ，向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 D. 圆 与圆 的公切线有 3 条 11. (改编) 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案， 如图1, 把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2 的组合, 这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为 1, 则下列结论正确的是 ( ) A. B. 点 到直线 的距离是 C. 直线 与平面 的夹角正弦值为 D. 异面直线 与 所成角的正切值为 第 II 卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.) 12. (原创) 抛物线 的准线方程为_____. 13. (原创) 已知 的通项公式为 ，若数列 为递减数列，则实数λ的取值范围是_____. 14. (改编) 已知 是椭圆与双曲线的公共焦点, 是它们的一个公共点,且 ,线段 的中垂线过 ,记椭圆的离心率为 ,双曲线的离心率为 ,则 的取值范围是_____. 四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤.) 15.(原创)(本小题 13 分) 数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式. 16.(改编)(本小题 15 分) 已知点 ， ，直线 的方程为: . (1)求直线 关于点 对称的直线 的方程； (2)求经过 两点，且圆心在直线 上的圆的标准方程. 17. (改编) (本小题 15 分) 已知双曲线 的实轴长为 2,点 到双曲线 的渐近线的距离为 . (1)求双曲线 的方程； (2)过点 的动直线 交双曲线 于 两点,设线段 的中点为 ,求点 M 的轨迹方程. 18.(改编)(本小题 17 分) 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 满足 . (1)证明:平面 平面 ； (2)若 ，平面 与平面 交线为 ， ① 求证 ； ②直线 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 ？若存在， 求出 ; 若不存在,请说明理由. 19. (改编) (本小题 17 分) 已知 和 为椭圆 上两点. (1)求椭圆 的方程； (2)若过点 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 12，求直线 的方程； (3)设过点 的动直线与椭圆 有两个交点 ，试判断在 轴上是否存在点 使得向量所成角 恒成立,若存在,求出 点纵坐标的取值范围; 若不存在, 说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $