精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期数学周测（十）

2025—2026学年高三上学期 数学大练习（十） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. -2024 C. D. 2024 2. 已知α为第二象限角，且sin2α＝－，则cosα－sinα的值为(　　) A. B. － C. D. － 3. 已知矩形的对角线长为4，若，则 A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 4. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 6. 已知是半径为1的圆上的两个动点，，则的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知在中，内角的对边分别是，且的面积为的中点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. D. 若，则 10. 已知在平面四边形中，，其外接圆圆心为，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. D. 过作交于点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若向量，，则的面积为__________. 12. 已知向量，则向量与向量的夹角为______. 13. 已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，周长为，且，求. 15. 设数列的前项和为，若，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求. 16. 已知函数（为自然对数的底数），. （1）求函数在区间上的最值； （2）若对，求证：； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三上学期 数学大练习（十） 考试时间：90分钟 试卷满分：120分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. -2024 C. D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】根据求导公式计算即可. 【详解】，则. 故选：A. 2. 已知α为第二象限角，且sin2α＝－，则cosα－sinα的值为(　　) A. B. － C. D. － 【答案】B 【解析】 【详解】因为sin2α＝2sinαcosα＝－，即1－2sinαcosα＝，所以(sinα－cosα)2＝，又α为第二象限角，所以cosα<sinα，则cosα－sinα＝－.故选B. 3. 已知矩形的对角线长为4，若，则 A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像特点得到：，展开根据向量的点积运算公式得到结果. 【详解】设为对角线和的中点，则， .由， 得.因为，， 所以 . 故答案为B. 【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 4. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】由及正弦定理，得， 又，故，又，故． 因为，由余弦定理，得， 所以，所以是以为直角的直角三角形． 故选：B 5. 习近平总书记多次强调生态文明建设关系人民福祉、关乎民族未来，是事关实现“两个一百年”奋斗目标；事关中华民族永续发展的大事.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知关系可构造不等式，利用指数与对数互化可得，结合换底公式和对数运算法则可求得的最小值. 【详解】设排放前需要过滤次，则，， ， 又，，即排放前需要过滤的次数至少为次. 故选：C. 6. 已知是半径为1的圆上的两个动点，，则的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知条件两边平方，结合数量积定义可解. 【详解】由题可知，，设的夹角为. 因为 所以，即， 解得或（舍去），即的夹角的余弦值为. 故选：C 7. 已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则、、 设因为所以点轨迹为 令则 则 由 得 故选 点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点． 8. 已知在中，内角的对边分别是，且的面积为的中点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助边化角与两角和的正弦公式计算可得，结合面积公式可得，最后利用余弦定理表示出后利用基本不等式即可得解. 【详解】由，即， 即， 故，又，故，故， 则，又，故， 由的中点为，故， 又， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分别取特殊情况验证各选项即可. 【详解】选项A：因为，令可得，解得．令可得，所以，故为偶函数，A正确； 选项B：令可得，所以， B错误；选项C:令可得，C正确； 选项D：令可得，所以，所以，D正确． 故选：ACD． 10. 已知在平面四边形中，，其外接圆圆心为，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的半径为 C. D. 过作交于点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算. 【详解】对于A，连接，在中，，， 由于，所以，故， 解得， 所以，，所以， 故， ， 故四边形的面积为，故A错误； 对于B，设外接圆半径为，则， 故该外接圆的直径为，半径为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，连接，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E， 则由垂径定理得：， 由于，所以，即， 解得，所以，所以， 故，且， 因为，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故， 由A选项可知：，显然为锐角， 故，， 所以 ， 所以，故D正确.    故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若向量，，则的面积为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的边长及的正弦，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】因为向量，，则，， 显然，因此， ， ， 所以的面积. 故答案为： 12. 已知向量，则向量与向量的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，求出和，利用向量的数量积求出，从而得到向量与向量的夹角. 【详解】，，， ，， ，， ， ， ，向量与向量的夹角. 故答案为：. 13. 已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先推出为直角三角形斜边的中点，再过作的垂线，垂足为，推出，，利用可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 又因为为的外心，所以为直角三角形且，为斜边的中点， 过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，周长为，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦切互化以及和差角公式可得，即可结合正弦定理求解； （2）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角恒等变换求解. 【小问1详解】 因为， 故， 所以. 因为，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可知，，， 因为，所以， 所以. 所以. 又，所以， 所以，故. 15. 设数列的前项和为，若，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求. 【答案】（1） ， 当时，， 两式相减得， 又 ， 故，且， 所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列. （2）210 【解析】 【分析】（1）降次作差得，再升次作差即可； （2）直接累加并利用等差数列求和公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 16. 已知函数（为自然对数的底数），. （1）求函数在区间上的最值； （2）若对，求证：； （3）求证：. 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2） 要证，只需要证明，其中， 设，， 设， 因为函数、在上均为减函数， 则在区间内单调递减 因为，，所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减 又因为，，，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为，， 所以在区间内恒成立， 即对，成立； （3） 令，所以， 所以，，，…，， 所以. 对，，所以， 所以 ， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数判断函数在区间上单调性，进而可求得最值； （2）证明，通过构造函数，利用导数分析最值即可证得结论成立； （3）令，由（2）得，再借助放缩，得证. 【小问1详解】 对函数求导可得， 令，则， 当时，， 由正弦函数性质可知，当，即，， 当，即，， 因为，所以时，，时，， 即函数在区间单调递增，在区间上单调递减， 而，，， 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $