精品解析：浙江省杭州市第六中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

浙江省杭州第六中学期中检测卷（2025.11） 九年级数学试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 5. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A. 0.618 B. 0.620 C. 4500 D. 1000 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 9. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 正五边形的每一个内角都等于___． 12. 若（a、b均不为0），那么______. 13. 如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______． 14. 已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线_______． 15. ，P是的黄金分割点，_________． 16. 如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为______． 三、解答题（本大题有8题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 已知抛物线 （1）写出该抛物线的开口方向和对称轴； （2）写出当y随x的增大而增大时自变量x的取值范围； （3）求该函数图象与x轴的交点坐标． 18. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 19. 如图，，，，，求的长． 20. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 21. 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由） 22. 如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为，当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为． （1）求篮球出手位置点的高度． （2）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起拦截，已知乙的拦截高度为，那么他能否获得成功？并说明理由． （3）若甲在乙拦截时，突然向后后退，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度，求篮球出手位置的高度变化． 23. 已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． （1）求二次函数的表达式； （2）已知时，y随x的增大而减小，求的最大值． 24. 如图，内接于，． （1）若，求的度数： （2）延长交于点． ①求证：点是弧的中点； ②若，，求半径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州第六中学期中检测卷（2025.11） 九年级数学试题卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意； B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意； C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 2. 投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，直接根据顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ． 故选B． 4. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 5. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A. 0.618 B. 0.620 C. 4500 D. 1000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选：A． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把转化为，将代入，即可求解， 本题考查了比例的性质，解题的关键是：熟练掌握比例的性质． 【详解】解：， 故选：A． 7. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为，而抛物线开口向上，则点和对称轴间隔越大，对应的函数值越大，进而求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，而抛物线开口向上，则点和对称轴水平距离越大，对应的函数值越大，而点，，和对称轴的水平距离分别为：5、4、2， 故， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 9. 图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】∵四边形中，，， ∴， ∵车轮的直径为24英寸，约， ∴需要的铁皮面积约是， 故选A． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 10. 已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，连接，根据得到垂直平分，据此逐个判断即可． 【详解】解：连接交于，延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴当时成立，故A选项不一定成立； ∵过作的垂线交延长线于点， ∴，， ∴，，， ∴，故B选项一定成立； ∵所对圆周角，对圆周角，与大小不确定， ∴与大小不确定，即与大小不确定，故C选项不一定成立， ∵中， ∴， ∵中， ∴，故D选项一定不成立， 综上所述，选项一定成立的是B， 故选：B． 二、填空题：（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 正五边形的每一个内角都等于___． 【答案】108° 【解析】 【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出内角和，然后除以5即可； 【详解】解：（5-2）×180°=540°，540°÷5=108°； 故答案为：108°． 12. 若（a、b均不为0），那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查比例的基本性质的逆运用，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出答案． 【详解】解：因为，则． 故答案为：． 13. 如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴和y轴的交点，几何概率，求出矩形的面积是解题的关键．首先求出，，得到，然后求出，求出矩形的面积为，然后利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴令，即 解得， ∴， ∴ 当时， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴ ∴矩形的面积为 ∵在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个， ∴阴影部分面积的近似值为． 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 15. ，P是的黄金分割点，_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．掌握黄金分割的定义是解题的关键．直接根据黄金分割的定义计算． 【详解】解：∵是线段的黄金分割点， ∴． 故答案为：． 16. 如图，等边三角形内接于，若的度数是，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，根据题意得出，，，进而可得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵等边三角形内接于，若的度数是， ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴中， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题有8题，第17-21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分．） 17. 已知抛物线 （1）写出该抛物线的开口方向和对称轴； （2）写出当y随x的增大而增大时自变量x的取值范围； （3）求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴为直线； （2）当时，y随x的增大而增大； （3）与x轴的交点坐标为和． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质． （1）根据顶点式作答即可； （2）根据二次函数的性质作答即可； （3）将代入计算即可． 【小问1详解】 解：中，即抛物线的开口向上，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 即与x轴的交点坐标为和． 18. 如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】略 19. 如图，，，，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 20. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，且，求阴影部分（弓形）的面积． 【答案】（1）50° （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，利用互余计算出，然后计算出的度数，则根据圆心角定理得到的度数； （2）利用斜边上的中线性质得到，再判断为等边三角形，则，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积进行计算． 【小问1详解】 解：连接，如图， ，， ， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 是的中点，， ， ， 为等边三角形， ，， 阴影部分的面积； 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、圆心角定理、互余、等边三角形等知识点：求不规则图形的面积，转化用规则的图形面积进行求解；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；利用角的正弦值求边长，解题的关键是将不规则图形面积转为规则图形面积求解． 21. 在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案． 甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由） 【答案】（1）不公平；（2）不公平． 【解析】 【分析】(1)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． (2)、依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． 【详解】(1)、甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法， 小明 小刚 2 3 4 5 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； (2)、不公平．理由如下： 小明 小刚 2 3 4 2 （2，3） （2，4） 3 （3，2） （3，4） 4 （4，2） （4，3） 所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平． 22. 如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为，当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为． （1）求篮球出手位置点的高度． （2）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起拦截，已知乙的拦截高度为，那么他能否获得成功？并说明理由． （3）若甲在乙拦截时，突然向后后退，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度，求篮球出手位置的高度变化． 【答案】（1）点的高度为 （2）获得成功， 理由：当时，，故能获得成功； （3）篮球出手位置的高度提高了 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及求二次函数解析式． （1）根据题意可得两点和，可设抛物线的表达式为：，代入即可求得解析式； （2）将代入即可求得函数值，再与3比较大小即可； （3）根据题意求得变化后的函数解析式，结合数据的变化即可求得变化值． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点为：，抛物线过点， 设抛物线的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点的高度为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，新抛物线的，抛物线过点、， 则设抛物线的表达式为：， 则，解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 则， 故篮球出手位置的高度提高了． 23. 已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，． （1）求二次函数的表达式； （2）已知时，y随x的增大而减小，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法解二次函数的解析式，可求得的值，进而求得二次函数的表达式； （2）由得开口方向向上，且对称轴为直线，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，列式，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，图象经过点，， 将其代入得， ， 解得：，． 故二次函数的表达式为． 答：二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：二次函数的表达式为， ∴二次函数开口方向向上，且对称轴为直线， ∵时，y随x的增大而减小， ∴， 即， ∴的最大值． 答：的最大值为． 24. 如图，内接于，． （1）若，求的度数： （2）延长交于点． ①求证：点是弧的中点； ②若，，求半径的长． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，延长交于点D，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点是弧的中点． ② 【解析】 【分析】（1）延长交于点E，连接，根据是直径，得到，继而得到，结合得到，根据，结合，计算的度数即可． （2）①延长交于点D，连接，根据是直径，得到，继而得到，结合得到，根据，得到继而得证点是弧的中点． ②连接，根据得到，结合，利用勾股定理得到，利用计算即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点E，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②如图，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，勾股定理，弧，弦之间的关系，熟练掌握勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $