精品解析：山西省临汾第一中学校2025-2026学年高二上学期周测试题(十二)数学试题

临汾一中2025-2026学年度第一学期高二年级周测试题（十二）数学试题（卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数除法运算法则计算后结合虚部定义即可得. 【详解】由，则， 则的虚部为. 故选：D. 2. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设数列的公比为，由已知可得，进而计算，得解. 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的式子相加可得： ， 所以，所以， 故选：D. 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可． 【详解】由图知，众数是； 中位数是第15个数与第16个数的平均值， 由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6， 所以中位数是； 平均数是； ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 5. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ） A. 0个 B. 至多有一个 C. 1个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解. 【详解】因为直线和圆没有交点， 可得，即， 所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点， 又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点， 所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为. 故选：D. 6. 已知函数中，则（ ） A. 的最大值为2 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式可直接判断A项；代入结合正弦函数的函数的性质可判断B、C、D项. 【详解】由题意知，函数的最大值为3，A项错误； 因为，所以直线不是图象的一条对称轴，B项错误； ，但是，所以是图象的一个对称中心，而点不是图象的一个对称中心，C项错误； 当时，，即，在上单调递减，所以在上单调递减，所以D项正确. 故选：D. 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果. 【详解】由， 得，所以． 又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径）， 所以，解得， 则的外接圆的面积为． 故选：B 8. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，错误的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆上一点，结合斜率的坐标运算即可判断A，根据数量积的坐标运算计算即可判断C；根据焦点三角形的面积公式可得的最大面积，从而判断B；根据椭圆的定义确定周长取最值的情况即可判断D. 【详解】对于A，由题知，，则， 设，则， 则，故A正确； 对于B，因为，所以当点为短轴端点时，的面积最大， 最大值为，故B正确； 对于C，设，则， 又， 则，故C错误； 对于D，由椭圆定义可知，， 所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，故D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且互不相等，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别利用等差数列的基本公式以及性质计算每一个选项即可； 【详解】选项A,若，得，所以，故选项A正确； 选项B，若且互不相等，易知，故选项B正确； 选项C，若，则，此时，故选项C错误； 选项D，若，易知， 所以 所以，故选项D正确. 故选：ABD 10. 样本数据28、30、32、36、36、42的（ ） A. 极差为14 B. 平均数为34 C. 上四分位数为36 D. 方差为20 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用极差，平均数，百分位数，以及方差的定义，计算数据即可判断． 【详解】极差为，故A正确； 平均数为，故B正确； 因为，所以样本数据的上四分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C正确； 方差 ，故D错误． 故选：ABC. 11. 我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》的章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为θ．则当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线．则在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列选项正确的是（ ） A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为直线 B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C. 若，则点P的轨迹为抛物线 D. 若，则点P的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆锥曲线的定义及题干截面形状，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】对于A，如图，P到直线的距离与P到平面的距离相等， 又P在平面ABCD内，所以在平面ABCD内，P到C的距离与P到直线BC的距离相等， 又，∴P在直线CD上，故P的轨迹为直线，故A正确； 对于B，P到直线的距离与P到的距离之和等于4，由长方体的性质可知P到点的距离与P到的距离之和等于4， 即平面内，P到C的距离与P到A的距离之和等于，∴P的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，如图，根据长方体的性质知：与平面ABCD所成角的为， ∴时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面ABCD所截形成的曲线， 而，，则，即，故P的轨迹为椭圆，故C错误； 对于D，同C分析：时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面ABCD所截形成的曲线， 而，即，故P的轨迹为双曲线，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设两交点坐标，由线段被平分，得到两点坐标的关系，由直线方程得到方程组，解得点坐标，由点斜式写出直线方程. 【详解】设， ∵为中点，∴， ∴，∴， 解得， ∴，即. 故答案为： 13. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质和前项和公式，得，，再利用等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，所以，， 又由，，得，即，解得 故答案为：. 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线的距离，建立关于的齐次式，即可求出离心率. 【详解】如图，以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线交于两点， ，，所以， 点到直线的距离为， 可得，， 所以，可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 由，得，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列的定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，则， ， 于是， 两式相减得 ， 所以. 16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，， 故二面角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【小问1详解】 由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 . ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 18. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且． （1）求C的方程； （2）若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称性，确定抛物线过的点求出C的方程. （2）设出点的坐标及切线方程，再联立切线与抛物线方程求出切点的坐标，进而求出直线过的定点即得. 【小问1详解】 依题意，由抛物线的对称性知，点关于x轴对称，由，得， 不妨令点在第一象限，则，设抛物线C的方程为，即有，解得， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线C：的准线方程为，设点， 显然切线不垂直于坐标轴，设切线方程为， 由消去x并整理得①，于是， 设方程的一个根为，则该方程的另一根为， 不妨令切线的方程为，方程①中取得点的纵坐标为，其横坐标为，即点， 同理得，当时，直线方程为，整理得， 当或时，直线方程为，因此直线过定点，为定值， 所以当时，点O到直线AB的距离取得最大值1. 【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，可探求出这两个动点坐标，求出直线方程，即可推理计算解决问题. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且. （1）求的方程. （2）设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是定点，定点为 【解析】 【分析】（1）根据向量运算可推导得到，得到；根据椭圆定义和关系可求得方程； （2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；求得坐标后，利用韦达定理化简纵坐标之和可得定值，由此可得中点为定点. 【小问1详解】 ，， 整理可得：，， ，，解得：，， 椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由（1）可得：，则直线的斜率存在，可设，， 由得：， ，，， 直线过点，， 直线方程为：，令得：，即； 同理可得：； ， 线段的中点为定点. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用坐标表示法表示出所求量，代入韦达定理可整理得到所求定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临汾一中2025-2026学年度第一学期高二年级周测试题（十二）数学试题（卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表： 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ） A. 0个 B. 至多有一个 C. 1个 D. 2个 6. 已知函数中，则（ ） A. 的最大值为2 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在上单调递减 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，错误的命题是（ ） A. B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且互不相等，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 样本数据28、30、32、36、36、42的（ ） A. 极差为14 B. 平均数为34 C. 上四分位数为36 D. 方差为20 11. 我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》的章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．实际上，设圆锥母线与轴所成角为，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为θ．则当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线．则在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列选项正确的是（ ） A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为直线 B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C. 若，则点P的轨迹为抛物线 D. 若，则点P的轨迹为双曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为______． 13. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是______ 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且． （1）求C的方程； （2）若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值． 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且. （1）求的方程. （2）设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $