模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）（综合训练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，集合， 所以. 故选：C 2．关于的不等式“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，即， 即，解得， 所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：C． 3．（2025·四川资阳·一模）下列命题中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A：因为，所以，又，所以，故A正确； 对于B：因为，，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，所以， 所以，故C正确 对于D：当时，故D错误. 故选：D 4．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 5．若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 6．若两个正实数满足，且方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．. B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因为，， 则， 当且仅当（即）时等号成立，将其代入解得， 若方程有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故选：D 7．若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原不等式等价于， 由题意，知，解得. 又原不等式的解集为，且， 则为原不等式的整数解，所以，解得所以实数的取值范围为. 方法二：对于不等式， 当时，，不成立，所以0不是不等式的整数解； 当时，. 令，则在上均单调递增，其简图如下： 当时，，所以；当,且取整数时，，所以； 所以不等式的整数解是,即不等式解集中恰有3个整数解是，所以，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8．在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若复数，满足，则 B．若，，则 C．若复数，，满足，则或 D．若复数满足，，则最大值为3 【答案】CD 【详解】对于B项，复数不能直接比较大小，故B错误； 对于A项，显然若，，则， 但，故A错误； 对于C，不妨设， 则有，两等式同时平方作差得，则， 所以，则或，故C正确； 对于D，设， 则，故D正确. 故选：CD 10．已知x是实数，则使得成立的一个充分不必要条件有（   ） A．，或，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】BD 【详解】， ， ，即， 上式等价于，解得，或，或， 即等价于，或，或. 对于A，，或，或是得充要条件，故A错误； 对于B，，或是 的充分不必要条件，故B正确； 对于C，，或是的必要不充分条件，故C错误； 对于D，，或是的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 11．（2025·海南·一模）已知关于的不等式（）的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【详解】由关于的不等式的解集为， 得，且是方程的二根， 则，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，则，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，而，因此上述等号不能取到，D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“”的否定是 ． 【答案】 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是“”. 故答案为： 13．（2025·湖南·一模）若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】当时，， 因为函数的图象与轴正半轴相交， 所以，即， 则是“”的必要不充分条件， 即是的真子集， 所以. 故答案为：. 14．已知全集，是质数，，，，求 . 【答案】 【详解】因为，是质数， 已知，这表示19和17属于，但不属于. 已知，这表示11和7属于，但不属于. 已知，根据德摩根定律， 即，所以， 这表示5和3既不属于也不属于. 由上述分析可知，19和17不属于，11和7属于，5和3不属于. 那么剩下的元素2、13需要进一步分析. 因为，，， 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 若，，则，则，矛盾； 若，，则，，则，，矛盾； 若，，则，，则，，符合题意； 综上可得，； 综上，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知全集，集合，集合是函数的定义域，且为非空集合． (1)分别求，． (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【详解】（1）由得， 则，， 2分 所以，或， 4分 所以或. 6分 （2）若是的必要不充分条件，所以⫋， 8分 且为非空集合， 所以，所以解得， 所以的取值范围为. 13分 16．（15分）已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【详解】（1）由题意得， 2分 ， 4分 所以，则； 7分 （2）设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 11分 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 15分 17．（15分）已知． (1)若命题为真命题，求的范围； (2)解关于的不等式， (3)若关于的不等式有且仅有2个整数解，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为命题为真命题， 即为真命题， 当时，恒成立； 2分 当时，则，解得； 综上可得实数的取值范围为. 4分 （2）关于的不等式，即， 即； 当时，解得； 当时，解得； 6分 当时，不等式，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 综上可得：当时不等式的解集为； 9分 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为 11分 （3）因为关于的不等式有且仅有2个整数解， 由（2）可得，且此时不等式的解集为； 此时不等式的整数解应为和， 则，解得，即实数的取值范围为. 13分 当时不等式的解集中含有无数个整数解，不符合题意； 综上可得实数的取值范围为. 15分 18．（17分）如图，已知矩形ABCD（）的周长为26cm，点E是边CD上的一点且，把四边形ABCD沿AE折叠使得线段与线段CD交于点M（与端点不重合）. (1)证明：的周长为定值； (2)求面积的最大值. 【详解】（1）过作于点，故四边形为矩形，故， 又，所以， 又，故，进而， 3分 所以， 故的周长为定值12，得证. 7分 （2）设，所以，又， 所以，化简得， 由于，当且仅当时取到等号， 故，当且仅当时取到等号， 11分 ，即，解得或， 由于且，故，所以， 故，故，因此不符合题意，舍去， 故，当且仅当时取到等号， 14分 故， 的面积的最大值为. 17分 19．（17分）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，写出集合，. (2)若集合，，且，求证：. (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【详解】（1）因为，，，，，， 所以由题中定义可得，. 4分 （2）证明：取，则且0为集合中的最小元素， 又，所以，且为中的最大元素.     因为， 所以且，     而，，均为中元素且非零，故，， 即，，         所以. 9分 （3）设，其中，，不妨设， 则， 所以.             11分 因为，所以.     又因为，所以，         因为中最小的元素为0，最大的元素为，，         所以，，     实际上当时满足题意. 14分 证明如下： 设，， 则，.     因为，所以，解得， 故的最小值为169，于是当时，中元素最多， 即时满足题意.         综上所述，集合中元素个数的最大值为338，即的最大值为338. 17分 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．关于的不等式“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·四川资阳·一模）下列命题中错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 5．若“”是假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若两个正实数满足，且方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．. B．或 C． D．或 7．若关于的不等式的解集中恰好有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若复数，满足，则 B．若，，则 C．若复数，，满足，则或 D．若复数满足，，则最大值为3 10．已知x是实数，则使得成立的一个充分不必要条件有（   ） A．，或，或 B．，或 C．，或 D．，或 11．（2025·海南·一模）已知关于的不等式（）的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“”的否定是 ． 13．（2025·湖南·一模）若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 14．已知全集，是质数，，，，求 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知全集，集合，集合是函数的定义域，且为非空集合． (1)分别求，． (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16．（15分）已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 17．（15分）已知． (1)若命题为真命题，求的范围； (2)解关于的不等式， (3)若关于的不等式有且仅有2个整数解，求实数的取值范围． 18．（17分）如图，已知矩形ABCD（）的周长为26cm，点E是边CD上的一点且，把四边形ABCD沿AE折叠使得线段与线段CD交于点M（与端点不重合）. (1)证明：的周长为定值； (2)求面积的最大值. 19．（17分）已知集合为非空数集，定义：，. (1)若集合，写出集合，. (2)若集合，，且，求证：. (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $