2025-2026学年北师大版九年级数学上册 期末考试模拟题

2025-2026北师大版九年级数学秋学期期末考试模拟题 一．选择题（共10小题） 1．27的立方根是（　　） A．3 B．±3 C． D． 2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004米，将0.00000004用科学记数法表示为（　　） A．4×108 B．4×10﹣8 C．﹣0.4×108 D．0.4×10﹣8 3．下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．（a+3b）2＝a2+9b2 C．2a4÷a2＝2a2 D．2a2+3a2＝5a4 4．下列说法正确的是（　　） A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣9 B． C． D．9 6．若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱MN垂直于地面，点M是AB的中点，MN＝0.45m，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（　　） A．0.8m B．0.9m C．1.1m D．1.2m 8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则弧BC的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．分解因式：xy3﹣x3y＝　 　 ． 12．如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为　 　 ． 13．使式子有意义的x的取值范围是 　 　 ． 14．如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为　 　 ． 15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边上的BC长为4，则等腰三角形ABC底边中线的长度为　 　 ． 16．如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 　 　 ． 三．解答题（共12小题） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．先化简，再求值：，其中x＝2． 20．欧几里德是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，⊙O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接OP，分别以点O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，在OP上方交于点M，在OP下方交于点N，连接MN，交OP于点A； ②以点A为圆心，以AO长为半径作⊙A，与⊙O交于两点Q和R； ③连接PQ，PR，则PQ，PR是⊙O的切线． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 21．圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB的长）为11.3米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即∠CBD）为35°34′，夏至正午太阳高度角（即∠CAD）为82°26′，结果保留整数． 参考数据 sin35°34′≈0.58，cos35°34′≈0.81，tan35°34′≈0.72，sin82°26′≈0.99，cos82°26′≈0.13，tan82°26′≈7.52 22．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》采用“1+4”布局模式，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．在观看了春晚后，小宇和哥哥小姜两人分别想去其中一个地方旅游，于是小姜设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定去哪旅游．游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放4个大小、质地完全相同的乒乓球，在这4个乒乓球上分别写上A（西安），B（长沙），C（喀什），D（沈阳），搅匀后，小宇从箱子里随机摸出一个乒乓球，放回，再次搅匀后，小姜随机摸出第二个乒乓球，如果字母相同，则去这个字母表示的地方旅游，如果字母不同，则两人继续重新摸． （1）求小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的概率； （2）请用列表或画树状图的方法求去西安旅游的概率． 23．新学期，某校开设了“防漏水宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　 　 名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　 　 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数有多少人？ 24．农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． （1）甲、乙两个礼品的进价是多少元？ （2）为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 25．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0，m，n是常数）与反比例函数y（k≠0）在第二象限的图象交于点A（﹣1，a），B两点，与x轴、y轴分别交于点C、点D，且OC＝OD＝3． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OA，求△AOC的面积． 26．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 27．【模型建立】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，当点E在BC边上，F在CD边上，∠EAF＝45°时，用等式写出BE，DF与EF之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，其他条件与（1）相同．用等式写出BE，DF与EF之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若BD＝2，EC＝4，求DE的长． 28．如图1，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），顶点为C，D是线段AB上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交AC于点E，交抛物线于点F. （1）求抛物线的表达式； （2）当DE＝3EF时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持AD＝BG，连接CD，CG，求CD+CG的最小值． 2025-2026北师大版九年级秋学期期末考试模拟题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C C B A B C 一．选择题（共10小题） 1．27的立方根是（　　） A．3 B．±3 C． D． 【分析】根据立方根的定义即可得出答案． 【解答】解：∵33＝27， ∴27的立方根是3， 故选：A． 【点评】本题考查立方根的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004米，将0.00000004用科学记数法表示为（　　） A．4×108 B．4×10﹣8 C．﹣0.4×108 D．0.4×10﹣8 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000004＝4×10﹣8． 故选：B． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．（a+3b）2＝a2+9b2 C．2a4÷a2＝2a2 D．2a2+3a2＝5a4 【分析】据此相关运算法则进行逐个分析，即可作答． 【解答】解：A、a3•a3＝a6≠a9，原计算错误，不符合题意； B、（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，原计算错误，不符合题意； C、2a4÷a2＝2a2，原计算正确，符合题意； D、2a2+3a2＝5a2≠5a4，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂相乘、单项式除以单项式、合并同类项，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 4．下列说法正确的是（　　） A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件 B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件 D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 【分析】逐项进行判断，得出答案即可． 【解答】解：“买l张彩票就中奖”的可能性很小，但有可能，因此选项A不符合题意； 概率再小，有可能发生，是可能事件，因此选项B不符合题意； 任意一个三角形的内角和都是180°，因此选项C是正确的， 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，可能是其它情况，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】考查随机事件、不可能事件，必然事件的意义，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣9 B． C． D．9 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m的等式，即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0， 解得m． 故选：C． 【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 6．若关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则直线y＝（k﹣2）x+1不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＞0，即Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＝﹣4k+8＞0，解得k＜2，可得k﹣2＜0，然后根据一次函数的性质得到直线直线y＝（k﹣2）x+1经过的象限． 【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＝﹣4k+8＞0， 解得k＜2． 则k﹣2＜0， 则直线y＝（k﹣2）x+1不经过第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质． 7．如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱MN垂直于地面，点M是AB的中点，MN＝0.45m，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是（　　） A．0.8m B．0.9m C．1.1m D．1.2m 【分析】过点B作BH⊥AB′于H，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：过点B作BH⊥AB′于H， ∵MN⊥AB′，M是AB的中点， ∴MN是△ABH的中位线， ∴BH＝2MN＝0.9（m）， 此时点A在地面上，小朋友离地面的距离最大，最大值为0.9m， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺， ∴y＝x+4.5； ∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ∴y＝x﹣1． ∴所列方程组为． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝2，则弧BC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由圆内接四边形对角互补得到求出∠ABC＝60°，再证明△BOC是等边三角形，得到OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°，再根据弧长公式进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OC， ∵ABCD是圆内接四边形，且∠ADC＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵OB＝OC， ∴OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°， ∴的长为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是关键． 10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解． 【解答】解：由题意可得BQ＝x． ①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x， 则△BPQ的面积BP•BQ， 解y•3x•xx2；故A选项错误； ②1＜x≤2时，P点在CD边上， 则△BPQ的面积BQ•BC， 解y•x•3x；故B选项错误； ③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x， 则△BPQ的面积AP•BQ， 解y•（9﹣3x）•xxx2；故D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．分解因式：xy3﹣x3y＝xy（y+x）（y﹣x）　 ． 【分析】先提公因式xy，再运用平方差公式分解即可． 【解答】解：xy3﹣x3y ＝xy（y2﹣x2） ＝xy（y+x）（y﹣x）． 故答案为：xy（y+x）（y﹣x）． 【点评】本题考查提公因式与公式法综合运用分解因式，熟练掌握用提公因式与公式法分解因式是解题的关键，注意分解因式要彻底． 12．如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为　6cm ． 【分析】根据题意画出图形，求出中心角的度数，再根据等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，CD＝6cm， ∴∠COD60°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝CD＝6cm． 【点评】本题考查的是正多边形的性质，根据题意画出图形求出中心角是解答此题的关键． 13．使式子有意义的x的取值范围是 x＞2　 ． 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2＞0， 解得x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键． 14．如图，⊙P的半径为2，圆心P在函数（x＞0）的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为　（3，2）　 ． 【分析】⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标是2，把y＝2代入函数解析式，得到x＝3，因而点P的坐标是（3，2）． 【解答】解：根据题意可知，把y＝2代入得：x＝3， ∴点P的坐标是（3，2）． 【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，切线垂直于过切点的半径． 15．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边上的BC长为4，则等腰三角形ABC底边中线的长度为　2　 ． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时，当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长BC是腰长AB的2倍时， ∵底边BC的长为4， ∴腰长AB＝AC＝2， ∵2+2＝4， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长AB是底边长BC的2倍时， ∵底边BC的长为4， ∴腰长AB＝AC＝8， ∴等腰三角形ABC底边中线的长度为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键． 16．如图所示，点A1，A2，A3在x轴上且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1，A2，A3作y轴的平行线与反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象分别交于点B1，B2，B3，分别过点B1，B2，B3作x轴的平行线分别与y轴交于点C1，C2，C3，连接OB1，OB2，OB3，那么图中阴影部分的面积之和为 　　 ． 【分析】先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|，得到S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3k，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和． 【解答】解：根据题意可知S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3k， ∵OA1＝A1A2＝A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3 则s1k， ∵OA1＝A1A2＝A2A3， ∴s2：S△OB2C2＝1：4，s3：S△OB3C3＝1：9， ∴图中阴影部分的面积分别是s1，s2，s3， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的|k|． 三．解答题（共12小题） 17．计算：． 【分析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果． 【解答】解： ＝3． 【点评】本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．解不等式组：． 【分析】解组中各不等式，再借助数轴或口诀确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解①，得x； 解②，得x≤1． ∴原不等式组的解集为x≤1． 【点评】本题考查了不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键． 19．先化简，再求值：，其中x＝2． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝2代入进行计算即可． 【解答】解：原式• ， 当x＝2时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 20．欧几里德是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，⊙O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接OP，分别以点O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，在OP上方交于点M，在OP下方交于点N，连接MN，交OP于点A； ②以点A为圆心，以AO长为半径作⊙A，与⊙O交于两点Q和R； ③连接PQ，PR，则PQ，PR是⊙O的切线． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【分析】根据要求作出图形即可． 【解答】解：如解图，PQ，PR即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，切线的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 21．圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB的长）为11.3米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即∠CBD）为35°34′，夏至正午太阳高度角（即∠CAD）为82°26′，结果保留整数． 参考数据 sin35°34′≈0.58，cos35°34′≈0.81，tan35°34′≈0.72，sin82°26′≈0.99，cos82°26′≈0.13，tan82°26′≈7.52 【分析】设AD＝xm，根据三角函数求出x的值，再得出CD的长． 【解答】解：设AD＝xm， ∵AB＝11.3m， ∴BD＝AD+AB＝x+11.3（m）， 在Rt△ADC中，∠CAD＝82°26'， ∴CD＝AD•tan82°26'≈7.52x（m）， 在Rt△CDB中，∠CBD＝35°34'， ∴， 解得 x≈1.2， 经检验，x＝1.2是原方程的解，且符合题意． ∴CD＝7.52x＝7.52×1.2≈9（m）， 答：损坏的“表”原来的高度（即CD的长）约为9米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 22．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》采用“1+4”布局模式，辽宁沈阳、湖南长沙、陕西西安、新疆喀什四地与北京主会场一起，在除夕之夜为全球华人带来一台情意浓浓、热气腾腾的龙年春晚．在观看了春晚后，小宇和哥哥小姜两人分别想去其中一个地方旅游，于是小姜设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定去哪旅游．游戏规则如下：在一个不透明的箱子里放4个大小、质地完全相同的乒乓球，在这4个乒乓球上分别写上A（西安），B（长沙），C（喀什），D（沈阳），搅匀后，小宇从箱子里随机摸出一个乒乓球，放回，再次搅匀后，小姜随机摸出第二个乒乓球，如果字母相同，则去这个字母表示的地方旅游，如果字母不同，则两人继续重新摸． （1）求小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的概率； （2）请用列表或画树状图的方法求去西安旅游的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及去西安旅游的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的结果有1种， ∴小宇第一次摸出的乒乓球代表喀什的概率为． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中去西安旅游的结果有：（A，A），共1种， ∴去西安旅游的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．新学期，某校开设了“防漏水宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　40　 名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　54°　 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数有多少人？ 【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽样调查的总人数； （2）先求出A等级百分比，再乘360°即可得圆心角；再求C等级的人数，再补全统计图即可； （3）总人数乘以样本中A级人数所占比例即可． 【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%＝40（名）， 故答案为：40； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是360°54°， C级人数为40×35%＝14（名）， 补全图形如下： （3）50075（人）， 答：估计优秀的人数有75人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． （1）甲、乙两个礼品的进价是多少元？ （2）为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 【分析】（1）设乙礼品的进价是x元，则甲礼品的进价为（x+4）元，根据题意列出分式方程，进而得出答案； （2）设购进甲礼品a个，则购进乙礼品（200﹣a）个，根据题意列出分式方程，进而得出答案． 【解答】解：（1）设乙礼品的进价是x元，则甲礼品的进价为（x+4）元， 2， 解得：x＝40， 经检验：x＝40是原分式方程的解， x+4＝44， 答：甲、乙两个礼品的进价分别是44元、40元． （3）设购进甲礼品a个，则购进乙礼品（200﹣a）个， （70﹣44）×a+（60﹣40）×（200﹣a）≥4120， 解得：a≥20， 答：最少购进20个甲礼品． 【点评】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，找到等量关系和不等关系是解题的关键． 25．如图，一次函数y＝mx+n（m≠0，m，n是常数）与反比例函数y（k≠0）在第二象限的图象交于点A（﹣1，a），B两点，与x轴、y轴分别交于点C、点D，且OC＝OD＝3． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OA，求△AOC的面积． 【分析】（1）先根据C，D坐标求出一次函数解析式，再令x＝1求出A点坐标，从而求出反比例函数解析式； （2）根据三角形面积公式求面积即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n的图象与x轴、y轴分别交于点C，点D，OC＝OD＝3， ∴C（﹣3，0），D（0，3）， 把C，D坐标代入y＝mx+n得：， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，y＝2， ∴A（﹣1，2）， ∵点A是一次函数y＝x+3的图象与反比例函数数y（k≠0）的图象的交点， ∴k＝xy＝﹣1×2＝﹣2， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵A（﹣1，2）， ∴S△AOCOC×yA3×2＝3． 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点，关键是求出一次函数的解析式． 26．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线； （2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴CD⊥OC，CO为⊙O半径， ∴CD为⊙O的切线； （2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝6， 设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x， ∵⊙O的直径为10， ∴DF＝OC＝5， ∴AF＝5﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25， 化简得x2﹣11x+18＝0， 解得x1＝2，x2＝9． ∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去， ∴x＝2， 从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝6． 【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 27．【模型建立】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，当点E在BC边上，F在CD边上，∠EAF＝45°时，用等式写出BE，DF与EF之间的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，当点E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，其他条件与（1）相同．用等式写出BE，DF与EF之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若BD＝2，EC＝4，求DE的长． 【分析】（1）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′＝∠EAF＝45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝EF′，从而得解； （2）证明方法类似（1）； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，根据全等三角形的性质、勾股定理计算． 【解答】解：（1）结论：EF＝BE+DF． 理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF′＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF＝EF′， ∵EF′＝BE+BF′＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）结论：EF＝BE﹣DF． 理由：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，连接AE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF′＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF＝EF′， ∵EF′＝BE﹣BF′＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'， ∴∠BAD＝∠D'AC， ∵∠EAD＝45°， ∴∠EAD′＝∠EAD＝45°， 在△AED和△AED'中， ， ∴△AED≌AED'（SAS）， ∴DE＝D'E． ∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°， ∴∠ECD'＝90°， 在Rt△ECD'中，CD′＝BD＝2，EC＝4， ∴D′E2， ∴DE＝2． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．如图1，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），顶点为C，D是线段AB上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交AC于点E，交抛物线于点F. （1）求抛物线的表达式； （2）当DE＝3EF时，求点D的坐标； （3）如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持AD＝BG，连接CD，CG，求CD+CG的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求直线AC的解析式，设EF＝t，则DE＝3t，然后求出xE＝3t﹣2，即可得到点E和F的坐标，利用点F在抛物线上得到方程解题即可； （3）利用勾股定理的逆定理判断△ABC是等腰直角三角形，然后过点B作BC′∥AC，使BC′＝AC，连接CC′，C′G，则有△ADC≌△BGC′，则可得到当C′，G，C三点共线时，C′G+CG取得最小值C′C，然后解题即可． 【解答】解：（1）∵抛物线 过点 A（﹣2，0），B（4，0）， ， 解得 ， ∴； （2）设EF＝t，则DE＝3t， 由，得 C（1，﹣3）， 设直线AC的表达式为y＝kx+m， 将点A（﹣2，0），C（1，﹣3）代入y＝kx+m， 得 ， 解得 ， ∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣2， ∵点E在直线AC上， ∴﹣3t＝﹣xE﹣2， ∴xE＝3t﹣2， ∴E（3t﹣2，﹣3t），F（3t﹣2，﹣4t）， 将 F（3t﹣2，﹣4t）代入， 解得 （不合适的值已舍去）， ∴3t﹣2＝0， ∴D（0，0）； （3）如解图，连接BC， ∵A（﹣2，0），c（1，﹣3），B（4，0）， ∴，， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC， 过点B作BC′∥AC，使BC′＝AC，连接CC′，C′G， ∴∠C′BA＝∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵BG＝AD， ∴△ADC≌△BGC′（SAS）， ∴CD＝C′G， ∴CD+CG＝C′G+CG， 要使CD+CG的值最小，则C′G+CG的值最小，当C′，G，C三点共时，C′G+CG取得最小值C′C， 又∵∠C′BC＝∠C′BA+∠CBA＝90°，BC′＝BC， ∴△C′BC是等腰直角三角形， ∴， ∴CD+CG的最小值为6． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、勾股定理的逆定理．掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $