第十七章因式分解单元复习 课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学因式分解单元复习课件系统梳理了因式分解的概念、提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法及分解步骤，通过思维导图将知识点串联成网，知识讲解分点细化概念与方法，清晰呈现知识内在逻辑与联系。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，如通过整体思想分解(m+n)²-14(m+n)+49，结合分组分解法例题培养抽象能力与推理意识，单元检测含新定义题提升应用意识，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

第十七章 因式分解 单元复习 1 1 2 3 目 录 CONTENTS 思维导图 知识讲解 单元检测 2 01 思维导图 3 思维导图 乘积　 (a＋b)(a－b)　 (a±b)2 4 知识讲解 02 5 知识点1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个 ⁠ 的 ⁠的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 整式 乘积 6 例1、下列各式从左到右，属于因式分解的是（　B　） A． 2a(m＋n)＝2am＋2an B． a2－b2＝(a－b)(a＋b) C． m(a＋b＋c)＝am＋bm＋cm D． x2＋6x＋16＝x(x＋6)＋16 B 7 多项式中各项都有的公共的 ⁠叫作这个多项式各项的公因式． 因式 知识点2 公因式 8 　例1、填空： (1)多项式6m2－8m3的公因式是 ⁠； 　 (2)多项式3x2y2－12x2y4－6x3y3的公因式是 ⁠； 　 (3)多项式2x(a－5)－y(5－a)的公因式是 ⁠． 2m2 3x2y2 a－5或5－a 9 知识点3 提公因式法进行简单的因式分解 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 10 例1、分解因式： 　　(1)m2－m; (2)ab2－3a2b＋b. 　　(1)解：原式＝m·m－m·1 ＝m(m－1)． 　　(2)解：原式＝b·ab－b·3a2＋b·1 　　＝b(ab－3a2＋1)． 11 例2、分解因式： 　　(1)2xy(a－2)3－2y(2－a)3； 　　解：原式＝2y(a－2)3·x＋2y(a－2)3·1 　　＝2y(a－2)3(x＋1)． 　　(2)a2(6b－3)＋a(3－6b)． 　　解：原式＝a2(6b－3)－a(6b－3) 　　＝3a(2b－1)·a－3a(2b－1)·1 　　＝3a(2b－1)(a－1)． 12 　知识点4 直接运用平方差公式进行因式分解 　 ＝(a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． a2－b2 13 例1、分解因式： 　　 (1)x2－4＝( )2－( )2＝ ⁠； (2)9m2－1＝( )2－( )2＝ ⁠； (3)－a2＋9＝( )2－( )2＝ ⁠. x 2 (x＋2)(x－2) 3m 1 (3m＋1)(3m－1) 3 a (3＋a)(3－a) 14 　　例2、分解因式： 　　(1) a2－4b2； (2)－25n2＋m2； (3)81a2－49b4. 　　解： (1) 原式＝ －(2b)2＝( a+2b)( a-2b). 　　 (2) 原式＝m2－(5n)2＝(m＋5n)(m－5n)． 　　 (3)原式＝(9a)2－(7b2)2＝(9a＋7b2)(9a－7b2)． 15 　例3、分解因式：(2x＋y)2－(x＋2y)2. 　　解：原式＝[(2x＋y)＋(x＋2y)][(2x＋y)－(x＋2y)] 　　 ＝(2x＋y＋x＋2y)(2x＋y－x－2y) 　　 ＝(3x＋3y)(x－y) ＝3(x＋y)(x－y)． 16 ＝(a＋b)2， ＝(a－b)2，即 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式． a2＋2ab＋b2 a2－2ab＋b2 知识点5 直接运用完全平方公式进行因式分解 17 例1、下列多项式：①x2－4x＋4；②x2－2x－1； ③4x2－2x＋1；④x2＋x＋ ，其中是完全平方式的有 ．(填序号) ①④ 18 　例2、分解因式： 　　(1)x2＋2x＋1＝x2＋2·x·1＋12＝ ⁠； 　　(2)49x2－28x＋4＝( )2－2· · ＋( )2 ＝ ⁠； 　　(3)4x2－12xy＋9y2＝ ． (x＋1)2 7x 7x 2 2 (7x－2)2 (2x－3y)2 19 　例3、分解因式： 　　(1)(整体思想)(m＋n)2－14(m＋n)＋49； 　　(1)解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·7＋72 　　 ＝(m＋n－7)2. 　　(2)－6y－y2－9. 　　(2)解：原式＝－(y2＋6y＋32) 　　 ＝－(y＋3)2. 　　 20 例4、分解因式： 　　(1)m4－n4; (2)(x2＋y2)2－4x2y2. 　　(1)解：原式＝(m2＋n2)(m2－n2) 　　 ＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n)． 　　(2)解：原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy) 　　 ＝(x＋y)2(x－y)2. 21 　　(3)4ax2＋8axy＋4ay2； 　　解：原式＝4a(x2＋2xy＋y2) 　　 ＝4a(x＋y)2. 　　(4)－4x3＋4x2y－xy2. 　　解：原式＝－x(4x2－4xy＋y2) 　　 ＝－x(2x－y)2. 22 知识点6 十字相乘法： 方法：首尾分解，交叉相乘再相加要等于中间项，成功之后横着写． 23 　1. x2＋(p＋q)x＋pq型多项式的因式分解 　例1、分解因式： 　　(1)x2＋7x＋10; (2)x2－8x＋12； (3)x2－x－6; (4)x2＋2x－8. 　　解：(1)原式＝(x＋2)(x＋5)． 　　 (2)原式＝(x－6)(x－2)． 　　 (3) 原式＝(x＋2)(x－3)． 　　 (4) 原式＝(x＋4)(x－2)． 24 　　2. x2＋(p＋q)xy＋pqy2型多项式的因式分解 　　 例2、分解因式： (1)x2－2xy－8y2 ；(2) x2－5xy－6y2. 　　解： (1)原式＝(x－4y)(x＋2y)． 　　 (2)原式＝(x－6y)(x＋y)． 25 　　3. ax2＋bx＋c(a≠1)型多项式的因式分解 　　 例3、分解因式： (1)2x2－3x＋1; (2)2x2－5x－3. 　　解： (1)原式＝(x－1)(2x－1)． 　　 (2)原式＝(2x＋1)(x－3)． 26 　　4. 先提公因式，再用十字相乘法因式分解 　　 例4、分解因式： ： (1)2x2＋6x－36； (2) －3x2＋3xy＋6y2. 　　解： (1)原式＝2(x2＋3x－18) 　　 ＝2(x－3)(x＋6) ； 　　 (2)原式＝－3(x2－xy－2y2) 　　 ＝－3(x＋y)(x－2y)． 　　 27 单元检测 03 28 1． 下列从左到右的变形属于因式分解的是（　B　） A． a(b＋c)＝ab＋ac B． x2－y2＝(x＋y)(x－y) C． 4m2b＝2m2·2b D． m2－1＋x＝(m＋1)(m－1)＋x B 一、选择题 29 2．8x2y3z－6xy2z2＋12xy3z分解因式时，应提取的公因式 是（　B　） B A． 4x2y2z B． 2xy2z C． 6xy D． 2 30 3． 下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（　D　） A． x2＋4y2 B． x2＋4xy＋4y2 C． x2－4y D． x2－4y2 D 31 4． 给出下列式子：①－x2－xy－y2；② a2－ab＋ b2； ③－4ab2－a2＋4b4；④4x2＋9y2－12xy；⑤3x2＋6xy＋3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有（　C　） C A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 32 5．若a＝4＋b，ab＝3，则－a3b＋2a2b2－ab3的值为（　A） A A．－48 B． －12 C． －36 D． 12 33 　6．分解因式：2x2－6xy＝ ⁠． 　7．若多项式x2＋mx＋12因式分解得(x＋3)·(x＋n)，则m＋n＝ ⁠． 　8．已知4a2＋12ab＋m是一个完全平方式，则m的值为 ⁠． 　9．如果(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，那么x2－y2的值为 ⁠ ⁠． 　10．已知一个长方形的长与宽分别为a，b.若其周长为20，面积 为6，则a3b＋2a2b2＋ab3＝ ⁠． 2x(x－3y) 11 9b2 －15 600 二、填空题 34 三、解答题 　　11． 因式分解： 　　(1)4x3y－8x2y2＋4xy3；(2)9a2(x－y)＋4b2(y－x)． 　　解：(1)原式＝4xy(x2－2xy＋y2) 　　 ＝4xy(x－y)2. 　　 (2)原式＝9a2(x－y)－4b2(x－y) 　　 ＝(x－y)·(9a2－4b2) 　　 ＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b)． 35 　　12． (新定义)若一个正整数a可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52，…，我们则称形如8，16，24这样的正整数a为“奇特数”． 　　(1)请写出最小的三位数的“奇特数”是 ⁠，将它表示成连续的两个奇数的平方差的形式为 ⁠； 104 104＝272－252 36 　　(2)求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数． 证明：设连续的两个奇数分别为2k＋3，2k＋1(k＝0，1，2，…)． 　 ∴m＝(2k＋3)2－(2k＋1)2 ＝(2k＋3＋2k＋1)(2k＋3－2k－1) ＝2(4k＋4)＝8(k＋1)． 　　∴任意一个“奇特数”都是8的倍数． 37 　　13． 【阅读理解】分解因式：x2－4y2－2x＋4y. 　　细心观察上面这个式子就会发现，前两项满足平方差公式的应用条件，后两项可提取公因式，前两项和后两项分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)． 　　这种分解因式的方法叫作分组分解法． 　　请利用这种方法解决下列问题： 38 　　(1)分解因式：x2－y2－x－y； 　　解：(1)原式＝(x＋y)(x－y)－(x＋y) 　　 ＝(x＋y)(x－y－1)． 39 (2)△ABC的三边长a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 　　(2)∵a2－ab－ac＋bc＝0， 　　∴a(a－b)－c(a－b)＝0. 　　∴(a－b)(a－c)＝0. 　　∴a－b＝0或a－c＝0. 　　∴a＝b或a＝c. 　　∴△ABC是等腰三角形． 40 谢谢观看 41 $