湖北省十一校2026届高三上学期12月质量检测数学试题

数学试题 （试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 5. 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.定每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，唃选错的得0分. 9. 已知函数，关于函数下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 10. 若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（ ） A. B. ，使得 C. D. 对任意均有 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 14. 已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为锐角三个内角的对边，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的取值范围. 16. 在三棱柱中，，为的三等分点，侧面为正方形，，. （1）证明：平面平面； （2）证明：平面； （3）正方形边长为，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 18. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点.记动点轨迹为曲线. （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与曲线相交于两点，与圆相切于点，若为中点，求的纵坐标取值范围； （3）过点作圆（圆在曲线内部）的两条切线分别交于曲线于两点（异于点），探究直线是否过定点. 19. 定义：表示不超过的最大整数，如.已知函数，，其中. （1）讨论在上零点的个数； （2）已知函数. （i）写出定义域，若，恒有，求的取值范围； （ii），当时，有，证明：. 数学试题 （试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.定每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，唃选错的得0分. 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明如下： 由四边形是正方形，可知， 又，，平面，则平面. 而平面，故平面平面. （2）证明如下： 因为，，，平面， 则平面， 而平面，则. 由（1）知，平面平面，平面平面，平面，且， 故平面. （3） 【17题答案】 【答案】（1）150元 （2）（i），；（ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）直线恒过点 【19题答案】 【答案】（1） 当时，只有一个零点； 当时，没有零点， 当时，共两个零点. （2）（i）； （ii）证明如下： 因为，当，有， 所以在不能是递减的， 令，可得，所以在上递减， 所以，即当时，， 假设，可得，由（1）知，在为减函数，在上为增函数， 又由， 令，可得 再令，可得，所以单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即当时， 所以，所以在上有两个不同的零点， 设较小的零点为，则且， 若，则， 取，则， 又因为，即 故，这与题设矛盾； 若，则，故， 取，则， 因为，即， 故，这与题设矛盾， 综上可得，当时，假设不成立，又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $