重庆市大一联盟（稳昇高教育)2026届高三上学期12月联考数学试题

稳昇高教育高2026届12月联合质量检视 数学参考答案及解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知A={a-3,a},B={-2,-1,1,2},若-2∈A,则A∩B=() A.{-1,2} B.{-2,1} C.{-1,1} D.{-2,2 【答案】B 【详解】由题意可得-2=a-3,解得a=1,则A={-2,1},故A∩B={-2,1}.故选：B. 2.已知直线m,平面&，B,m￠a,a⊥B,则“m⊥B”是“m/1o的( A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由己知m￠a,a⊥B,则LB可以证明m/1ax 1 而m文a,a⊥B,m/a不一定能够得到mLB,如图：在长方体中，平面 ABCD为平面B,平面AADD为平面，则m可以是BB,BC,CC等 所以在已知直线，平面a,B,m丈，⊥B条件下，“m⊥B”是m/1a”的充 分不必要条件 故选：B 3.已知复数二-1=(2-)i(i为虚数单位)，则z=（) A.人3动 B.1+3i C. 3-i D. 3+i 2 2 2 2 【答案】D 【详解】由思意：=+21-+201-）_1+21-i-2_3+ 故选：D 1+i(1+i)1-i)2 4.已知V3 sina=2cosa+ 则tan(o+x)=( A.-25 B.25 C.3 D.3 6 6 【答案】D 【详解】5sinu=2cosa+=cs-V5sna,则2V5 sina=cosa,故tanz 6 则ta(a+)=tam&- 故选：D 6 5.已知院义在R上的商西数f(a>0,则a-a-)的解集为《） A.{x-3<x<1}B.{x-1<x<3} C.{x|-3<x<-}D.{x1<x<3} 【答案】A 试卷解答第1页，共10页 【详解1西数f)=是奇局致，（动，即-生 :a4,即a=2,∴)=2-子为R上单递增的西数 ∴f(2x-1)<f(2-x2),则2x-1<2-x2→x2+2x-3<0,解得-3<x<1,故选：A. 6.已知正项等差数列{a,}中，4+4=8,42·4=4，若4+a。+a,+…+4n=200,则m=（) A.10 B.13 C.15 D.17 【答案】c [a+a4=8[g+4+3d=8 【详解】设等差数列的首项为a,公差为d,则由 44=a得a+da+2功=4+7a' a=1.「a=40 解得 d=2或d-24(舍)：a=1+m-1以2=2n-l,设数列a的前n项和为s.,则s,=心 故a4,+a。+a,+…+am=m2-52=200解得m=15,故选：C. 7.已知函数f(x)=1+V5sm2.x-2cos2x,将函数f(x)的图象向左平移亚个单位长度可得到函数g(x)的 图象，当x∈(0，)时，f(x)与g(x)的图像交于A,B两点，则川x4-x=() B.3 D. 2π 3 【答案】C 【详解】由题意得f()=V5sin2r-(2cos2x-1)=V5sin2x-c0s2x=2sim2x- 6/ g国-22r+7-21-2sm2x+写) 两个函数的周期均为T= 2π 三元 2 f()与8(w的图像交于AB两点，则2s2r君)-2n2x+智到 2x吾2x+骨+2水x或2x-君--2+1+2k,解得x= 242 六取k=01,x-上号 故选：C. 8.过点A(0,-1)作y=x2的切线l,切点为B,以AB为直径的圆与y轴交于另一点C,则C到I的距离 为() B. 25 C.1 D.35 5 【答案】B 试卷解答第2页，共10页 【详解】由题意知y=2x,设切点B为(x,x),所以切线方程为y-x后=2x,(x-x),代入 A(0,-1),解得：B为1,1)，或(-1,1)，两点关于y轴对称， 则AB=√5 切线为：y=2x-1或，：y=-2x-1,则以AB为直径的圆为(c- +减++月 均交y轴于C(0,),d=1+20+1_2W5 V22+15 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正实数，b,满足a+b=2,则() A.√a+Vb≤2 B.22+2≥4 C.al-bls1 D.a2+2b≥3 【答案】ABD 【详解】(a+Vb)'=a+b+2ad=2+2Wab≤2+a+b=4,当且仅当a=b=1时取等号，故A正确； 2”+2≥222=2.2学=2：=4：当且仅当a=b=1时取等号，故B正确； 由a+b=2,则a-|b1a+b=2,故C错误： 由b=2-a,.a2+22-a)=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3，故D成立： 10.已知四棱柱ABCD-AB,CD中，各棱长均为1，∠BAD=∠AAB=∠AAD,则() A.AC1⊥BD B.VA-BGD=VAAD-B8C C.若AC=2,则coS∠BAD= 6 D.若DLBD,则VA©=2 9 【答案】AC 【详解】由题意，四棱柱ABCD-ABCD底面为菱形，则AC⊥BD,AC为∠BAD平分线 ∠AAB=∠AAD=B,则A在平面ABCD的射影H在直线AC上，故AH⊥平面ABCD, ∴AH⊥BD, ∴，BD⊥面AACC1,AC⊥BD,故A正确： 由4BCD-ABCD为平行六面体，则y-Ac=2'A49a8cm 而-D=PGAe-0ae4一ag故B情误： AC1=AB+AD+AA,设∠BAD=∠AAB=∠AAD=B,则 试卷解答第3页，共10页 4C=AB+AD+A4+2AB.4D+2AB.4+2AD.44=3+6os6=2,解得c0s0=} 故C正确： 由BD⊥BD,则BDDB,为菱形，则BD=1,∠BAD=60°=∠BAA,∠BAC=30°， o∠4=o44CcwA4C,得}-g4c5-cw∠AC-SnA4C= 2 3 .AH=V6,V6 -ARCD=AB·ADsn60°AH=V2 2 由B选项：V4-G0=34S448©0 互，故D错误， 6 11.已知三次函数f(x)=x3+bx2+x+1,则下列说法正确的是() A.若b=0时，则f(x)为增函数 B.若b2>3a时，则f(x)有两个极值点 C.若b=-a时，当f(x)在x取极大值，则f(x)>1 D.若b=3a时，则f(x)图像关于(-1，a)中心对称 【答案】BC 【详解】由三次函数f(x),则a≠0 当b=0时，则f'(x)=3ax2+1,若a>0,f'(x)≥1，即f(x)为增函数成立；若a<0,f'(x)=0, 存在两个不等实数根，即∫(x)有三个单调区间；故A错误 由f'(x)=3ax2+2bx+1,由b2>3a,则△=4b2-12a>0,即f'(x)=0有两个不等实数根，故f(x) 有两个极值点，故B正确 由b=-a,则f'(x)=3ax2-2ax+1,由f(0)=1,f'(0)=1,则x=0位于递增区间， 当a<0,则f(x)=0得两根为x,x2,且x<0<x2,f(x)在(，x2)单调递增，则 0∈(，x2)f(x)=f(x2)>f(0)=1 当a>0时，若有极大值，则f'(x)=0得两根为，x2,且a>3,0<x<x2,则0∈(-0，x), 为f(x)增区间，则f(x)=f(x)>f(0)=1,故C成立 若b=3a时，则f(x)=ax3+3ax2+x+1,f'(x)=3ar2+6ax+1,f"(x)=6ar+6a=0得x=-1, ∴.f(1+x)+f(1-x)=4a,则图像关于(-1,2a)中心对称，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知a=1,√2)，b=(2,2W2),则a+b|= 【答案】35 试卷解答第4页，共10页 【详解】|ā+bV32+(3W2)2=√27=33 13.已知(~)是定义在R上的奇函数，对于任意的正实数x都有f1+)=2 =0,已知-)=4，那么 f(6)= 【答案】时 【详解】(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)=4, f(+D-2-w) f(x) 成x>0时.周别为2男6)回局 1 ,故答案为： 2 14.如图，己知圆锥PO,用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥PO和圆 台OO,此时圆锥PO的顶点P和圆O上所有点均在球O2上，圆台OO存在和上下 02 底面及侧面均相切的球O,若球O2和O,的半径均为R,则圆锥PO和圆台O,O的 高之比为」 【答案】⑤ -0 【详解】由题意，在轴截面等腰三角形PAB中，∠APB=O,平行于底面的截面与 轴截面形成了交线AB,将△PAB分为△PAB,和梯形AABB,圆O2和圆O3分别 为两部分的外接圆和内切圆，半径均为R,则有△PAB,高PO=,梯形高 OO=2R,∴.∠OO2A=∠APB,.O2A1=OM=R, 8器 ne Qo-h-R-c0s0,:.R-1-2(R =s2小0,4R 2 R h+r 1-4套则 R R R +)解得x=V3,所以么=3 2R2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知圆C的圆心在y轴，经过A(3,3),B(4,10),过直线1：x-2y-6=0上的动点P作圆C的切 线，切点分别为M,N, (1)求圆C的标准方程： (2)若弦MW=4√5，求P点坐标. 试卷解答第5页，共10页 【详解】(1)由题意，设圆心C(0,b),半径为r（r>0),标准方程为：x2+(y-b)2=2 代入48,410，{3+6-=r=b=7 4+10-b)2=r2r=51 4分 ∴.圆C的标准方程为x2+(y-7)2=25 6分 (2)弦MW交CP于9，则Mg=25,∴.CM2=C2+Mg2-C9=V5 ∴.由直角三角形射影定理：CM2=CQ.CP三CP=5√5 10分 P点满足： r+0-7刀=65x=10或x=-2 x-2y-6=0 y=2y=-4 即P点为10,2)或(-2，-4). 13分 在△4BC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、C,且22m(C家 (1)求角B: (2)若△ABC是锐角三角形，且c=4,D为AC边中点，求BD的取值范围. 【详解1名2mC写：a-=0c+3=bsinc+sC 由正弦定理可得√3(sinA-cosCsin B)=sin BsinC=√3 cos B sin C, C∈(0，π)，则sinC>0,∴sinB=V3cosB,则有tamB=5,故B= 3 6分 o<c<号 (2)△ABC为锐角三角形，则 o4C串 6 2 3,则0<、1 .tanc 3 tanc53. 8分 由正弦定理可得a=c sinA sinC’ a=csinA 4sinc+） 3=2 25e28) 10分 sinC sinC tan :D为4C边中点，BD-a+B© BD-a+c+2aB0=e+a+a=a+4a-10=a+2+3 13分 4 4 .BD∈(7,28)，即BDe(N7,2√7) 15分 17.数列a,}满足a专a-2a+3gan=0m∈M. 试卷解答第6页，共10页 (①)求证：数列二-3}是等比数列，并求数列{a,}的通项公式： (2)设6 2以 数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn. a. 【详解】（1)因为a。-2a+1+3a·a+1=0,所以 12-3, 2分 所以1-3=22-3)，而2-3=2≠0， a 所以(-3引是以2为首项，2为公比的等比数列： a. 所以-3=22，则a23 1 6分 (3)由(1)可知an= 2+3则6=(2m-02+3列=(21-10-2°+3(2m-D, 1 7分 .S=2+3+3.22+3.3+5.23+3.5+…+(2n-3)2m-1+3.(2n-3)+(2n-1)2+3.(21-1) =[2+3.22+5.23+…+(2n-3)-2-+(2n-1)·2"]+31+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)] 9分 令A=2+322+5.2+…+(2n-3)2m-1+(2n-1)2; .2A=22+3.2+5.24+…+(21-3)2”+(2-1).21 作差得：-A=2+222+22++2-2-（21-D-21_40-2）-（2m-》-21-2 1-2 ∴.A=(4n-6)2”+6 11分 令B。=1+3+5++(2n-3)+(2n-1) 则B.=1+3+5++(2-3)+(2-D=n0+21-D=m 13分 2 .Sn=A.+3Bn=(4n-)2+6+3n2 15分 18.如图，直角梯形ABCD,AB/CD,BC⊥CD,AE⊥CD,M为AD中点，将△ADE沿AE折起，使 D到P处 (I)求证：PC//平面BEM; (2)若平面AEP⊥平面ABCE,AE=PE=4,AB=4W2,PN=2NB(2>0) ()当A-有时，求证：平面PBCL平面aw, (i当二面角P-BM-N的正弦值为47时，求元的值 17 试卷解答第7页，共10页 D E y 【详解】(I)连接AC交BE于点O,连接OM,由题意四边形ABCE是矩形，所以O为AC中点， 又因为M为PA中点，所以在△PAC中，有OM∥PC, 因为OMC平面BEM,PCI平面BEM, 所以PC/I平面BEM: 4分 (2)在矩形ABCE中，有EC⊥AE, AE2+PE2=AP2,.PE L AE, 面AEP⊥面ABCE 面ABCE面AEP=AE PEC面AEP →PE⊥面ABCE, 6分 IPE⊥AE 以E为原点，以EA,EC,EP方向为x轴，y轴，二轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则有E(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4V2,0),P(0,0,4),M(2,0,2),B(4,42,0) 所以EM=(2,02),EB=(4,4W2,0）,EP=(0,0,4), 由PN=B(0<<1)“.E= 414v214 1+元'1+2’1+元 8分 0当-专时，w-,3,PB-45.4 ∴EW.PB=4x1+4W2×V2-4x3=0,∴.EN⊥PB, EM.PB=2x4+0x4W2+2x(-4)=0,∴.EM⊥PB, 又，EMOEN=E,ENC平面EMN,EMc平面EMN, ∴.PB⊥平面EMW: ,PBC平面PBC,∴.平面PBC⊥平面EMN 12分 (i)取平面EMP的法向量m=(0,l,0),设平面EMN的法向量为i=(x,y,2), EM.i=2x+2==0 则 1+元 =02x+V2y+=0'令x=1,则元=1,12，-1》 =-x 14分 因为二面角P-BEM-N的正弦值为4 17 则余弦值为± 17 试卷解答第8页，共10页 cos<m,> m 7 同 1-2 17 1+ +(-1)2 化简得：322-82+4=0 解得入=2或元=2 17分 3 19.已知函数f(x)=2sinx-x. 0求四车引》作单调区间： ②当xe0引时，f四>-m,求a的范国 23 (③)令g()=f(+n(c+),证明：当，xe(0,1)时g(y有极大值g(),且g()>1+2 【详解】(1)~fx)=2simr-x,f'(y)=2c0sc-1=0,得cosx=2 1 当司受到.f0,心单河滋诚。 当（香时，>0，平调运动 当xe〔得)时，了k0,f)卓调递藏， 了水在（上的竿时×创为（引单祺诚区同为受引 ππ 5分 (2)t(x)=f(x)-x+ax=2sinx-2x+ax3 i(0)=0 ∴.t(x)=2cosx-2+3ax2 t(0)=0 .t'(x)=-2sinx+6ax t'(0)=0 ∴.t"(x)=-2cosx+6a 0写引时t(国为两数， 若t(>0,则a>ws,由xe0引则a号 7分 r()=-2smx+6ax在0到单词递。自r0)-0,则e(0写时r(>0, 1()=2cosx-2+3am在0，写到单调递增，有1(0)=0，则x0引时1(y)>0. 4=2sr-2x+a在Q写到单调递增，有0-0，则e0写到引时()>0， 1 即2sinx-x>x- 成立 9分 则r四=2as+6=0在〔0引有解%，即xe(@,.t(0 若a<{ 试卷解答第9页，共10页 →t"(x)=-2sinx+6ax在x∈(0，x,)时单调递减，则t"(x)<0 →t'(x)=2cosx-2+3ax2在x∈(0，x。)时单调递减，则t'(x)<0 →t(x)=2snx-2x+ax3在x∈(0，x,)时单调递减，则a<二不成立， 3 :综上所述a≥3 1 11分 (3)g(x)=f'(x)+ln(x+1)=2cosx-1+h(x+) 8'(x)=-2sir+1 +1 在e(Q1时为藏数。go=10.g0=-21+分2m名分0， 62 ∴.存在x∈(0,1)使得g'()=0, .当x∈(0，x)时，g(x)>0:当x∈(x,1)时，g(x)<0: .g(x)在(0，x)单调递增，在(x,1)单调递减，x是8(x)的一个极大值点， 13分 由(@有t()=2c0sx-2+>0在xe1写)恒成立，即2cosx-1>1-F① 14分 由x。∈(0,1)则h(x。+1)e(0,h2),则需证h(x+1)>h2·x在x∈(0,1)恒成立 令m(=h(c+)-h2x,则m(g= 1-ln2 x+1 血2，在@2单调递增， 1)单调递减 .m(0)=m)=0,则ln(x+1)>h2·x②在x∈(0,1)恒成立 16分 E@②得xE(0.1时gE20sx-1+mx+)>1-F+n2-x=-6x-+1+(9 ex)2)13 17分 试卷解答第10页，共10页 重庆大一联盟（稳昇高教育) 高三(上)高2026届12月联考 数学试题 注意事项: 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答题区域作答。超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中。只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知直线 ，平面 ， ，则“ ”是 “ ” 的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数 ( 为虚数单位),则 ( ) A. B. C. D. 4. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 5. 已知定义在 上的奇函数 ,则 的解集为 ( ) A. B. C. D. 6. 已知正项等差数列 中， ， ，若 ，则 ( ) A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 7. 已知函数 ,将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象. 当 时， 与 的图像交于 两点，则 ( ) A. B. C. D. 8. 过点 作 的切线 ,切点为 ,以 为直径的圆与 轴交于另一点 ,则 到 的距离为( ) A. B. C. 1 D. 二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 已知正实数 ，满足 ，则() A. B. C. D. 10. 已知四棱柱 中，各棱长均为 1， ，则() A. B. C. 若 ,则 D. 若 ,则 11. 已知三次函数 ，则下列说法正确的是( ) A. 若 时,则 为增函数 B. 若 时，则 有两个极值点 C. 若 时,当 在 取极大值,则 D. 若 时,则 图像关于 中心对称 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 ，则 _____. 13. 已知 是定义在 上的奇函数,对于任意的正实数 都有 ,已知 , 那么 _____. 14. 如图,已知圆锥 ,用平行于底面的截面,将圆锥 分切成小圆锥 和圆台 ，此时圆锥 的顶点 和圆 上所有点均在球 上，圆台 存在和上下底面及侧面均相切的球 ,若球 和 的半径均为 , 则圆锥 和圆台 的高之比为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. 已知圆 的圆心在 轴,经过 ,过直线 上的动点 作圆 的切线,切点分别为 . (1)求圆 的标准方程； (2)若 ，求 点坐标. 16. 在 中,内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 . (1)求角 ； (2)若 是锐角三角形， 为 边中点，求 的取值范围. 17. 数列 满足 . (1)求证:数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 . 18. 如图,直角梯形 为 中点,将 沿 折起,使 到 处. (1)求证: 平面 ； (2)若平面 平面 ， ， ， (i) 当 时,求证: 平面 平面 ; (ii) 当二面角 的正弦值为 时,求 的值. 19. 已知函数 . (1)求 在 上的单调区间； (2)当 时， ，求 的范围； (3) 令 ,证明: 当 时 有极大值 ,且 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆大一联盟（稳昇高教育) 高三(上)高2026届12月联考 数学试题 注意事项: 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在题号所指示的答题区域作答。超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中。只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知直线 ，平面 ， ，则“ ”是 “ ” 的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数 ( 为虚数单位),则 ( ) A. B. C. D. 4. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 5. 已知定义在 上的奇函数 ,则 的解集为 ( ) A. B. C. D. 6. 已知正项等差数列 中， ， ，若 ，则 ( ) A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 7. 已知函数 ,将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象. 当 时， 与 的图像交于 两点，则 ( ) A. B. C. D. 8. 过点 作 的切线 ,切点为 ,以 为直径的圆与 轴交于另一点 ,则 到 的距离为( ) A. B. C. 1 D. 二、多选题:本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 已知正实数 ，满足 ，则() A. B. C. D. 10. 已知四棱柱 中，各棱长均为 1， ，则() A. B. C. 若 ,则 D. 若 ,则 11. 已知三次函数 ，则下列说法正确的是( ) A. 若 时,则 为增函数 B. 若 时，则 有两个极值点 C. 若 时,当 在 取极大值,则 D. 若 时,则 图像关于 中心对称 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知 ，则 _____. 13. 已知 是定义在 上的奇函数,对于任意的正实数 都有 ,已知 , 那么 _____. 14. 如图,已知圆锥 ,用平行于底面的截面,将圆锥 分切成小圆锥 和圆台 ，此时圆锥 的顶点 和圆 上所有点均在球 上，圆台 存在和上下底面及侧面均相切的球 ,若球 和 的半径均为 , 则圆锥 和圆台 的高之比为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. 已知圆 的圆心在 轴,经过 ,过直线 上的动点 作圆 的切线,切点分别为 . (1)求圆 的标准方程； (2)若 ，求 点坐标. 16. 在 中,内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 . (1)求角 ； (2)若 是锐角三角形， 为 边中点，求 的取值范围. 17. 数列 满足 . (1)求证:数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 . 18. 如图,直角梯形 为 中点,将 沿 折起,使 到 处. (1)求证: 平面 ； (2)若平面 平面 ， ， ， (i) 当 时,求证: 平面 平面 ; (ii) 当二面角 的正弦值为 时,求 的值. 19. 已知函数 . (1)求 在 上的单调区间； (2)当 时， ，求 的范围； (3) 令 ,证明: 当 时 有极大值 ,且 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $