上学期期末复习01 选择题压轴二十一大类型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级

期末复习01 选择题压轴二十一大类型（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、比例的性质 类型二、利用相似三角形的性质求值 类型三、位似变换 类型四、相似三角形的运动问题 类型五、平面向量的线性运算 类型六、求锐角的三角函数值 类型七、锐角三角形与一元二次方程的综合 类型八、构造直角三角形解斜三角形 类型九、解直角三角形的应用 类型十、二次函数的图象与各个系数之间的关系 类型十一、二次函数与其他函数相结合的双图像问题 类型十二、二次函数与一元二次方程 类型十三、二次函数与实际问题 类型十四、垂径定理的应用 类型十五、弧、弦、圆心角、圆周角的关系 类型十六、切线的性质 类型十七、正多边形和圆 类型十八、弧长和扇形面积 类型十九、统计初步 类型二十、多结论问题 类型二十一、新定义问题 压轴专练 类型一、比例的性质 1．下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，3cm C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，4cm 2．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 3．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．9 B．3 C．5 D．14 类型二、利用相似三角形的性质求值 4．已知，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 5．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 6．如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，分别是的边上的中线，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 类型三、位似变换 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D．或 10．已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 类型四、相似三角形的运动问题 13．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 15．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 16．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 17．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 类型五、平面向量的线性运算 18．如图，在梯形中，E、F分别是腰的中点，如果，，那么向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 19．梯形中，，那么下列结论中正确的是（   ）． A． B． C． D． 20．如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 21．在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 类型六、求锐角的三角函数值 22．如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 23．已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 24．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 25．下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 类型七、锐角三角形与一元二次方程的综合 27．已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 28．已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 29．已知为锐角，是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．16 B．8 C．15 D．17 类型八、构造直角三角形解斜三角形 30．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 31．田远同学从家里沿北偏西方向走到商场购买文具，再从商场向正南方向到学校，田远同学的家离学校（　　） A． B． C． D． 32．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 类型九、解直角三角形的应用 33．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 34．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 35．如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 36．如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（   ） A． B． C． D． 类型十、二次函数的图象与各个系数之间的关系 37．已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（） A． B． C． D． 38．二次函数的对称轴是，图象如图所示，下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．二次函数的图象过点，和点，则（   ） A． B． C． D． 40．如图，已知二次函数（）的部分图象与x轴的正半轴的交点A位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．（m为任意实数） 类型十一、二次函数与其他函数相结合的双图像问题 41．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 42．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 43．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 44．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 类型十二、二次函数与一元二次方程 45．已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（    ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 46．如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．三个关于的方程：，，，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 类型十三、二次函数与实际问题 48．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 49．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，错误结论的是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 50．某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A．这种商品的销售利润可表示为 B．这种商品的销售利润随x的增大而增大 C．每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D．若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 51．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 52．如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 类型十四、垂径定理的应用 53．如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 54．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（    ） A． B． C． D． 55．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 56．如图，在中，弦垂直平分半径，点C是圆上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 类型十五、弧、弦、圆心角、圆周角的关系 57．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 58．如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 59．如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 60．如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 61．如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是(        ) A． B． C． D． 类型十六、切线的性质 62．如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．度数不确定 63．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 64．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 65．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 66．如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 类型十七、正多边形和圆 67．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 68．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 69．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 70．如图，是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个半径为的圆上，数字0对应圆心．使用方法：以的顺序顺着箭头方向移动眼球，移动一圈后再回到圆心，反复进行．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等，则该线段的长为（    ） A． B． C． D． 类型十八、弧长和扇形面积 71．如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 72．家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 73．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 74．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（    ） A． B． C． D． 类型十九、统计初步 75．小亮在处理一组数据“11，16，27，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 76．六名学生投篮球，规定每人投次，统计他们投中的次数，得到个数据．若这六个数据的中位数是，唯一的众数是，则他们投中次数的平均数可能是（   ） A． B． C． D． 77．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小长方形的高度按照从高到低的顺序排列），条形统计图被弄脏了一部分．若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是（    ） A．蓝 B．绿 C．黄 D．红 78．某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大 C．平均分变小，方差变小 D．平均分变小，方差变大 79．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 类型二十、多结论问题 80．如图，正方形中，，点是平面内一动点，，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．则下列结论：①；②；③连接，当时，的面积为；④过点作的垂线，垂足为，则最小值是．其中，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 81．如图，在矩形中，，为边的中点，连接并延长交的延长线于，过点作交于点，连接交于点，现有下列结论：①；②；③点为的中点；④．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 82．如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 83．如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则下列结论中：①；②；③；④，其中结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 84．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，以下结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 类型二十一、新定义问题 85．关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：与称为“交换二次方程”．如与就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“交换二次方程”．那么代数式能取到的最小值是（    ） A．2036 B．2030 C．2032 D．2026 86．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 87．在平面直角坐标系中，我们定义点的“伴随点”为Q，且规定：当时，Q为；当 时，Q为．下列说法正确的序号是（    ） ① 点的伴随点坐标为； ② 若点的伴随点在函数 的图像上，则 ； ③ 若直线l： 与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④ 若直线l与坐标轴交于两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线 与图形M有两个交点时， A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 88．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 89．在平面直角坐标系中，对于已知的点，和图形F ，给出如下定义：如果图 形F 上存在一点，使得当时，，则称点M 为图形F 的一个“垂近点”．以下说法正确的有（    ） ①若图形F 为线段，，，点是线段的“垂近点”；②若图形F为以坐标原点O为圆心，2 为半径的圆，直线与x 轴交于点C、与y 轴 交于点D，如果线段上的点都是 的“垂近点” ，则； ③若图形F 为抛物线 以点为中心，边长为 2 的正方形，轴， 轴，若正方形上存在“垂近点” ，则a 的取值范围为： 或 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为6米．若点为运行轨道的最低点，水深（点到弦所在直线的距离）1米，半径长为（    ） A．1米 B．3米 C．4米 D．5米 2．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：cm）：155，162，173，162，17●，160，发现其中一个数据的个位数被墨水污染了，则以下统计量不受影响的是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．中位数和众数 3．如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点爬行到点，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则不同的爬行路径有（   ）种 A．32 B．48 C．64 D．144 4．测试五位同学的跳绳成绩：221，210，198，185，170，王老师在记录这组数据时不小心把最小数据记录成了180，则计算结果不受影响的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 5．如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 6．如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ） A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤ 9．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 10．已知均为非负数，且满足．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01 选择题压轴二十一大类型（压轴题专项训练） 目录 典例详解 类型一、比例的性质 类型二、利用相似三角形的性质求值 类型三、位似变换 类型四、相似三角形的运动问题 类型五、平面向量的线性运算 类型六、求锐角的三角函数值 类型七、锐角三角形与一元二次方程的综合 类型八、构造直角三角形解斜三角形 类型九、解直角三角形的应用 类型十、二次函数的图象与各个系数之间的关系 类型十一、二次函数与其他函数相结合的双图像问题 类型十二、二次函数与一元二次方程 类型十三、二次函数与实际问题 类型十四、垂径定理的应用 类型十五、弧、弦、圆心角、圆周角的关系 类型十六、切线的性质 类型十七、正多边形和圆 类型十八、弧长和扇形面积 类型十九、统计初步 类型二十、多结论问题 类型二十一、新定义问题 压轴专练 类型一、比例的性质 1．下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，2cm，3cm C．3cm，5cm，9cm，13cm D．1cm，2cm，2cm，4cm 【答案】D 【详解】解：在A中，最小线段1cm与最大线段4cm的乘积为，中间线段2cm与3cm的乘积为，，故 A不成比例； 在B中，最小线段1cm与最大线段3cm的乘积为，中间线段2cm与2cm的乘积为，，故 B不成比例； 在C中，最小线段3cm与最大线段13cm的乘积为，中间线段5cm与9cm的乘积为，，故 C不成比例； 在D中，最小线段1cm与最大线段4cm的乘积为，中间线段2cm与2cm的乘积为，，故 D成比例， 故选D． 2．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】 【详解】解：设长为 ， ∵ 宽与长之比为黄金比，即 ， ∴ ， ∴ ， 有理化分母：， ∴ 长为 ． 故答案为：A． 3．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．9 B．3 C．5 D．14 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故选：D． 类型二、利用相似三角形的性质求值 4．已知，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．两个相似三角形对应边分别是15和23，它们的周长相差40，则这两个三角形的周长分别是（   ） A．75，115 B．85，125 C．60，100 D．45，85 【答案】A 【详解】解：设小三角形的周长为x，则大三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应边分别是15和23， ∴对应边之比为， ∴ 周长之比也为， 即 ， 解得：， ∴小三角形周长为75，大三角形周长为． 故选：A 6．如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 所以， 故选：B． 7．如图，在中，分别是的边上的中线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：是的中线， ∴是中点，是中点， ∴，且， ∴，相似比为， ∴， 同理：， ∴， ∴， 是中线，，且， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长为（   ） A． B．20 C． D．30 【答案】C 【分析】 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵，高， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形边长为， 故选：C． 类型三、位似变换 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，．若四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍，则点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵四边形与四边形关于原点O位似，且四边形的周长是四边形周长的2倍， ∴四边形与四边形的位似比为， 又∵， ∴点的坐标为或，即或． 故选：B． 10．已知，如图，四边形四边形，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴． 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵ ∴ ∴与位似比为， 点A的坐标为，点D在第一象限， 点D的坐标是，即， 故选：C 12．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 类型四、相似三角形的运动问题 13．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】∵在中，，，， ∴， 当时， ， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线； 当时， 过点P作于点H，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向下的抛物线． 故选：B． 14．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 15．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 16．中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 17．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 类型五、平面向量的线性运算 18．如图，在梯形中，E、F分别是腰的中点，如果，，那么向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在梯形中，E、F分别是腰的中点， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选B． 19．梯形中，，那么下列结论中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】∵梯形中，且， ∴该梯形为等腰梯形． A：． 向量相等需方向与大小均相同． 虽然，但与方向不同（如从A指向B，从C指向D）． 故A错误． B：． ∵等腰梯形的对角线， ∴． 故B正确． C：． ∵的终点是以，为边的平行四边形对角线终点， 而的终点为D， ∴两者不相等． 故C错误． D：． ∵，， ∴与方向相反． 故D错误． 故选：B． 20．如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 21．在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设交于点， ∵菱形， ∴，， ∵、分别为、的重心， ∴点、在上，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 类型六、求锐角的三角函数值 22．如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 23．已知锐角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，为其终边上的一点，若，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】 【详解】解：由题意，，又为锐角， ，， 两边平方可得：，， ， 交叉相乘可得：， ， ， ． 故选：D． 24．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：根据题意，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：B． 25．下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵ ， ∴，故①错误； ，故②正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③正确； ∵ ，且为锐角，，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 26．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，，， ， ， ， 故选：C． 类型七、锐角三角形与一元二次方程的综合 27．已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设方程的另一个根为，则： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 28．已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：根据题意，得， 又， ． 故选C． 29．已知为锐角，是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．16 B．8 C．15 D．17 【答案】A 【详解】解：∵，化简， ∴，， ∵为锐角， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， 则． 故选：A． 类型八、构造直角三角形解斜三角形 30．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 31．田远同学从家里沿北偏西方向走到商场购买文具，再从商场向正南方向到学校，田远同学的家离学校（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过A作于D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 答：田远同学的家离学校． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 32．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（    ） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4） C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2） 【答案】C 【详解】过点A作于点C． 在Rt△AOC中， ． 在Rt△ABC中， ． ∴　． ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2， ∴． ∴． ∴点A的坐标是． 根据题意画出图形旋转后的位置，如图， ∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为； 将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）． 类型九、解直角三角形的应用 33．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 34．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 35．如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（   ）m A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点D作的延长线于点F． ∵坡度为，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：C． 36．如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：C． 类型十、二次函数的图象与各个系数之间的关系 37．已知函数的图象的一部分如图所示，则取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】由图象可知：，图象过点，点， ∴，， ∵对称轴， ∴点的对称点在点右侧， ∴当时，， 则， 将代入， 可得， 解得， ∴实数a的取值范围为． 又， ∴． 故选：C． 38．二次函数的对称轴是，图象如图所示，下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴有两个交点， 则，①结论正确； 由图象可知，抛物线开口向下，对称轴是， ，， ， ，，②③结论正确； 抛物线的对称轴为直线， 所对的函数值与所对的函数值相等， 由图象可知，当时，， 当时，， ，④结论正确， 故选：D． 39．二次函数的图象过点，和点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的图象过点，点和点， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ，， ， ， 故选：C． 40．如图，已知二次函数（）的部分图象与x轴的正半轴的交点A位于和之间（不包含端点），对称轴为直线．以下结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】C 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴， ∴，，故A选项错误，C选项正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， 由图象可知，当时，函数值小于0， ∴；故B选项错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， ∴， ∴；故选项D错误； 故选C． 类型十一、二次函数与其他函数相结合的双图像问题 41．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项， 故选：D ． 42．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 43．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 44．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标在第四象限， ∴， ∴，． ∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限； ∵一次函数，，， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 只有B符合． 故选：B． 类型十二、二次函数与一元二次方程 45．已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表所示．若是方程的一个实数根，且，则下列四个数中，与最接近的是（    ） … 1.2 1.3 1.4 1.5 … … 0.16 0.75 … A．1.18 B．1.28 C．1.38 D．1.48 【答案】C 【详解】解：∵时，；时，， ∴方程根m在1.3和1.4之间， 即 ∴只有C项符合题意. 故选：C. 46．如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 47．三个关于的方程：，，，已知常数，若、、分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 二次函数，，的开口向上，且开口大小为：， 其函数图象大致为： ． 由图象可知：． 故选：A． 类型十三、二次函数与实际问题 48．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 49．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，错误结论的是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】 【详解】解：①：∵定价每增加10元，空闲房间数增加1个， ∴增加30元对应空闲3个，即居住房间数为个，故①结论正确； ②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得，， 解得或 ∵市场监管部门规定每间房价不得高于360元， 当时，对应定价为元， 当时，对应定价为元， ∴只有当每个房间的定价为320元时，满足该宾馆某天利润为12000元，故②结论错误； ③：设定价增加元，利润为w，根据题意得， ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵市场监管部门规定每间房价不得高于360元，即， ∴， ∴当，w取得最大值，最大值为， ∴最大利润为元，故③结论错误． 综上，错误结论的是②③． 故选：C． 50．某种商品每件的进价为30元，若以每件x元售出，可卖出件，下列说法中正确的是（） A．这种商品的销售利润可表示为 B．这种商品的销售利润随x的增大而增大 C．每件商品售价定为40元或50元，销售这种商品可获得相同的利润 D．若每件商品售价定为55元，则可获得最大利润 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵这种商品的销售利润可表示为 ， ∴选项A错误， ∵这种商品的销售利润为 ，二次项系数为负， ∴函数开口向下，利润随x增大先增后减，选项B错误． 当0时，利润为； 当时，利润为； ∵， ∴选项C错误． ∵二次函数顶点横坐标， ∴当时，利润最大，选项D正确． 故选D． 51．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴， 设 将代入得， ∴ 即： 当时， 即点到的距离为：． 故选：C ． 52．如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 类型十四、垂径定理的应用 53．如图，为的直径，为的弦，于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：∵为的直径，为的弦，于点E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 54．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径，截面圆圆心为，当水面宽时，水位高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ， ， ， 水位高为， 故选：B． 55．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】 【详解】解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选：C． 56．如图，在中，弦垂直平分半径，点C是圆上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接、， ∵弦垂直平分半径， ∴，， ∵， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 类型十五、弧、弦、圆心角、圆周角的关系 57．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， 是的直径， ， ； 故选：B． 58．如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图所示，连接 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 59．如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 60．如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴. 故选：B． 61．如图，在中，弧，弧，弧，弧的度数之比为，弦，交于点．则的度数是(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、、、、， 弧，弧，弧，弧的度数之比为， ，，，的度数之比为， ，， ，， ． 故选：B． 类型十六、切线的性质 62．如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．度数不确定 【答案】B 【详解】解：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； 又， ∴， ∴，故选项B错误，符合题意； ∵点是优弧上一点， ∴度数不确定，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 63．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 64．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 65．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 66．如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 类型十七、正多边形和圆 67．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ， ， 该正多边形的边数为， 故选C． 68．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 69．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 70．如图，是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个半径为的圆上，数字0对应圆心．使用方法：以的顺序顺着箭头方向移动眼球，移动一圈后再回到圆心，反复进行．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等，则该线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D， 由图可得，线段的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴， ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴这条线段的长为． 故选：A． 类型十八、弧长和扇形面积 71．如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，扇形的面积，熟练掌握判定和性质，扇形面积公式，切线性质是解题的关键． 72．家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 73．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 74．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，四边形是梯形，， ，， ，， 车轮的直径为， 半径， 则， ∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是． 故选：A． 类型十九、统计初步 75．小亮在处理一组数据“11，16，27，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】 【详解】解：一组数据“11，16，27，35，■”，而 ■在之间，可知， A、中位数是27，保持不变，故选项A正确，该选项符合题意， B、众数变化，故选项B错误，该选项不符合题意， C、五个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，故选项C错误，该选项不符合题意， D、因为平均数改变，方差随着改变，故选项D错误，该选项不符合题意． 故选：A． 76．六名学生投篮球，规定每人投次，统计他们投中的次数，得到个数据．若这六个数据的中位数是，唯一的众数是，则他们投中次数的平均数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中位数是，唯一的众数是，且个数据都是不超过的自然数， ∴个数据中，小于的数据有个，其中至少有一个是，至多有两个；大于或等于的数据有个，其中至少有两个是， 设六个数据的和为，平均数为， 若有一个数据是、两个数据是时，则六个数据的和满足：， 即， ∴平均数范围是，没有满足条件的选项； 若有一个数据是、三个数据是时，则六个数据的和满足：， 即， ∴平均数范围是， 满足条件的有选项； 若有两个数据是，则必须有三个数据是，此时六个数据的和满足， 即， ∴平均数范围是，没有满足条件的选项， 综上所述，他们投中次数的平均数可能是， 故选：． 77．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了扇形统计图和条形统计图（小长方形的高度按照从高到低的顺序排列），条形统计图被弄脏了一部分．若甲、乙、丙、丁代表扇形统计图中的某一种颜色，则丙代表的颜色是（    ） A．蓝 B．绿 C．黄 D．红 【答案】D 【详解】解：由扇形统计图可知：最喜欢的颜色的人数最少的是蓝色，有5人，占， ∴被调查的同学总人数为：（人）， ∴喜欢红色人数为：（人）， 喜欢红色和蓝色的人数为：（人）， 喜欢黄色和绿色的人数为：（人）， 由条形图知其中一种颜色是16人，则另一种颜色15人， ∵条形统计图中小长方形的高度按照从高到低的顺序排列， ∴丙代表的颜色的人数为14人， ∴丙代表的颜色为红色． 故选：D． 78．某班有45人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他44人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班44人的体能测试成绩相比，关于该班45人的体能测试成绩，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大 C．平均分变小，方差变小 D．平均分变小，方差变大 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵原44人的平均分为90分，小亮成绩为90分， ∴加入小亮后，45人的平均分仍为90分，平均分不变． ∵原方差，即， ∴． 加入小亮后，新方差为： ， ∵， ∴，方差变小． 故选：A． 79．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【详解】解：选项A、算式中差的平方项数为5，对应数据个数，正确； 选项B、平均数，正确； 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误； 选项D、原方差， 加入两个7后的的方差， 加入两个7后，方差由减小为，正确； 综上，错误的说法是C． 故选：C． 类型二十、多结论问题 80．如图，正方形中，，点是平面内一动点，，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．则下列结论：①；②；③连接，当时，的面积为；④过点作的垂线，垂足为，则最小值是．其中，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，当与相切时，最小， ∵与相切， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴最小值是，故④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：． 81．如图，在矩形中，，为边的中点，连接并延长交的延长线于，过点作交于点，连接交于点，现有下列结论：①；②；③点为的中点；④．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：延长交的延长线于点G， ∵是边上的中点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确；②错误； 假设点N为的中点，则：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，显然不成立， 故③错误； ∵连接并延长交的延长线于，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的是①④， 故选：B． 82．如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理、相似三角形的判定与性质、等边对等角、勾股定理，解题关键是灵活运用相关知识点解决问题． 83．如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，过作，交于，过作于，若，，则下列结论中：①；②；③；④，其中结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 、、、四点共圆， ， 在和中， ， ， ， ， ， ①正确． 延长到，使，连接，如图： ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 即， ②正确． 连接， ，， ， ． ， ． 设，则， ， ． ， ，即． ∴③正确 ， ， ， ． ． 故． ④正确． 正确的结论为①②④． 故选：B． 84．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，以下结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②由①知，， ∴，故②正确； ③∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是， ∴当时，，即，故③错误； ④∵二次函数开口向上， ∴二次函数图象上的点离对称轴的距离越大函数值越大， ∵， ∴，故④正确； 综上，说法正确的是②④， 故选：． 类型二十一、新定义问题 85．关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：与称为“交换二次方程”．如与就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“交换二次方程”．那么代数式能取到的最小值是（    ） A．2036 B．2030 C．2032 D．2026 【答案】D 【详解】因为与是“交换二次方程”， 所以，解得， 则 ， 当且仅当，即时，取得最小值2026， 即代数式能取到的最小值是2026． 故选：D． 86．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 87．在平面直角坐标系中，我们定义点的“伴随点”为Q，且规定：当时，Q为；当 时，Q为．下列说法正确的序号是（    ） ① 点的伴随点坐标为； ② 若点的伴随点在函数 的图像上，则 ； ③ 若直线l： 与x轴、y轴交于A、B，将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M，则M是以点为端点的两条射线，其解析式为； ④ 若直线l与坐标轴交于两点．将直线l上所有点的伴随点组成一个新的图形记作M．抛物线 与图形M有两个交点时， A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】解：①∵， ∴点的伴随点坐标为，故①正确； ②解：当时，点A的伴随点为，      把代入得：， 解得（不符合题意，舍去）；    当时，A的伴随点为， 把代入得：， 解得； ∴，故②错误； ③， 当时，，当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为， 点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得， 即：，其中， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 即：，其中，， ∴M是以点为端点的两条射线，其解析式为，故③正确； ④解：设直线l的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴直线l的解析式为， 当时，， 解得， ∴点C的坐标为，点C的伴随点的坐标为， 点的伴随点的坐标为，点的伴随点的坐标为， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得， 即：，其中， 当时，所有伴随点组成的图形是以为端点，过的一条射线， 设此射线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 即：，其中，， 所以新的图形M是以为端点的两条射线组成的图形，如图所示： 由和得： ①和②， 讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点的位置关系可得： 当方程①无实数根时，，解得， 即：当时，抛物线与图形M没有交点； 当方程①有两个相等实数根时，，解得， 即：当时，抛物线与图形M有一个交点； 当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，解得， 即：当时，抛物线与图形M有两个交点； 当方程②有两个相等实数根或恰好经过经过点时， 解得：或， 即：当或时，抛物线与图形M有三个交点； 当方程②方程①均有两个不相等的实数根，且两根均小于2时，即：当时，抛物线与图形M有四个交点； 当时，抛物线与图形M有两个交点． 综上分析可知，当或时，抛物线与图形M有2个交点，故④错误； 综上可得：①③正确， 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了伴随点的定义，一元二次方程根的判别式，求得M的函数关系式是解题的关键． 88．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 89．在平面直角坐标系中，对于已知的点，和图形F ，给出如下定义：如果图 形F 上存在一点，使得当时，，则称点M 为图形F 的一个“垂近点”．以下说法正确的有（    ） ①若图形F 为线段，，，点是线段的“垂近点”；②若图形F为以坐标原点O为圆心，2 为半径的圆，直线与x 轴交于点C、与y 轴 交于点D，如果线段上的点都是 的“垂近点” ，则； ③若图形F 为抛物线 以点为中心，边长为 2 的正方形，轴， 轴，若正方形上存在“垂近点” ，则a 的取值范围为： 或 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】C 【详解】解：①当时，， 是线段的“垂近点”， 故①正确，符合题意； ②∵线段上任意一点都是的“垂近点”， ∴线段在是圆的弦， ∵圆的半径是， ， ， 故②正确符合题意； ③∵点是正方形的中心，可得正方形的边长为， ， 设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点， 使得当时， ，当点在轴右侧时，， 如图，当点与点重合时， ， ， 解得：或 (舍) ， 如图2，当点与点重合时， ， ， 解得：或(舍)， 时，正方形上存在抛物线的“垂近点”； 当点在轴的左侧时，，如图，当点与点重合时， ， ， 解得： 或 (舍) ， 如图，当点与点重合时， ， ， 解得：或 (舍)， 时，正方形上存在抛物线的“垂近点”； 综上所述：或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”. 故③错误，不符合题意； 故选： C． 1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为6米．若点为运行轨道的最低点，水深（点到弦所在直线的距离）1米，半径长为（    ） A．1米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】D 【详解】解：连接，交于D， 由题意得：， ∴（米），米， 设米，则， 在中，， ∴， 解得， 即半径长为5米， 故选：D． 2．小明同学分析某小组成员身高的数据（单位：cm）：155，162，173，162，17●，160，发现其中一个数据的个位数被墨水污染了，则以下统计量不受影响的是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．中位数和众数 【答案】A 【详解】解：这组数据从小到大排序后，个位数被墨水污染的排在后面，排在第3和第4的数都是162， ∴中位数为162， 这组数据的中位数不受影响， 6个数中有两个162，如果个位数被墨水污染的数为173，则众数为162和173，如果个位数被墨水污染的数不是173，那么众数为162， ∴众数受影响， 个位数被墨水污染的数影响平均数的大小， 故选：A． 3．如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点爬行到点，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则不同的爬行路径有（   ）种 A．32 B．48 C．64 D．144 【答案】C 【分析】 【详解】解：如下图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数， 第一步：2； 第二步：2； 第三步：4； 第四步：2； 第五步：2； ∴ 则共有64种不同的爬行路径． 故选：C． 4．测试五位同学的跳绳成绩：221，210，198，185，170，王老师在记录这组数据时不小心把最小数据记录成了180，则计算结果不受影响的是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【分析】 【详解】解：原始数据：，排序后：； 修改后数据（最小数改为：，排序后：． A、中位数：原始数据中位数为排序后第3个数；修改后数据中位数仍为第3个数，此选项符合题意； B、平均数：原始数据总和，平均数； 修改后数据总和，平均数，平均数改变，此选项不符合题意； C、 原始数据方差： 修改后数据方差： ∵ ∴方差随数据修改发生改变，此选项不符合题意． D、极差：原始数据的极差；修改后数据的极差，极差改变，此选项不符合题意； 故选：A． 5．如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【详解】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 6．如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴ ， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为， 故选：C． 7．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取格点，连接，设小菱形的边长为1，如图所示： ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵菱形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 8．已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ） A．②③④ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑤ 【答案】B 【详解】解：由图可知，时，，故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ∴， ，故③错误； ∵当时，，函数对称轴为直线， ∴时，，故④错误； ，， ， ， ，故⑤正确； 综上所述，结论正确的是①②⑤． 故选：B． 9．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 10．已知均为非负数，且满足．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由可知：， 解得：， ∵均为非负数， ∴， 解得：， ∴ ； ∵，即开口向上，当时，u随x的增大而减小， ∴当时，u随x的增大而减小， ∴当时，有最小值为； 故选A． 11．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $