2.4 曲线与方程 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

曲线与方程 1、 选择题：本题共10小题，每小题6分，共60分. 1.下列点在曲线上的是( ) A. B. C. D. 2.平面上到点，距离之和为10的点的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.线段 D.轨迹不存在 3.若点在曲线上，则实数a的值等于( ) A. B.1 C.3 D. 4.点，，动点P满足，则P满足的方程是( ) A. B. C. D. 5.当点P在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 6.方程所表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个点 C.一个点和一个圆 D.两条射线和一个圆 7.方程表示的图形是( ) A.一个点 B.一个点和一条直线 C.一条直线 D.两条直线 8.已知点，直线，点R是直线l上的一个动点，若P是RA的中点，则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 9.如图，这是某心形二次曲线C，则C的方程可能为( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知曲线，则( ) A.E关于原点对称 B.E关于x轴对称 C.E关于直线对称 D.为E的一个顶点 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 11.若点都在方程表示的曲线上，则实数______________. 12.一个动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为__________________. 13.点与圆上任一点连接的线段的中点的轨迹方程_________. 14.抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是_________. 三、解答题：本题共1小题，共16分. 15.已知动点M到点的距离是它到点的距离的一半. （1）求动点M的轨迹方程； （2）若N为线段AM的中点，求点N的轨迹. 参考答案 1.答案：B 解析：由可以得到或，依次代入各点，有，故点在曲线上， 故选：B. 2.答案：C 解析：由点，，得，平面上到点，距离之和为10的点的轨迹是线段AB. 故选：C. 3.答案：A 解析：由已知得，解得. 4.答案：A 解析：设动点，满足，即，又由，，得，化简整理可得. 故选：A. 5.答案：B 解析：如图所示， 设，因为M是线段PQ中点， 所以由中点坐标公式可得，， 所以， 又因为P在圆上，所以， 于是可得M的轨迹方程为：， 故选：B. 6.答案：D 解析：可化为或，因此该方程表示两条射线和一个圆. 7.答案：D 解析：由变形得，或，故选D. 8.答案：C 解析：设，，已知，由P是RA的中点，得则① 点R是直线l上的一个动点，②. 把①代入②得，即.所以点P的轨迹方程为.故选C. 9.答案：A 解析：显然图象关于y轴对称，即把x换成，方程不变，可知CD错误； 令，可得，解得或，不合题意，可知B错误.故选A. 10.答案：ACD 解析：A：用和同时替换方程中的x和y，化简后方程不变，故曲线E关于原点对称，故A正确； B：用替换方程中的y，方程变为，与原方程不同，故曲线E不关于x轴对称，故B错误； C：用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程不变，故曲线E关于直线对称，故C正确； D：由C选项得曲线E关于直线对称， 解 得或 所以是E的一个顶点，故D正确.故选ACD. 11.答案： 解析：由题意得解得 12.答案： 解析：设动点P的坐标为，则动点P到直线的距离为，到点A的距离为.由已知得，化简得. 动点P的轨迹方程为. 13.答案： 解析：设圆上任意一点为，中点为，则代入得，化简得. 14.答案： 解析：设斜率为的直线与抛物线交于两点，弦的中点，将点的坐标代入抛物线方程得两式相减得，∴，∴，∴弦的中点的轨迹方程为. 15.（1）答案： 解析：设，由题意得， 又，，所以，整理得， 所以动点M的轨迹方程为. （2）答案：点N的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 解析：设动点N的坐标为. 由于，，且N为线段AM的中点， 所以，，所以，. 因为点M在圆上， 所以，即. 所以点N的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 学科网（北京）股份有限公司 $