精品解析：湖南省邵阳市“八校联盟”2025-2026学年高一上学期创新实验班11月联考数学试题

邵阳市“八校联盟”2025年高一创新实验班11月联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分；150分 命题学校：武冈二中 审题学校：新宁县一中 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念进行判断即可. 【详解】因为复数， 所以. 所以对应的点位于第一象限. 故选：A. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简两个集合，即可根据补集和交集的定义，结合图形求解. 【详解】由，可得或，， 故或 由图可知阴影部分表示的集合为， 故选：D 3. “关于的方程的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义来确定答案. 【详解】充分性：当且时，方程的解集为，但此时，不满足，故充分性不成立；  必要性：当时，二次函数恒正，方程无解，因此的解集为，故必要性成立；  故选：B. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数与对数函数单调性及三角函数二倍角公式计算比较即可得. 【详解】由函数在上单调递减，则， 由函数在上单调递增，则， 又，则， 即有. 故选：. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为， 因为，，，所以， 所以. 又因为， 当且仅当即时取等号. 所以. 故选：D 6. 已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 当点在上运动时，设，得到，根据向量的数量积，化简得到，求得取得最小值；当点在上运动时，设，得到，化简得到，求得最小值. 【详解】在中，，，可得， 当点在上运动时，设，则，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 当时，取得最小值. 当点在上运动时，设，则， 所以， 又因为，所以，所以， 所以， 当时，取得最小值， 综上可得，的最小值是. 故选：A. 【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法： （1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决； （2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解. 7. 已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据得到函数在上单调递增，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性即可求解. 【详解】不妨设，令 则， 则函数在上单调递增， 对于不等式 ，由定义域可知， 所以不等式可化为， 即， 因为在上单调递增；所以或（舍去）， 所以不等式的解集为. 故选：. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．有错误选项的给0分，选对但不全的按照比例给分．） 8. （多选）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（ ） A. 等腰梯形 B. 非矩形的平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别画出满足要求的截面图形，可得ABD均正确；假设五边形为正五边形，由面面平行的性质结合相似性以及勾股定理得出矛盾结论可判断C. 【详解】A选项，画出截面图形如图1，分别是所在棱的中点， 四边形为等腰梯形，故A正确； B选项，在正方体中， 作截面（如图2所示）分别交于点， 根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且， 故四边形是平行四边形，但不一定是矩形，故B正确； C选项，经过正方体的一个顶点去截可得到五边形（如图3所示）， 假设五边形为正五边形， 设正方体棱长为2，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 设，则，， 由于∽，所以，即， 设，则，故， 由勾股定理得， 令，即，化简得， 由得，故，即， 故，，， 解得，此时，两点重合，同理可得也重合，不满足要求，故假设不成立， 不可能是正五边形，故C错误； D选项，取六边形的中点， 依次连接得到六边形，其中各边长度均相等， 六边形为正六边形（如图4所示），故D正确． 故选：ABD 9. 在中，为的中点，为的中点，若，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的数量关系计算判断A，应用平面向量数量积公式及运算律计算判断B，根据面积公式得出，再计算数量积公可判断C，先应用数量积运算律计算，最后应用基本不等式得出最小值判断D. 【详解】在中，为的中点，为的中点， 所以，A选项正确； ，B选项错误； 因为，又因为的面积为，则， 所以，C选项正确； ， 当且仅当时取的最小值为. 故选：AC. 10. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上既不是奇函数也不是偶函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数新定义计算判断A，B，D，结合函数奇偶性定义判断C. 【详解】对于A，由表示不小于的最小整数，，显然A正确； 对于B，令，则，解得，又为整数，由定义知，故B错误； 对于C，，则，则既不是奇函数，也不是偶函数，故C正确； 对于D，，若，则， 即，则， 又，由不等式的性质可得，，则，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．双空题第一问2分，第二问3分．） 11. 若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】画出函数与的图象，进而确定正确答案． 【详解】画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知， 故答案为：． 12. 已知，函数在上单调递减，则的取值个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题在上单调递减，利用整体法可知，解不等式结合题目条件即可求解. 【详解】，不妨先取， ，， 令，则在上单调递减， 所以，解得，， 又，所以， 又，所以可以为2，3，4，10共4个取值 故答案为：4. 13. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为______.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求解析式，可利用以下结论来求解： （1）若函数与的图象关于点对称，则； （2）若函数与的图象关于直线对称，则. 四、解答题（本题共5个小题，共77分．要有必要的解答和证明过程） 14. 如左图所示，在中，，，. （1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； （2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出直角的各个边长，再用公式求旋转体圆锥的表面积即可； （2）几何体是图中阴影部分绕直线 旋转半周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，最后除以2可得几何体的体积． 【小问1详解】 由题知：在中，，，. 可得：，. 该几何体是绕直线旋转一周所得旋转体, 是一个以为底面半径，为高的圆锥， 设圆锥的侧面积为：，底面积为：. 旋转体的表面积为+ 【小问2详解】 该几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球， 由图知，则， 所以圆锥的底面半径，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体的体积为：. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 ，， ，， 由余弦定理得， 又，. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 16. 如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． （1）求证：． （2）若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）8 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 【点睛】 17. 已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． （1）求函数的解析式； （2）若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 【答案】（1） （2）①； ②当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 【解析】 【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得； （2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值； ②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数. 【小问1详解】 （1）由得，对称轴为， 设， ∴，得， ∴． 【小问2详解】 （2）①，，对称轴， ⅰ当即时，在单调递增， ， ⅱ即时，在单调递减，在单调递增， ∴， ⅲ当即时，在单调递减， ， 综上： ②画出函数的图象图下图所示： 利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示： 方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知： 当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解. 18. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】（1） （2）是，理由如下： 由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 因为集合，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市“八校联盟”2025年高一创新实验班11月联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分；150分 命题学校：武冈二中 审题学校：新宁县一中 注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案填写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. “关于的方程的解集为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，，，点沿运动，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．有错误选项的给0分，选对但不全的按照比例给分．） 8. （多选）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（ ） A. 等腰梯形 B. 非矩形的平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 9. 在中，为的中点，为的中点，若，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 10. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上既不是奇函数也不是偶函数 D. 若，则 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．双空题第一问2分，第二问3分．） 11. 若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______． 12. 已知，函数在上单调递减，则的取值个数为______． 13. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为______.若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分．要有必要的解答和证明过程） 14. 如左图所示，在中，，，. （1）将绕直线旋转一周得到的旋转体，求该旋转体的表面积； （2）如右图所示，在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点），图中阴影部分绕直线旋转半周得到的旋转体，求该旋转体的体积. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16. 如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． （1）求证：． （2）若正方形的边长为2，求的最大值． 17. 已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③． （1）求函数的解析式； （2）若，，求： ①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数． 18. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $