广东省佛山市大良街道梁开中学、凤城实验中学、顺峰中学等2025-2026学年九年级上学期第二次学科素养测试数学试卷

2025 学年第一学期九年级第二次学科素养测试 数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分． 试题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C A C D B B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分． 11．-4 12．（2 ，4） 13． 14．4 15 ． 三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分． 16．（1）二； ………………………………………………………………………………2 分 （2）解： x2 一 2x 一1 = 0 ． 移项，得 x2 一 2x =1． ……………………………………………………1 分 配方，得 x2 一 2x +12 = 1+ 12 ， ………………………………………………2 分 即 (x 一1)2 = 2 ．……………………………………………………3 分两边开平方，得 x 一 ．…………………………………………………4 分 所以， x x2 = 1一 ．……………………………………………5 分 17 ．解：列表如下： n m 0 1 2 0 （0 ，0） （0 ，1） （0 ，2） 1 （1 ，0） （1 ，1） （1 ，2） 2 （2 ，0） （2 ，1） （2 ，2） 3 （3 ，0） （3 ，1） （3 ，2） ………………………………………………………………………………………………4 分共有 12 种等可能的结果，…………………………………………………………………5 分其中小明、小凡随机抽取的数恰好使关于 x 的一元二次方程x2 一 2mx + n2 = 0 有两个不相 等的实数根的结果有 6 种， ……………………………………………………………………6 分所以，所求的概率为 ． ……………………………………………………………7 分 九年级数学参考答案 第 1 页 共 6 页 18．解：（1）将A代入y 得 m = -2 ． ………………………………………1 分 所以，反比例函数的表达式为y ． ……………………………………2 分将B(n，-1) 代入y ，得 n = 2 ． 所以，B(2，-1) ． ………………………………………………………………3 分将A(-1，2) ，B(2，-1) 代入y = kx +b ，得 ………………………………………………………………4 分 解得 所以，一次函数的表达式为y = -x + 1 ； ……………………………………5 分 （2）-1< x < 0 或x > 2 ． …………………………………………………………………2 分 四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分． 19．解：（1）设该平台这两个月销售量的月均增长率为 x ，得 2(1+ x)2 = 2.88 ． ………………………………………………………………2 分解得 x1 = 0.2，x2 = -2.2 （舍去）． 所以，该平台这两个月销售量的月均增长率为20%； ……………………4 分 （2）设每套公仔应降价y 元，得 (180 -y -130)(20 + 2y) = 1600 ．…………………………………………………2 分解得 y1 = 30，y2 = 10 （舍去）． 所以，每套公仔应降价 30 元．…………………………………………………5 分 九年级数学参考答案 第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 20．（1）如答20 图，直线 EF 为所求；…………………3 分 （2）解：如答 20 图，连接 DE ．由（1）知 EF 垂直平分 AD， ∴AE＝DE． ∴ ∠EAD = ∠EDA ．……………………………1 分∵AD 平分∠BAC， ∴ ∠BAD = ∠CAD ．……………………………2 分 ∴ ∠EDA = ∠CAD． 答 20 图 ∴DE∥AC． ……………………………………3 分∴ ∠BED = ∠BAC， ∠BDE = ∠BCA． ∴△BED ∽△BAC．……………………………4 分 设 AE＝x ，则 DE＝x ，BE ＝6-x， . ……………………………………5 分解得x ． ∴AE 的长为 ．………………………………6 分 21．（1）解： ∵AC∥DE， ∴ ∠ACB = ∠DEC．……………………………1 分∵ ∠ABC = ∠DCE ＝90° , ∴△ABC∽△DCE ．……………………………2 分 , 即 ．…………………3 分∴ AB = 15 ． ∴旗杆 AB 的高度为 15 m ；……………………4 分 （2）方案：选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面∠平放一面镜子，在镜子∠做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子∠的标记重合，如答21 图，测出观测者的眼睛离地面的高度 CD 为h ，标记点与观测者的距离CE 为 a ，标记点与旗杆的距离 BE 为b． ……………………………………………………2 分∵ ∠ABE = ∠DCE ＝90° , ∠AEB = ∠DEC， ∴△ABE∽△DCE ．……………………………3 分 , 即 ．……………………4 分∴ AB ． ∴旗杆 AB 的高度为 ．………………………5 分 答 21 图 九年级数学参考答案 第 3 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14 分，共 27 分． 22．（1）解：在正方形 ABCD 中， AB = BC = 2 ，∠ABC = 90° ，∠BAC = 45° ． 由折叠得，CB’= CB = 2 ，BE = B’E ，EB’C = ∠EBC = 90° ． ∴ AB’= AC - B’C = 2 - 2 ，∠AB’E = 90° ． ∴△AB ′E 是等腰直角三角形． ∴ BE = B ．……………………………………………………………4 分 （2）BE = AF + B’F ． 证明：连接 BB′ 交 CE 于点 G ，延长 BB′ 交 AD 于点 H，如答 22-1 图． 由折叠得，BB’丄 CE ，CB = CB’． ∴ ∠BGC = 90° ，∠CBB’= ∠CB’B ． ∴ ∠BCE + ∠CBG = 90° ． ∵ ∠ABH + ∠CBG = ∠ABC = 90° ， ∴ ∠ABH = ∠BCE ． ( 答 22 - 1 图 )∵ ∠BAH = ∠EBC = 90° ，AB = BC ， ∴△ABH≌△BCE． ∴AH＝BE． ∵AD∥BC， ∴ ∠CBH = ∠AHB ． ∴ ∠AHB = ∠CB’B ． ∵ ∠FB’H = ∠CB’B ， ∴ ∠AHB = ∠FB’H ． ∴ FH = FB’． ∴ AH = AF + FH = AF + B ’F ． ∴ BE = AF + B’F ．…………………………………………………………………5 分（3）解：连接 CG ，在 Rt△CDG 中，DG＝AG ＝1 ，CD ＝2， ∴ CG ． ∵ GB’+ CB’≥ CG ， 当点 B′ 落在 CG ∠时，GB ′ 的长最短， 答 22-2 图 此时GB ，如答 22-2 图． 九年级数学参考答案 第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 由（2）知，BE = AG + GB ． ∴当 GB ′ 的长最短时，AE 的长为 ．………………………………………4 分 ；……………………………………………………………………………2 分 ②点 D ，E 分别为线段 BC，AB 的中点．证明： 在矩形 OABC 中，BC = OA = 2 ，AB = OC ，∠OCB = ∠ABC = 90° ． ∴ ∠COD + ∠CDO = 90° ． ∵ OD 丄 DE ， ∴ ∠CDO + ∠BDE = 90° ． ∴ ∠COD = ∠BDE ． ∴△COD ∽△BDE． ∵点 D ，E 在反比例函数y 的图象∠， ∴ CD = 1 ，k ． ∴ AE ． ∴点 D ，E 分别为线段 BC，AB 的中点．…………………………………………6 分（2）点 F，E 分别为线段 OA，AB 的黄金分割点．证明： ∵OD∥EF， ∴ ∠DOF = ∠EFA ． 九年级数学参考答案 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠DFO = ∠EAF = 90° ， ∴△DOF∽△EFA． 设D ，E ， ∴ OF = m ，DF OA = n ，AE ． , 即 ． ∴点 F 为线段 OA 的黄金分割点． n — m m m n ∴点 E 为线段 AB 的黄金分割点．…………………………………………………6 分 九年级数学参考答案 第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $机密★启用前 2025学年第一学期九年级第二次学科素养测试 数学试卷 本试卷共6页，23小题，满分120分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和 座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己 的考场号和座位号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.如题1图是一个正三棱柱，则它的主视图是 正面 题1图 D. 2.用配方法解方程x2-14x-8=0时，配方结果正确的是 A.（x+7)2=41 B.（x+7)2=57 C.（x-7)2=41 D.（x-7)2=57 3.若△1BC△DK,且报=子，若△DEF的面积为8，则△ABC的面积为 A.4 B.3 C.2 D.1 4.若点A(-5,),B(-3,2),在反比例函数y=4的图象上，则1,2的大小关系是 A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法确定 九年级数学第1页（共6页） 5.若m是一元二次方程x2+x-1=0的一个根，则2m2+2m+2023的值为 A.2021 B.2023 C.2025 D.2026 6.一个不透明的口袋中装有个红球，为了估计红球的个数，向口袋中加入2个白 球，它们除颜色外其它完全相同.通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳 定在90%附近，则n的值为 A.18 B.20 C.22 D.24 7.如题7图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O,AB=6,OA=4, 则AD的长为 A.10 B.3V5 C.2V7 D.4 题7图 8.点(a,b)在函数y=2图象上，下列说法正确的是 A.y随x的增大而减小 B.当x=-4时，y=-2 C.当y≥-1时，x≤-2 D.点(b,a)和(-b,-a)都在图象上 9.如题9图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,且∠ADB=∠BAC. 若AB=6,AD=4,AC=7,BD=8,则CE的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 题9图 10.如题10图，在边长为6的正方形ABCD外侧作△CDE,且CE=DE=5.若F为 AE的中点，连接DF并延长交BC于点G,则DG的长为 A.7 B.2V13 C.3V6 D.8 题10图 九年级数学第2页（共6页） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分， 11.若方程x2=一4x的两根为1,2，则x1+x2= 12.如题12图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位 似中心是原点0.若AB:DE=1:2,则C(1,2)的对应点F 0 AD 的坐标是 题12图 13.如题13图，在△ABC中，DE∥BC,分别交AB,AC于点D、E.若AD=3,DB=2, BC=6,则DE的长为 A(9,4) D B 题13图 题14图 R/Q 题15图 14.蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(2)之间的 函数关系如题14图所示.若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 3A,原电路中已经有一个82的定值电阻，则至少应再串联一个 2 的电阻才可以保证电路安全 15.如题15图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作AH⊥BC, 垂足为点H,连接0H.若BD=16,OH=6,则AH的长为 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16.在用配方法解方程x2-2x-1=0时，小颖的解法如下： 第一步：移项，得 x2-2x=1 第二步：配方，得x2-2x+22=1+22, 即 (x-2)2=5 第三步：两边开平方，得x-2=±V⑤ 第四步：所以，x1=2+V5,2=2-V5. (1)小颖的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程， 九年级数学第3页（共6页） 17.九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动：A箱中装有4 张相同的卡片，它们分别写有数字0,1,2,3；B箱中装有3张相同的卡片，它们 分别写有数字0,1,2；小明从A箱中随机抽取一张，将其数字作为m的值，小 凡从B箱中随机抽取一张，将其数字作为n的值.求小明、小凡随机抽取的数 恰好使关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有两个不相等的实数根的概率。 18.如题18图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m 的图象相交于A(-1,2),B(n,-1)两点. (1)求一次函数与反比例函数的表达式： (2)直接写出kx+b-m<0时，x的取值范围. 题18图 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19.2025年第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办，全运会吉祥物“喜洋洋” “乐融融”公仔爆红.据统计“喜洋洋”“乐融融”公仔套装在某电商平台8月份 的销售量是2万套，10月份的销售量是2.88万套， (1)求该平台这两个月销售量的月均增长率； (2)某店铺将进货价为130元的“喜洋洋”“乐融融”公仔套装以180元售出，每 天能销售20套.为了推广宣传，同时尽快减少库存，商家决定采取适当的降 价措施.调查发现，这款套装的售价每降低2元，平均每天就能多售出4套， 商家要想平均每天盈利1600元，每套公仔应降价多少元？ 九年级数学第4页（共6页） 20.如题20图，AD是△ABC的角平分线 五 (1)尺规作图：作线段AD的垂直平分线，分别与AB,AC相交于点E,F;(保留 22 作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若AB=6,AC=9,求AE的长 D 题20图 21.综合与实践 活动主题：测量学校旗杆的高度· 测量工具：标杆，小镜子，皮尺 【方案设计】 2 某“综合与实践”小组利用阳光下的影子测量旗杆的高度.如题21图，该小组选 一名身高为1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端C处，其他人分为两部分，一 部分测量该同学的影长CE为2.4m,另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长 BC为22.5m. 【问题解决】 (1)求旗杆AB的高度； 【评价反思】 (2)设计其他方案计算旗杆AB的高度.要求：画出图形，简要说明设计方案，测 量数据用a、b、h等小写字母表示. B 题21图 九年级数学第5页（共6页） 五、解答题（三：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分. 22.在边长为2的正方形纸片ABCD中，点E在AB边上，连接CE,将△BCE沿CE 折叠，得到△B'CE. (1)如题22-1图，若点B落在对角线AC上，求BE的长； (2)如题22-2图，若CB的延长线与AD相交于点F,猜想BE,AF,BF的数量 关系，并证明； (3)如题22-3图，点G是AD的中点，连接GB',当GB的长最短时，求AE的长. G D D B B B B 题22-1图 题22-2图 题22-3图 23.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A,C分别在x轴，y轴上，反比 例函数y=k(k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边BC,AB相交于点D, E. (1)如题23-1图，若0A=V20C=2 ①点B的坐标是 ②连接OD,DE,当OD⊥DE时，探究点D,E是否分别为线段BC,AB的中 点，并证明； (2)如题23-2图，过点D作DF⊥OA,垂足为点F,连接OD,EF当OD∥EF时， 探究点F,E是否分别为线段OA,AB的黄金分割点，并证明. A 0 题23-1图 题23-2图 九年级数学第6页（共6页）