5.4 用一次函数解决问题（第2课时 根据一次函数图象解决实际问题）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“根据一次函数图象解决实际问题”，通过运输费用对比情境导入，关联学生已有的一次函数概念与图象基础，搭建从识图到分析交点意义、函数值比较的学习支架。 以运输费用、列车速度、广告屏面积等真实情境驱动，通过探究交点分界、分段函数建模，发展几何直观与模型观念。中考链接与分层作业结合，助学生内化建模过程，提升教师教学效率，落实核心素养。

5.4 用一次函数解决问题（第2课时 根据一次函数图象解决实际问题） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版八年级数学上册第五章“一次函数”第4节“用一次函数解决问题”第2课时，核心知识点在于通过一次函数图象分析和解决实际应用问题。教材安排此内容旨在巩固学生对一次函数模型的理解与应用，引导学生在数形结合的情境中提升问题建模能力。 2.内容解析 本节以“根据一次函数图象解决实际问题”为主线，通过“运输费用对比、列车速度变化、电子广告屏动态展开”等实例，展现一次函数图象在实际生产、生活中的灵活运用。学生先通过识图明确横纵坐标分别表示的实际意义，再利用交点、函数值大小关系等几何与代数特征，直观判断费用或速度等量变化的临界点和对应取值区间。在此过程中，学生不仅掌握一次函数的应用背景和基本图象性质，也能进一步体会数形结合思想对问题分析与解答的高效性。重点在于识别图象中的关键点，理清自变量与因变量的量化关系；难点在于结合实际场景准确建模，并利用图象特征解读函数关系。 1.教学目标 •能根据实际生活情境建立一次函数模型，并结合函数图象及函数表达式性质解决问题。 • 通过建立实际情境、函数表达式、函数图象等之间的关联过程，发展几何直观、模型观念和应用意识。 2.目标解析 •目标1侧重学生从真实问题中提炼数学模型，运用一次函数表达式及图象进行分析并作出合理决策；•目标2强调在数形结合的思维环境中，学生形成模型思维和应用意识，并锻炼几何直观判断能力。 3.重点难点 • 教学重点：运用一次函数图象分析实际问题，掌握关键点坐标意义与交点应用。 • 教学难点：建立恰当的函数模型并借助图象判断区间内函数值的大小关系。 学生已掌握一次函数的基本概念与表达式，具备一定的方程与函数解题基础；对图象与代数表达的对应关系已有初步经验。当前主要难点在于把实际情境转换成函数模型的思路不够清晰，尤其在应用场景中更需注重对图象特点及常见几何量的准确理解与运用。 创设情境，引入新课 教师呈现以下生活情境，引导学生思考： 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择. 汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示．你认为哪种运输方式花费较少？ 【设计意图】通过真实的场景(农产品运输)引出一次函数在生活中的运用，引发学生兴趣。回顾一次函数的基本概念与图象特征，让学生带着问题进入本节新课，明确学习方向。 探究点1：根据一次函数图象比较两个函数值的大小 教师出示“汽车、火车两种运输方式费用图象”的问题情境，并提出以下问题： 1. 图象的横轴与纵轴分别表示什么实际意义？ 横轴表示运输的里程,纵轴表示运输的费用. 2. 图象中两条直线有一个交点，该交点及其坐标在实际情境中意味着什么？ 运输里程为80km时,汽车和火车的运输费用都是570元. 3. 交点前后，自变量取相同值时，两种费用的大小关系如何变化？ 交点前，自变量取相同的值时，汽车运输费用小于火车运输费用；交点后，自变量取相同的值时，汽车运输费用大于火车运输费用． 师生活动： 教师提问并组织学生讨论“图象横纵坐标的实际意义”，学生回答： o 横轴表示运输里程； o 纵轴表示运输费用。 教师追问交点处的含义，引导学生观察：当时，汽车和火车运费相同，都是元。 教师组织学生小组探究交点前后对比： o 当时，汽车费用小于火车费用； o 当时，汽车费用大于火车费用。 学生汇报、教师点评：可通过图象直接观察对比，也可列不等式进行运费大小比较，借机强调“一次函数图象中交点的分界意义”。 【设计意图】让学生在数形结合的场景中感受一次函数图象的直观性，体悟到“交点是函数值相等的分界”这一重要思想。激发学生分析和表达的热情，进一步巩固“图象识读”与“函数比较”的能力。 探究点2：应用一次函数图象求解速度、路程等实际量 教师展示例2： 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min． (1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？ (2) 列车发车12 min时的速度是多少？ 师生活动： 1. 教师指导学生先说明图象中横纵坐标的意义： o 横轴表示列车运行时间； o 纵轴表示列车运行速度。 2. 学生观察图中若干关键点及线段： o 表示当 min， km/min； o 表示当 min， km/min； o 表示当 min，列车停止行驶。 3. 分组讨论：图中三条线段的实际意义是什么？ 当行驶时间在0～3 min时，列车行驶速度随时间均匀增加； 当行驶时间在3～10 min时，列车行驶速度不变，始终是5km/min； 当行驶时间在10～14 min时，列车行驶速度随时间均匀减小． 4. 解答： (1) 由图可知：当3≤t≤10时，v＝5 km/min． 在3～10 min这个时间段列车运行的路程为5×(10－3)＝35(km)． (2)当10≤t≤14时，设函数表达式为v＝kt＋b．函数图象经过点(10，5)和(14，0). 将这两个点坐标分别代入函数表达式，得 解这个方程组，得 所以当10≤t≤14时，v关于t的函数表达式为v＝－1.25t＋17.5． (2) 当t＝12时，v＝－1.25×12＋17.5＝2.5(km/min)． 所以列车发车12 min时的速度是2.5 km/min． 思维提升：列车出发多久，行驶速度为2.5km/min？ 解：当0≤t≤3时，设函数表达式为v＝k1t． 函数图象经过点(3，5)． 将这个点坐标分别代入函数表达式，得5＝3k1， 解得k1＝，所以当0≤t≤3时， v关于t的函数表达式为v＝t． 当v＝2.5时，t＝×＝ (min)． 所以列车出发min时的速度是2.5 km/min． 【设计意图】通过速度与时间关系的图象，让学生再一次体验“图象与方程”间的转换过程，发展模型观念。让学生体会分段函数表达与关键坐标点的重要性，强调对图中特殊点的识读与应用。 探究点3：利用一次函数模型求解平面图形中的面积变化 教师出示例3： 如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB＝8m，AD＝6m．动态效果设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面． (1) 写出屏幕展开面积S m²关于点P 的运动时间t s的函数表达式，并画出函数图象； (2) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积． 师生活动： 1. 教师提问： o “点P在上运动时，已展开的三角形面积怎样与成正比？” o “当P拐到边后，展开的图形又是怎样计算面积的？” 2. 学生结合课本图示，小组讨论： 3. 师生共同写出解析： 解：(1)当点P在边AB上运动时， S＝AD×AP＝×6×2t＝6t． 此时，t的取值范围是0≤t≤4． 当点P在边BC上运动时， S＝(BP＋AD)×AB＝(2t－8＋6)×8＝4(2t－2)＝8t－8． 此时，t的取值范围是4≤t≤7． 所以函数表达式为 当0≤t≤4时，S＝6t；当4≤t≤7时，S＝8t－8． 函数图象如图所示． (2)当S＝×8×6＝16(m2)时，开始播放广告语， 此时点P在边AB上运动，则6t＝16，解得t＝． 当t＝＋3＝(s)时，广告语播放结束， 此时点P在边BC上运动，则S＝8×－8＝(m²)． 电子屏幕未展开的面积为6×8－＝(m²)． 所以电子屏幕未展开的面积为m²． 4. 学生阐述、教师总结： （1） 两个一次函数图象的交点意味着当自变量取某个数值时，两个函数值相等．以这个交点为分界，在左、右两边各取一个自变量值时，函数值的大小比较完全相反． （2）解决与函数图象相关的实际问题，关键是从图象中获取解题信息，这是数形结合思想的具体体现，识图的关键是弄清函数图象上一些关键点的意义．从x轴、y轴的实际意义去理解图象上点的坐标的实际意义尤为重要． 【设计意图】借助动态广告屏故事，帮助学生认识如何把平面图形面积视作“一次函数”去研究，深化对“变量间线性关系”的建模意识。让学生动手分组讨论并用图象验证结论，培养几何直观和综合运用函数知识的能力。 1. 设计两个不同的情境，使情境中的两个变量x，y的函数关系可以用下图表示． 解：答案不唯一． 如小明从家出发匀速跑步，8min时离家2km， 他原地休息了6min后再用10min回到家； 向一个容积为2L的空水槽中匀速注水，8min 装满则停止注水，再过6min后，打开排水口， 10min后水槽中的水排空． 2.某市居民用电实行阶梯电价制度,收费标准为：每户居民每月用电量不超过240kW·h，按0.5元/(kW·h)收费；用电量超过240kW·h的部分，按0.6元/(kW·h)收费． (1) 画出每月应缴纳的电费y元关于用电量x kW·h的函数图象； (2) 小明家6月、7月分别用电200kW·h和260kW·h，应缴纳电费各多少元？ 解：(1) 由题意可知，当0≤x≤240时，y＝0.5x； 当x＞240时，y＝120＋0.6(x－240). 函数图象如图所示： (2) 当x＝200时，y＝0.5×200＝100(元)； 当x＝260时，y＝120＋0.6×(260－240)＝132(元)． 中考链接： 1.（2024·济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A，B两款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW·h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 　12　kW·h． 2. （2024·牡丹江）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 h到达目的地．甲、乙两车之间的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1） 甲车行驶的速度是 　70　km/h，并在图中括号内填上正确的数； （2）求图中线段EF所在直线对应的函数表达式； 解：∵乙车比甲车早 h到达目的地， ∴甲车 h行驶的路程为200－180＝20(km)， ∴甲车行驶的速度为20÷＝70(km/h)． ∴A，C之间的路程为70×(4＋)＝300(km)． (2)由图，可知点E，F的坐标分别 为 ，(4，180). 设线段EF所在直线对应的函数表达式为 y＝kx＋b，则 解得 ∴ 线段EF所在直线对应的函数表达式为y＝120x－300． 1. 课题：5.4 用一次函数解决问题（第2课时） 2. 问题情境与图象分析： • 汽车、火车运输费用图象 • 交点意义、函数值比较 3.典例展示： • 列车速度-时间关系图 • 电子广告屏展开面积图 4.小结：一次函数图象辨析要点 • 读懂坐标轴意义 • 把握交点、斜率、截距等关键信息 1. 课本相关练习。 2. 自主编写一个与日常生活相关的情境，利用一次函数图象表达两种方案，并分析何时二者费用（或量值）相等，以及不同自变量范围内哪种方式更优。 3. 继续完成与列车或广告屏场景相似的问题扩展：可改编速度曲线或展开面积的数值，尝试自编并求解。 本节课在达成“根据一次函数图象分析并解决实际问题”这一目标上基本顺利，学生对一次函数图象的阅读与理解能力得到明显提升，能够结合坐标轴实际含义进行函数值大小比较。然而，在引导学生用方程或不等式建模时，部分学生对分段函数的建立还存在一定困难，需要我们在后续教学中给予更多情境示例，让学生充分讨论、尝试和应用。下阶段将优化学习环节，适当增加小组合作与讨论的时间，帮助学生更好地内化一次函数的建模过程。 学科网（北京）股份有限公司 $