5.4 用一次函数解决问题 教学设计 2025-2026学年苏科版八年级上数学册

本文围绕苏科版初中数学八年级上册“用一次函数解决问题”展开，通过多个实际情境，引导学生建立函数模型。课程承接一次函数基础知识，为后续函数综合应用奠基，呼应数学与生活联系的主题。教学中，借助实例分析等环节，培养学生数学抽象、建模等核心素养。 该设计亮点在于紧密联系生活，采用问题驱动等教法。从学生层面看，提升解决实际问题能力；从教师层面看，提供清晰授课思路；从课堂效果看，有效突破函数建模这一教学难点。

苏科版初中数学八年级上册 第5章 一次函数5.4 用一次函数解决问题 教学设计 一、内容和内容解析 内容 本节课主要内容是运用一次函数模型解决实际问题，包括从实际问题中抽象出函数关系、建立函数表达式、利用函数求值或判断函数性质，并综合运用函数图象进行分析。课程通过纸杯叠放高度、工厂利润计算、蓄水池注水、书籍堆放高度、运输方式选择、列车运行分析、动点运动面积问题等多个实际情境，引导学生理解一次函数在现实生活中的广泛应用。 内容解析 一次函数是初中数学的核心内容之一，其应用贯穿于实际问题的建模与求解过程中。本节课程重点在于培养学生从具体情境中提取数学信息、建立函数模型，并运用函数进行分析与预测的能力。通过解决多个实际问题，学生将进一步理解函数与自变量之间的关系，掌握函数表达式的建立方法，并学会利用函数图象辅助分析问题，提升数学建模与应用的素养。 二、目标和目标解析 1. 目标 1. 能够从实际问题中识别出一次函数关系，并写出函数表达式 1. 能够利用函数表达式进行计算、预测或判断 1. 能够结合函数图象分析实际问题，做出合理决策 2. 目标解析 通过本节课的学习，学生应能在具体情境中识别出两个变量之间的一次函数关系，并能根据已知条件写出函数表达式。在此基础上，学生应能运用函数进行数值计算、预测未知情况或进行最优选择。此外，学生还应能结合函数图象，直观理解函数的变化趋势，辅助解决实际问题，提升数形结合的能力。 三、教学问题诊断分析 1. 实际问题抽象为函数模型的困难：部分学生难以从文字描述中提取出数学关系，尤其是忽略初始条件或单位换算 1. 函数表达式建立不准确：如忽略常数项、斜率理解错误等 1. 函数图象与实际问题结合能力较弱：学生往往只会计算，不会利用图象进行分析和判断 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 某工厂生产纸杯，每个纸杯高度为7.5 cm，每多叠放一个纸杯，总高度增加0.5 cm。若一摞纸杯有5个，总高度是多少？ 引导分析： 第一个纸杯高度为7.5 cm，每增加一个纸杯，高度增加0.5 cm。 5个纸杯的总高度 = 第一个纸杯高度 + 4个增加的高度 = 7.5 + 4 × 0.5 = 7.5 + 2 = 9.5 cm 问题2 若一摞纸杯有10个，总高度是多少？ 引导分析： 10个纸杯的总高度 = 第一个纸杯高度 + 9个增加的高度 = 7.5 + 9 × 0.5 = 7.5 + 4.5 = 12 cm 问题3 你能写出纸杯总高度 y 与个数 x 之间的函数关系吗？ 引导分析： 第一个纸杯：高度为7.5 cm 每增加一个纸杯：高度增加0.5 cm x个纸杯的总高度：y = 7.5 + 0.5(x - 1) 化简得：y = 0.5x + 7 设计意图：通过生活中常见的叠放物品问题引入，激发学生兴趣，引导学生从具体数据中抽象出函数模型。三个问题层层递进，从具体计算到一般表达式的建立，帮助学生理解函数模型中斜率与常数项的实际意义，为目标1的达成奠定基础。 （二）合作探究1 探究背景：某工厂每天生产一种产品，已知正常运转的固定成本为12000元/天，每件产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出。 问题提出：利润 y（元/天）与生产数量 x（件/天）之间存在怎样的函数关系？ 引导分析： · 总收入：1200x 元 · 总成本：固定成本 + 可变成本 = 12000 + 900x 元 · 利润 = 总收入 - 总成本 函数表达式： 追问1：某天生产了50件产品，这天的利润是多少元？ 分析计算： 元 追问2：要使得工厂的利润超过9000元/天，每天至少需要生产多少件产品？ 分析建立不等式： 结论：每天至少需要生产71件产品。 设计意图：通过工厂利润的实际问题，引导学生建立一次函数模型，并运用函数进行数值计算和不等式求解。追问环节延伸了知识点的应用，培养学生从函数关系到不等式解决的数学思维能力，对应目标2。 （三）巩固练习1 练习1：若某天生产80件产品，利润是多少？ 元 练习2：若要利润达到15000元，每天需要生产多少件产品？ 件 知识点：一次函数的求值和解方程应用 （四）合作探究2 探究背景：通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m³；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m³。 问题提出：蓄水池的水量 Q(m³) 与注水时间 t(h) 之间存在怎样的函数关系？ 引导分析： 设函数关系为：Q = kt + b 代入已知点： · 当 t = 1 时，Q = 400：k + b = 400 · 当 t = 2.5 时，Q = 850：2.5k + b = 850 解方程组： 用第二式减第一式： 1.5k = 450 ⇒ k = 300 代入第一式： 300 + b = 400 ⇒ b = 100 函数表达式： 追问：注水前，蓄水池里有水吗？如果有，有多少立方米？ 分析：当 t = 0 时，Q = 300 × 0 + 100 = 100 m³ 说明注水前蓄水池中已有100 m³水 研究3：当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000m³？ 建立方程： 小时 设计意图：通过蓄水池注水问题，培养学生从实际数据中建立函数模型的能力。通过求解方程组确定函数表达式，理解斜率k和截距b的实际意义。追问和研究3环节延伸了知识点的应用，培养学生利用函数进行预测和求解的能力，对应目标1和2。 （五）典例分析 例1 书店管理员将一批每本厚度为2.4 cm的书整理堆放在高度为50 cm的柜子上。考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4 m。 (1) 说明最上面那本书上表面距地面的高度 y(cm) 是书的数量 x 的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围 (2) 每摞最多可以摆放多少本书？ 分析解答： (1) 柜子高度：50 cm 每本书厚度：2.4 cm x本书的总厚度：2.4x cm 最上面书距地面高度：y = 50 + 2.4x 自变量的取值范围：x ≥ 1（至少有一本书），且为整数 (2) 安全要求：y ≤ 140 cm（1.4 m = 140 cm） 建立不等式：50 + 2.4x ≤ 140 2.4x ≤ 90 x ≤ 37.5 因为x为整数，所以最多可放37本书 设计意图：通过书籍堆放的实际问题，引导学生建立函数模型并结合不等式求解。这个例题综合运用了函数表达式建立和不等式求解，培养学生解决实际问题的综合能力，对应目标3。 （六）巩固练习 例1 光在空气中传播的速度约是3×10⁸ m/s。 (1) 说明光的传播距离 y(m) 是传播时间 t(s) 的函数，并写出函数表达式 (2) 计算在3000 m高空形成的闪电传播到地面需要多久 解答： (1) y = 3 × 10⁸t (2) t = y/(3 × 10⁸) = 3000/(3 × 10⁸) = 10⁻⁵ s 知识点：正比例函数的建立和应用 例2 小明用软件制作演示文稿，设置每张幻灯片停留5s，切换到下一张需要1s。 (1) 说明总播放时间 t(s) 是幻灯片数量 x(张) 的函数，并写出函数表达式 (2) 如果总播放时间不能超过3min，那么最多可放置多少张幻灯片？ 解答： (1) t = 5x + (x - 1) = 6x - 1 (2) 3min = 180s 6x - 1 ≤ 180 6x ≤ 181 x ≤ 30.16 最多可放置30张幻灯片 知识点：函数表达式的建立和不等式求解 例3 公路上有 A、B、C 三个汽车站，一辆汽车 8:00 从离 A 站 10 km 的 P 地出发，向 C 站匀速行驶，15 min 后离 A 站 30 km。 (1) 设出发 x h 后，汽车离 A 站 y km，说明 y 是 x 的函数，并写出函数表达式 (2) 当汽车行驶到离 A 站 250 km 的 B 站时，接到通知要在 12:00 前赶到离 B 站 60 km 的 C 站。汽车按原速度行驶，能否在规定时间前到达？ 解答： (1) 15 min = 0.25 h 行驶距离：30 - 10 = 20 km 速度：v = 20/0.25 = 80 km/h 函数表达式：y = 80x + 10 (2) 到B站时间：250 = 80x + 10 ⇒ 80x = 240 ⇒ x = 3 h 此时时间为：8:00 + 3 h = 11:00 到C站还需行驶60 km，需时：60/80 = 0.75 h = 45 min 到达C站时间：11:45 12:00前可以到达 知识点：匀速运动问题的函数建模和时间计算 设计意图：通过三个不同情境的巩固练习，帮助学生熟练掌握一次函数在各种实际问题中的应用。每个例题都涉及函数表达式的建立和具体计算，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，对应目标1、2、3。 （七）归纳总结 知识点 说明 示例 一次函数表达式 y = kx + b y = 0.5x + 7 斜率 k 的意义 单位自变量变化引起的因变量变化 每增加一个纸杯，高度增加0.5 cm 常数项 b 的意义 初始值或基准量 第一个纸杯高度7.5 cm 函数图象分析 用于直观分析变化趋势 运输方式选择的图象分析 实际应用 建立模型解决实际问题 利润计算、注水问题等 （八）感受中考 1. （2024·江苏）某公司租车费用与里程关系为 y = 2x + 10，若里程为20 km，费用为多少？ · 答：y = 2 × 20 + 10 = 50 元 · 知识点：一次函数求值 1. （2024·南京）某产品售价为每件100元，成本为每件60元，固定成本为2000元，写出利润 y 与销量 x 的函数关系。 · 答：y = 100x - (60x + 2000) = 40x - 2000 · 知识点：利润函数建立 1. （2025·苏州）某水池初始水量为50 m³，每小时注水20 m³，写出水量 Q 与时间 t 的函数关系。 · 答：Q = 20t + 50 · 知识点：注水问题函数建模 1. （2025·无锡）某书籍每本厚2 cm，书架层高30 cm，最多可放多少本书？ · 答：2x ≤ 30 ⇒ x ≤ 15，最多15本 · 知识点：不等式应用 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 知识点 与其他知识联系 应用领域 一次函数表达式 与方程、不等式结合 经济、工程、物理 函数图象分析 数形结合思想 决策分析、优化问题 实际应用建模 数学建模素养 跨学科问题解决 （十）布置作业 必做题 1. 教材P162练习第1题（蓄水池注水问题） 1. 教材P163练习第2题（书籍堆放问题） 1. 写出光传播距离与时间的函数关系，并计算光从太阳到地球（约1.5×10¹¹ m）所需时间 选做题 1. 设计一个实际情境，使其符合函数 y = 2x + 5 1. 分析某快递公司运费与重量之间的关系，写出函数表达式并画出图象 五、教学反思 （本节课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$