5.4 用一次函数解决问题（第1课时 建立一次函数模型解决实际问题）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

5.4 用一次函数解决问题（第1课时 建立一次函数模型解决实际问题） 教学设计 1.教学内容 本节为新教材苏科版八年级数学上册第五章一次函数第4节“用一次函数解决问题”，重点在于通过现实情境（如纸杯叠放高度、工厂利润计算等）引入一次函数模型，进而让学生掌握如何根据变量关系确立一次函数表达式。 2.内容解析 本节围绕“建立一次函数模型并解决实际问题”展开，先从纸杯叠放等生活实例中找出自变量和因变量，判断它们是否呈现一次函数关系；然后通过已知点和斜率（或增量）求函数解析式，并据此解决与实际情境相关的计算和推断问题。核心在于让学生理解一次函数的模型思想及实际运用价值。 1.教学目标 •利用实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式。 •通过用一次函数表述数量变化及其关系的过程，体会模型思想。 2.目标解析 • 目标1旨在让学生运用已知条件，推导出一次函数的通式或点斜式，掌握由情境到函数表达式的转化方法。 • 目标2旨在让学生通过实例感受“模型”的重要性，能用函数形式简明刻画并预测数量关系。 3.重点难点 重点：通过分析实际问题，灵活建构一次函数表达式。 难点：把现实情境抽象为数学模型过程中，正确提取变量及其关系，并根据边界条件（如自变量取值范围）进行合理解读。 学生已具备一次函数基础概念和一元一次方程求解能力，能进行简单的函数图像描点。但对建模过程的步骤及应用需进一步强化，特别是在真实情境下辨明常量、变量及函数的有效范围，可能存在理解和运用的困难，需要通过实例与讨论引导其完成提升。 创设情景，引入新课 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装。当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ • 纸杯叠放的过程有什么特点？ • 过程中有哪些变量和常量？ 师：引导学生讨论“叠放纸杯的总高度是否随着纸杯个数的增加而按一定规律增长？这是否可以看成函数关系，特别是一次函数关系？” 生：思考、回答并认同纸杯总高度与纸杯个数之间存在一次函数关系。通过此情境可让学生回顾“变量”“常量”以及“一次函数”等概念。 【设计意图】通过贴近生活的纸杯叠放案例，激发学生的学习兴趣。引导学生复习函数与一次函数的基础知识，明确本节课研究的方向。 探究点1：建立一次函数模型的过程 1. 问题引入 师：在纸杯叠放的情境中，如果已知一个纸杯的高度是9.5 cm，每叠放1个纸杯，纸杯总高度增加0.5 cm，那么我们如何列出纸杯总高度 与纸杯个数 之间的函数表达式？ 生：观察可知，最初1个纸杯高度为9.5 cm，此后每增加1个纸杯就增加0.5 cm，故有 .. 师：验证并用给定的纸杯个数（如 ）代入表达式，看看是否与已知总高度相符合。 当x＝5时，y＝9.5＋0.5×(5－1)＝11.5cm； 当x＝10时，y＝9.5＋0.5×(10－1)＝14cm； 当x＝15时，y＝9.5＋0.5×(15－1)＝16.5cm； 当x＝20时，y＝9.5＋0.5×(20－1)＝19cm； 当x＝25时，y＝9.5＋0.5×(25－1)＝21.5cm． 2. 师生活动 o 教师演示：将表达式 代入若干取值，帮助学生理解一次函数如何刻画叠放高度这一过程。 o 学生小组讨论：一次函数描述实际问题的思路，即“从情境中抽象出变量→写出一次函数表达式→验证合理性”。 3. 归纳总结 o 一次函数模型能够简洁地描述如纸杯叠放高度等“均匀增加”现象。 o 通过变量间的线性关系来建立函数表达式，是解决此类实际问题的核心方法。 【设计意图】通过“纸杯叠放”这一具体生动的情境，使学生体会从生活中抽象出一次函数模型的过程，突破“建模”难点，培养数学应用与抽象思维能力。 探究点2：用一次函数模型解决实际问题 1. 问题引入 师：展示典型实例，引导学生思考“一次函数如何帮助我们计算并预测利润或高度等实际需求”。 典例分析： 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出。 （1）说明每天的利润 （元）是生产数量 （件）的函数，并写出函数表达式； （2）如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元？ 解：(1)根据题意，利润y元随生产产品的数量x件的变化而变化，当产品数量确定 时，利润随之确定，y是x的函数，其函数表达式为 　　　　　　　　　　　　y＝1200x－(900x＋12000)． 即　　　　　　　　　　　y＝300x－12000． (2)当x＝50时，y＝300×50－12000＝3000(元)． 答：这天的利润是3000元． 2. 师生活动 o 教师引导：让学生分析利润随产量变化的线性特点，帮助学生观察“固定成本”对于一次函数中的常数项影响。 o 学生讨论：利用一次函数表达式，还可解有关利润的临界问题（如在例1中，要使得该工厂某天的利润超过9000元，这天至少需要生产多少件产品？）。 解：300x－12000＞9000， 解得 x＞70． ∴要使该工厂某天的利润超过9000元，每天至少需要生产71件产品. 3. 归纳总结 o 一次函数在经济类问题中的应用：从“固定成本+ 单件成本”的结构可直接写出表达式。 o 利用一次函数可方便地对“临界条件”（如利润达标）进行求解。 运用一次函数的知识解决实际问题的一般步骤 （1） 设定实际问题中的两个变量； （2） 建立一次函数表达式； （3） 确定自变量的 取值范围，保证变量具有实际意义； （4） 解答一次函数问题； （5） 写出答案． 【设计意图】通过经济生产利润问题，帮助学生进一步认识“一次函数模型”的广泛应用。让学生在“现实问题→数学抽象→函数表达式求解→回到实际解释”的过程中，强化对函数思想的理解与掌握。 1. 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3． (1) 说明蓄水池的水量Qm³是注水时间th的函数，并写出函数表达式． (2) 注水前，蓄水池里有水吗？如果有，有多少立方米？ (3) 当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000 m3？ 解：(1)根据题意，蓄水池的水量Q(m3)随注水时间t(h)的变化而变化，当注水时间 确定时，蓄水池的水量随之确定，Q是t的函数． 设函数表达式为Q＝kt＋b(k≠0)． 由t＝1时，Q＝400；当t＝2.5时，Q＝850，得 解方程组 所以函数表达式为Q＝300t＋100． (2)当t＝0时，Q＝100，所以注水前，蓄水池里有水，有100 m3． (3)当Q＝1000时，300t＋100＝1 000，解得t＝3， 故当注水时间为3h时，蓄水池中水量可达到1000m3． 2. 书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度为50 cm的柜子上.考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4m． (1) 说明最上面那本书上表面距地面的高度y cm是书的数量x本的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围； (2) 每摞最多可以摆放多少本书？ 解：(1)根据题意，最上面那本书上表面距地面的高度y(cm)随书的数量x(本)的变化而变 化，当书的本数确定时，最上面那本书上表面距地面的高度随之确定，y是x的函数． 函数表达式为 y＝0.5＋0.024x． 由题意，得0.5＋0.024x≤1.4，解得x≤37.5，所以0＜x≤37，x为整数． (2)每摞最多可以摆放37本书． 中考链接 1. （2024·淮安）一辆轿车从A地驶向B地，设出发xh后，这辆轿车离B地路程为ykm，已知y与x之间的函数表达式为y＝200－80x，则轿车从A地到达B地所用时间是 　2.5　h． 2. （2024·上海）某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5000万元．当投入80万元时，销售额为 　4500万元． 能力提升 1. 甲快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表： 设物品的质量为x千克，甲快递公司的快递费为y元．若y＝14，则x的取值范围是 　3＜x≤4　. 2. A，B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的方法不同．A旅行社的优惠方法是全家有一人购全票，其余的人半价优惠； B旅行社的优惠方法是全家每人均按票价的 优惠．设某一家庭共有x人，A，B两家旅行社的收费分别是y1元、y2元． (1) 请直接写出y1，y2与x之间的函数表达式； (2) 若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社比较合算； (3)请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社所需费用较低． 解：(1) y1＝90＋ ×90(x－1)＝45x＋45；y2＝ ×90x＝60x． (2) A旅行社：当x＝5时，45x＋45＝270； B旅行社：当x＝5时，60x＝300． ∵ 270＜300，∴ 应选择A旅行社比较合算． (3) 当45x＋45＜60x，即x＞3时，选择A旅行社所需费用较低； 当45x＋45＝60x，即x＝3时，选择A，B两家旅行社所需费用一样； 当45x＋45＞60x，即0＜x＜3时，选择B旅行社所需费用较低． 1. 课题：5.4 用一次函数解决问题 2. 典例分析： 3. 一般步骤：设变量→建立模型→确定范围→解答问题→检验结果（强调思路的系统性） 1. 巩固练习：完成教材相应习题。 2. 拓展探究：任选一个身边常见的“随数量变化而成本或高度变化”的实例（如外卖配送费、叠放矿泉水瓶高度等），尝试用一次函数模型表述，并说明解题思路与结果。 本节课在概念与方法的教学上，学生对“如何从文字叙述转化为一次函数表达式”这一要点基本理解到位。结合纸杯高度与工厂利润等案例，学生能够感受到一次函数模型的构建过程与价值。然而，部分学生在“根据情境信息筛选重要变量并列方程”方面仍需更多的训练和引导，尤其是面对较为复杂的文字描述时，他们易出现分析不到位、方程搭建不准确等问题。今后教学中，应继续加强对学生的思维引导与合作探究，让学生自主讨论如何提炼变量与常量，并适当增加小组活动，帮助他们在更丰富的情境中反复实践，从而进一步巩固一次函数建模的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $