5.4 用一次函数解决问题（第1课时 建立一次函数模型解决实际问题）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦建立一次函数模型解决实际问题，通过纸杯叠放情境导入，引导学生观察变量关系，从具体数量变化抽象出函数表达式，作为学习支架衔接工厂利润等典例分析，帮助学生逐步掌握建模方法。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过纸杯叠放、旅行社优惠等实例引导发现数量关系，结合典例推理和探究讨论发展数学思维，总结解题步骤强化数学语言表达。资料结构完整含例题、练习及中考链接，学生能提升应用能力，教师可高效备课。

5.4 用一次函数解决问题 第1课时 建立一次函数模型解决实际问题 第五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 利用实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式. 通过用一次函数表述数量变化及其关系的过程，体会模型思想． 问题情境 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装. 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ 纸杯叠放的变化过程有怎样的特点？变化过程中有哪些变量、常量？ 一摞纸杯的高度随着纸杯个数的增加而均匀增加． 常量：一个纸杯的高度，叠放一个纸杯增加的高度． 变量：纸杯的个数，一摞纸杯的高度． 问题情境 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装. 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ 其中变量之间是函数关系吗？是一次函数吗？ 纸杯总高度和纸杯个数是一次函数关系． 　　当一个纸杯的高度是9.5 cm，每叠放1个纸杯，纸杯的总高度增加0.5 cm．请你列出纸杯总高度(y)和纸杯个数(x)之间的函数表达式. 函数表达式为y＝9.5＋0.5(x－1)，其中自变量x取正整数． 问题情境 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装. 当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？ 当x＝5时，y＝9.5＋0.5×(5－1)＝11.5cm； 当x＝10时，y＝9.5＋0.5×(10－1)＝14cm； 当x＝15时，y＝9.5＋0.5×(15－1)＝16.5cm； 当x＝20时，y＝9.5＋0.5×(20－1)＝19cm； 当x＝25时，y＝9.5＋0.5×(25－1)＝21.5cm． 建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题． 典例分析 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出． (1)说明每天的利润y元是生产数量x件的函数，并写出函数表达式； (2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元？ 思考：你能从情境中获得哪些信息？这些信息中，有哪些数量的信息？这些数量之间有什么关系？你能运用什么方法描述这些数量之间的关系？ 利润＝销售额－（固定成本＋原料及加工成本） 随着生产数量的变化而变化 典例分析 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出． (1)说明每天的利润y元是生产数量x件的函数，并写出函数表达式； (2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元？ 解：(1)根据题意，利润y元随生产产品的数量x件的变化而变化，当产品数量确定 时，利润随之确定，y是x的函数，其函数表达式为 　　　　　　　　　　　　y＝1200x－(900x＋12000)． 即　　　　　　　　　　　y＝300x－12000． (2)当x＝50时，y＝300×50－12000＝3000(元)． 答：这天的利润是3000元． 探究交流 　　在例1中，要使得该工厂某天的利润超过9000元，这天至少需要生产多少件产品？ 解：300x－12000＞9000， 解得 x＞70． ∴要使该工厂某天的利润超过9000元，每天至少需要生产71件产品. 讨论交流 （1） 设定实际问题中的两个变量； （2） 建立一次函数表达式； （3） 确定自变量的 取值范围，保证变量具有实际意义； （4） 解答一次函数问题； （5） 写出答案． 运用一次函数的知识解决实际问题的一般步骤是什么？ 新知巩固 1. 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3． (1) 说明蓄水池的水量Qm³是注水时间th的函数，并写出函数表达式． 解：(1)根据题意，蓄水池的水量Q(m3)随注水时间t(h)的变化而变化，当注水时间 确定时，蓄水池的水量随之确定，Q是t的函数． 设函数表达式为Q＝kt＋b(k≠0)． 由t＝1时，Q＝400；当t＝2.5时，Q＝850，得 解方程组 所以函数表达式为Q＝300t＋100． 新知巩固 1. 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3． (2) 注水前，蓄水池里有水吗？如果有，有多少立方米？ 解：(2)当t＝0时，Q＝100，所以注水前，蓄水池里有水，有100 m3． (3)当Q＝1000时，300t＋100＝1 000，解得t＝3， 故当注水时间为3h时，蓄水池中水量可达到1000m3． (3) 当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000 m3？ 新知巩固 2. 书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度为50 cm的柜子上. 考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4m． (1) 说明最上面那本书上表面距地面的高度y cm是书的数量x本的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围； (2) 每摞最多可以摆放多少本书？ 解：(1)根据题意，最上面那本书上表面距地面的高度y(cm)随书的数量x(本)的变化而变 化，当书的本数确定时，最上面那本书上表面距地面的高度随之确定，y是x的函数． 函数表达式为 y＝0.5＋0.024x． 由题意，得0.5＋0.024x≤1.4，解得x≤37.5，所以0＜x≤37，x为整数． (2)每摞最多可以摆放37本书． 中考链接 1. （2024·淮安）一辆轿车从A地驶向B地，设出发xh后，这辆轿车离B地路程为ykm，已知y与x之间的函数表达式为y＝200－80x，则轿车从A地到达B地所用时间是 　2.5　h． 2.5 2. （2024·上海）某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5000万元．当投入80万元时，销售额为 　4500万元． 4500 能力提升 1. 甲快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表： 1千克及以内 超过1千克的部分 8元 2元/千克（不足1千克按1千克计） 设物品的质量为x千克，甲快递公司的快递费为y元．若y＝14，则x的取值范围是 　3＜x≤4　. 3＜x≤4　 能力提升 2. A，B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的方法不同．A旅行社的优惠方法是全家有一人购全票，其余的人半价优惠； B旅行社的优惠方法是全家每人均按票价的 优惠．设某一家庭共有x人，A，B两家旅行社的收费分别是y1元、y2元． (1) 请直接写出y1，y2与x之间的函数表达式； 解：(1) y1＝90＋ ×90(x－1)＝45x＋45；y2＝ ×90x＝60x． (2) 若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社比较合算； 解：(2) A旅行社：当x＝5时，45x＋45＝270； B旅行社：当x＝5时，60x＝300． ∵ 270＜300，∴ 应选择A旅行社比较合算． 能力提升 (3)请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社所需费用较低． 解：(3) 当45x＋45＜60x，即x＞3时，选择A旅行社所需费用较低； 当45x＋45＝60x，即x＝3时，选择A，B两家旅行社所需费用一样； 当45x＋45＞60x，即0＜x＜3时，选择B旅行社所需费用较低． 课堂小结 建立一次函数模型解决实际问题 实际问题 抽象 一次函数模型 数学结果 利用表达式求解 实际结果 解释、检验 反馈 或图像 感谢聆听！ $