5.1 直角三角形的性质定理（1） 课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半）及判定定理，通过复习定义引入，以“说一说”“议一议”“画一画”串联旧知（三角形内角和）与新知探究，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学思维与眼光，如“画一画”测量中线长度发展几何直观，全等证明训练推理能力。小结清晰罗列定理，练习分层次体现应用意识，学生能提升探究与推理能力，教师可实施分层教学提高效率。

第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理（1） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 01 能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 02 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。 03 3 02 新知导入 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 回顾 什么是直角三角形吗？ 直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC“. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 4 03 新知探究 说一说 在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？ 解：如图，在Rt△ABC中， 因为∠C = 90°， 由三角形内角和定理可得：∠A + ∠B = 90°. 思考：我们把两个角相加等于90°称为什么？ 5 03 新知探究 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言 ∵ ∠C=90°， ∴ ∠A+∠B= 90°. 03 新知探究 议一议 （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？ （2） 该逆命题是真命题吗？ （1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆题为“有两个角互余的三角形是直角三角形” 7 03 新知探究 解：该逆命题是真命题. 理由如下： 如图，在△ABC中， 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°， 所以∠C=180°∠A+∠B=180° 90°= 90°. 因此，△ABC是直角三角形. 故有两个角互余的三角形是直角三角形. 8 03 新知探究 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言 ∵ ∠A+∠B= 90°， ∴△ABC是直角三角形. 03 新知探究 证明一个三角形是直角三角形除了用直角三角形的定义和上面的判定方法外，还有以下方法： （1）在一个三角形中，两个内角之和等于第三个内角； （2）在三角形中，两个内角的差等于第三个内角. 03 新知探究 画一画 任务一：用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB的中点 D，连接 DC. 任务二：用直尺分别测量斜边AB的长度以及斜边AB的中线DC的长度. 任务三：以点 D 为圆心，DB 为半径画圆弧. 你有什么发现？ DC与AB之间有怎样的数量关系？ 11 03 新知探究 已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线. 求证：DC=DB=AB. 证明：如图，过点D作DE//BC，DF//AC，分别交AC，BC于点E，F， 于是∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°， ∠FDC = ∠ECD，∠DFB = ∠ACB = 90°. 03 新知探究 在△ADE与△DBF中， 所以△ADE ≌ △DBF（角角边），从而DE = BF. ① 在△DFC与△CED中， 所以△DFC ≌ △CED（角角边），从而CF = DE. ② 03 新知探究 由①式和②式得，CF = BF. 因此，直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此DC=DB=AB. 03 新知探究 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言 ∵ CD是斜边AB上的中线， ∴ CD=AB. 03 新知探究 提示 (1)此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不适用三一角角 (2)此性质可以用来说明线段的倍分关系. (3)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形. 03 新知探究 如图，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 例1 证明:因为CD=AB=AD=BD， 所以∠1=∠A，∠2=∠B. 因为∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠ACB=∠1+∠2， 所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°， 从而2(∠A+∠B)=180°. 因此∠A+∠B=90°. 所以△ABC是直角三角形. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.在△ABC中，∠A=90°∠B，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2.已知在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，则斜边AB的长为（　　） A．5 　　B．6 　　C．8 　　D．10 B D 18 04 课堂练习 3.如图，AB//CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D=50°，则∠A的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° B 19 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.直角三角形两锐角之差是12°，则较大的一个锐角是　 　°. 5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，若AC=4，则BD的长为　 　． 51° 2 04 课堂练习 6.下列四个条件： ①在△ABC 中， ∠A， ∠B 都是锐角； ②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3； ③在△ABC中， ∠A∠B=∠C； ④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5. 其中能确定△ABC 是直角三角形的是　 　(只填序号). ②③④ 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，若∠CAD=20°，∠B=50°，求∠ACB和∠AEC的度数． 解：∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC=90°， ∵∠CAD=20°， ∴∠ACB=90°-20°=70°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE=∠ACB=35°， ∴∠AEC=∠B+∠BCE=50°+35°=85°． 22 05 课堂小结 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 06 作业布置 【知识技能类作业】 1.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于点F，则∠AFE的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° A 06 作业布置 2.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，则∠BAD、∠C与∠DAE的关系是（　　） A．∠BAD+∠C=∠DAE B．∠BAD=∠C+∠DAE C．∠BAD=∠C∠DAE D．∠C∠BAD=∠DAE B 06 作业布置 3.如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　°． 180 06 作业布置 【综合拓展类作业】 4.如图所示，CD是△ABC的角平分线，DE是△ACD的高，且∠CDE=68°，∠B=105°． （1）求∠DCE的度数； （2）求∠A的度数． （1）解：∵DE是△ACD的高， ∴DE⊥AC， ∴∠CED=90°． ∵∠CDE=68°， ∴∠DCE=90°∠CDE=22°． 06 作业布置 （2）解：∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACB=2∠DCE=44°． ∵∠B=105°， ∴∠A=180°∠ACB∠B=31°． 07 板书设计 直角三角形的性质1： 直角三角形的判定： 直角三角形的性质2： 5.1 直角三角形的性质定理（1） 习题讲解书写部分 $